工科学生建模素养培养的实践探析

王玉花　刘新柱

摘    要：文章以摆线教学为载体，从培养学生的知识获取能力、数学思维品质、实践动手能力等方面着手，提出实践路径。课上教师要重视数学思想的渗透，注重知识的延伸拓展，给学生更多的机会掌握多种数学思想和方法；课外要开设专题讲座，拓展知识的辐射范围，提升工科学生的数学建模能力；课下要成立讨论小组，通过实践环节激发学生的潜能，提升学生的创新能力；建立课程网站，设置建模专栏，定期推送建模案例，丰富学生的知识底蕴。

关键词：数学建模；摆线；数学素养；教学实践

中图分类号：G642      文献标识码：A      文章编号：1002-4107（2023）05-0016-03

《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020

年）》第七章高等教育部分提出了“重点扩大应用型、复合型、技能型人才培养规模”的培养目标；同时，为适应新时代对人才的要求，高等院校越来越重视对学生能力和素质的培养，新工科建设对工科学生的综合素质有了更高的要求。数学是工科学生解决实际问题的重要工具，是一门重要的基础学科，数学素养是工科学生必备的基本素养之一。近年来，众多教育工作者都致力于提高工科学生的数学素养，在数学课程教学过程中更加关注学生数学思维的训练，更加重视数学实践能力的培养，更加注重学生数学建模素养的提升[1]。

一、工科学生数学建模能力现状分析

为培养应用型人才，新工科建设要求工科学生要具有较强的专业技能，特别是具备解决实际问题的能力。这就要求学生要理解数学思想，掌握数学方法，能够对实际问题进行合理的量化，用数学符号、数学图形、数学公式建立模型并求解模型。但是，目前工科学生的建模能力普遍不高。教师在教学过程中更关注学生的逻辑思维和运算技能训练，而忽略建模能力的培养，数学课程考核方式和考核内容也多以计算证明为主。在日常的学习中，学生也更注重运算技巧、理论推导的练习，而忽略了建模知识的学习，从而导致其数学建模能力不高。为了培养学生的建模能力和应用情感，教师有必要对课堂教学进行改革，在课堂上引入与专业相关的工程实践知识，初步培养学生的应用意识，提高学生解决问题的能力。

二、提升工科学生数学建模素养的理论研究

数学建模是工科学生必须掌握的一项数学技能，因此，教师应在授课过程中渗透建模思想、讲授建模方法、培养建模兴趣，提高工科学生的建模能力。

（一）重视数学思想，萌发建模意识

数学思想是建立数学模型的关键，蕴含在知识的生成过程中，教师要善于挖掘和分析教学内容，巧妙地将数学思想融入教学环节。通过理论教学帮助学生积累数学思想，萌发建模意识。教师还可以根据教学内容适当引入数学史、数学悖论、数学家的轶事，于知识的发展史过程中探寻数学思想，于数学家的故事中发现数学思想，于数学悖论中分析数学思想，特别是在探析知识的生成过程中提取数学思想，以便学生有更多机会掌握多种思想和方法，为分析问题提供准确思路，为建立模型提供高效的方法。

（二）参透数学方法，培养建模兴趣

工科学生在专业课程学习中，要用到很多数学理论，而有一些理论在教学大纲中并未提及，这就要求教师上课时要拓展这些内容，可借助定义法、构造法、向量法、微元法、数形结合、分类讨论等多种数学方法，让学生掌握理论知识，了解解决问题的方法。对于大一新生，教师要利用习题课对数学方法进行归纳总结，并通过实例讲解让学生对所学内容的应用范围有所了解，从而更易掌握准确的建模方法，同时学生也能体验到探索知识的成功感。在教学过程中，教师要注重知识的联系与拓展，使学生在生活实例中参透数学方法，培养发散思维，提高学习兴趣，为科学研究提供必要的准备。

（三）扩展辐射范围，提高建模能力

由于学时有限，教师在课堂上很难深入讲解与工科学生密切相关的工程问题。教师有必要利用课外时间开设专题讲座，详细讲解所授内容在工程中的应用，以提高学生解决实际问题的能力。讲座内容既要与所学知识密切相关，又要在本科生的接受能力范围之内。教师可将讲座内容做成短视频，方便学生自行学习。以专题讲座为载体，丰富课外教学内容，为学生后续课堂学习提供充分的理论基础，也为学生研究专业理论提供必备的数学工具。

