基于核心素养的初中生解题能力培养研究

李晨

【摘要】数学解题能力集中体现了学生的数学综合能力，是数学基础知识、数学思维、数学能力的浓缩.培养学生的数学解题能力，是发展学生数学核心素养的关键.文章以此为切入点，以相似三角形中常见题目出发，从审题、解题等方面展开详细探究，旨在强化学生数学解题能力，促进学生数学核心素养的“落地生根”.

【关键词】初中数学；核心素养；解题能力；相似三角形

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中，明确了“数学核心素养”的教学目标，旨在促进学生的全面发展.解题能力作为初中数学教学的重要内容，不仅反映了学生的数学知识掌握情况，也反映了数学知识的迁移与应用、数学思维发展，以及学生的知识应用能力水平等情况.可以说，从学生的数学解题水平即可窥见学生的数学核心素养的发展.在初中数学几何教学体系中，相似三角形尤为重要，也是考查的重点知识，对学生的数学核心素养提出了更高的要求.鉴于此，加强相似三角形解题教学，培养学生解题能力，是提升学生成绩、发展学生数学核心素養的重要渠道.

一、制约初中生解题能力发展的主要因素分析

第一，审题能力低下，无法精准理解题目含义.审题是解题的第一个环节，学生唯有认真审题，理清题目中已知条件和所求结论的关系，才能形成明确的解题思路.但在实践中，由于一些学生缺乏教师的正确引导，致使他们缺乏审题技巧，常常误认为审题等同于阅读题目，也有部分学生受态度的影响，审题中常常出现断章取义、草草了事等现象.

第二，思维能力薄弱.许多学生关于“相似三角形”的学习依然停留在表层阶段，仅仅掌握了基本的性质与定理，至于知识之间的逻辑关系、联系等依然处于混沌的状态.这就严重束缚了学生的数学思维，既无法发挥思维的灵活性，又制约了思维的深度.在这种情况下，学生的解题思维也会更加狭窄，难以应对灵活多变的数学题目.

第三，运算能力弱，难以精准解答问题.计算是数学解题中的重要组成，尤其是在“相似三角形”问题中，存在一定的计算量，部分学生在解题时，由于运算能力弱、粗心等，容易出现错误，进而影响解题正确率.

二、核心素养下初中生“相似三角形”解题能力培养路径

（一）明确题目要求

数学解题建立在审题基础之上，学生重视审题、掌握必备的审题技巧，才能通过科学审题，抓住题目关键点、深挖题目中隐含条件、理清数量关系，并由此形成明确的解题思路.鉴于此，面对数学核心素养下的要求，依托“相似三角形”培养学生解题能力应从正确审题开始.这就要求教师应引导学生认真阅读题目，并融入一定的数学思想，将繁杂的问题明朗化、清晰化，以便于学生在审题中找到解题的切入点.

例1 如图1，点G在平行四边形ABCD的DC延长线上，连接AG交BC，BD于E，F两点，求△AGD∽（ ）∽（ ）.

解析 在审本题时，学生不仅要分析题目中的已知条件，还应关注公共角∠G，并挖掘其中“边边平行”的隐含条件，分析出图形中的公共角、对顶角，以及平行线所产生的角关系：如图1，因为BC∥AD，由此得出∠1=∠2，结合公共角∠G，根据相似三角形判定定理得出△AGD∽△EGC；同时，结合题目分析，根据对顶角相等，得出∠1=∠3，又因为AB∥DG，即可得出∠4=∠G，由此根据相似三角形判定定理得出△EGC∽△EAB，所以△AGD∽△EAB.可以说，本题目难度系数比较低，学生认真审题，深层次挖掘题目中隐含的条件，探寻图形之间的关系，即可运用相似三角形判定定理进行解答.

（二）理清解题思路

在解答“相似三角形”问题时，当完成审题之后，学生还应基于题目中已知条件和结论之间的关系展开分析，并据此形成明确的解题思路.在实际解题中，由于一些题目难度系数高，已