（四）发展建模潜能，培养创新精神

教师要丰富课外教学活动，组建“本科生讨论班”，设置与专业相关的建模问题或课程小论文，让学生以小组形式加以探究，集思广益，扩展思路；还可以成立“师生讨论组”，建立学习共同体，于日常的沟通交流中实现从知识传承向创新能力的转变。此外，教师要鼓励学生积极参加各级各类建模竞赛，指导他们申报大学生创业创新项目，还要鼓励学生加入教师的科研团队，以成果导向为目标，培养学生自主学习的能力，创设有益于学生提高综合素质的情境。通过课外实践环节，学生可以在体验知识的形成过程中逐渐提高自主学习意识，激发潜能，提高建模能力和创新能力。

（五）建设课程网站，补充建模案例

搭建网络平台，构建数学课程网站，设置数学建模专栏，编写与工科专业相关的工程教学案例、实践教学案例，定期在专栏里向学生推送，丰富学生的知识底蕴；带动学生关注学科前沿，重视所学知识在现代科学中的应用，以崇尚科学为荣，树立正确的科学观。设置网络答疑专栏，及时回答学生学习过程中的疑惑，培养学生的建模能力。

三、提升工科学生建模素养的教学实践研究

文章以摆线的教学实践为例，探讨教学各环节中如何培养学生的建模能力，提升数学素养。

（一）探索知识的生成过程，培养学生的思维品质

摆线是生活中常见的曲线，也是工程应用中的重要曲线。例如，过山车的轨迹曲线和许多构件的形状都呈摆线状态，对摆线性质的深入研究能为学生学习打下稳固的基础。“高等数学”课程中，很多理论都涉及摆线方程，如求解摆线一拱的长度、摆线一拱与横轴围成图形的面积，以及此面积绕横轴或纵轴旋转一圈所得旋转体的体积等。这些不规则量的求解过程就是一个简单的建模过程，采用大化小、常代变、近似求和、取极限的数学思想建立积分模型，利用积分学的计算方法求解模型，解决实际问题。在建立积分模型的过程中，用到了化整为零的微元思想、以直代曲的線性化思想、以常代变的近似思想、积零为整的求和思想和无限逼近的极限思想。除了几何意义外，摆线还有重要的物理意义。例如，忽略其他受力，在只有重力作用的情况下，物体从一个点降到比它低的点时，沿摆线路径用时最短，所以摆线又称为最速降线。过山车车道的设计正是应用了最速降线原理，让游戏者体验快速运动。再如，滑雪运动员若能滑出摆线轨迹，也将会实现最短时间赛程。在教师的引领下，学生在简单的建模过程和生活实例中，体验了从具体到抽象、从有限到无限、从特殊到一般的探知过程，也可以了解到数学思想在解决问题过程中的重要性，提升数学思维品质。

（二）讨论摆线的方程分类，提高学生的建模能力

高等数学教材的部分内容是研究心脏线和星形线的，但对于这些曲线的形成则没有介绍。心脏线方程是极坐标系表达，虽然看似与摆线无关，但这些重要曲线方程却是摆线理论的延伸和拓展。在进行摆线理论教学时，教师可以根据学生专业特点适当地进行拓展，对摆线类型进行分类讨论。例如，有一个动圆在直线上做无滑动的纯滚动时，动圆上、动圆内和动圆外一点的轨迹方程分别称为平摆线方程、短幅摆线方程和长幅摆线方程，长、短幅摆线又称次摆线，都是以直线为基线；当一个动圆在一个定圆上无滑动滚动时，若两圆相内切，小圆在大圆上滚动，动圆上一点的轨迹方程称为圆内旋轮线，也称为内摆线；若两圆相外切，小圆在大圆外滚动，动圆上一点的轨迹方程称为圆外旋轮线，也称为外摆线；而大圆在小圆外滚动，动圆上一点的轨迹方程称为环摆线方程，是以圆为基线[2]。常见的星形线方程就是内摆线方程，而心脏线方程正是环摆线方程。此外，还有基线为椭圆的其他摆线。摆线的种类繁多，教师可根据生活常识简要介绍这些摆线的形成过程。例如，讲授次摆线理论时，让学生想象火车前进过程中车轮外一点的运动曲线状态；讲授内摆线理论时，让学生观察公交车车门开关时划过的曲线形状。从生产生活中选取蕴含数学本质的实例进行教学，并引导学生把方法迁移到其他问题上，从而提高学生的建模能力。

（三）研究摆线的工程应用，培养学生的应用情感

对于机械设计与制造专业学生来说，齿轮传动问题是必须掌握的重要知识，其中摆线齿轮传动尤为重要。摆线齿轮传动是将凸形外摆线与凹形内摆线相啮合，相比于一般的齿轮传动，摆线齿轮传动具有结构紧凑、磨损均匀、传动平稳等优点。摆线齿轮传动方式多种多样，除了普通的齿轮传动外，还有齿轮齿条传动、蜗轮蜗杆传动等[3]。这些传动在生活中随处可见，如机械表的走针机构采用的是普通的齿轮传动、电风扇的摆风机构采用的是蜗轮蜗杆传动；此外，搅拌机的传动机构和变速箱中的齿轮变速器机构等复杂的传动机构都应用了摆线原理。对于农业机械化及其自动化专业学生，讲座中可增设余摆线理论。平摆线是圆轮在直线上无滑动滚动时圆周上固定点的轨迹曲线；而一些农业机械作业时，工作部分一边绕轴线匀速转动，一边随机组做匀速直线运动，即同时进行转动和平移两种运动，如插秧机的分插轮、收割机的拔禾轮的运动等，这种运动轨迹曲线称为余摆线[4]。若将摆点由一点扩展为动点序列，序列摆点的运动轨迹称动摆线。动摆线的运动轨迹十分复杂，可以为安全底纹防伪设计提供理论基础[5]，也为现代艺术设计提供神奇的创造力，创造出各种优美的艺术曲线。此外，讲座还可简单涉及泛摆线，其理论虽超出本科生接受范围，但依据泛摆线原理制作的泛摆线泵应用于我国多种型号航空发动机中[6]，在一些尖端项目中有着重要的作用，可以让学生对泛摆线形成简单的概念意识，储备更多的专业知识。引入与专业相关的工程实践知识，初步培养学生的应用意识，有利于学生对理论知识获得更好的感性认识，实现理论与实践相结合，培养其应用情感和应变能力。

课下，教师还可以让学生分组完成课程小论文，如余摆线的建立过程、观察工程中哪些机构采用摆线齿轮传动等，让学生以小组形式观察、分析并解决问题。在问题的探究过程中拓展学生的思路，培养学生的创新思维，同时也培养了学生的团队合作精神。

在摆线的课堂和课外教学活动设计中，把教学内容与数学思想统一，把理论基础与建模能力统一，把知识传承与创新意识统一。将抽象的、枯燥的授课内容变为具体的、活泼的教学活动。在课堂上拓展延伸理论知识，通过实践案例，培养学生的建模能力；在课外成立学生讨论组，组建学习共同体，进一步提升学生的建模能力，从多角度培养学生的综合能力，提高学生的综合素质（图1）。

四、结束语

提升工科学生的建模能力是培养具有创新精神和创新能力人才的重要措施之一，教师应把提升工科学生建模素养的目标融入教学环节和教学活动全过程，从侧重学生的知识获取能力、实践动手能力、数学思维品质等方面着手，夯实理论基础、拓展知识外延、培养应用情感、提升建模能力，为培养新时代创新人才贡献力量。

参考文献：

[1]  杜键，胡红娟，夏静.大学数学建模教学探索与实践[J].黑龙江科学，2021，12（23）：57.

[2]  张丽娜.摆线及其相关问题[J].中国科教创新导刊，2011（4）：30.

[3]  吴林.新型摆线传动装置关键技术与应用研究[D].武汉：武汉理工大学，2016.

[4]  刁海丰，张伟，付晓明，等.行星齿轮式旱地栽植機构运动轨迹分析及优化[J].农机化研究，2012，34（6）：32.

[5]  元文法，李晓龙，杨斌，等.动摆线及其在安全底纹设计中的应用[J].计算机辅助设计与图形学学报，2008（2）：270.

[6]  曹逸韬.高转速航空泛摆线滑油泵的研究[D].南昌：南昌航空大学，2015.

编辑 李梦迪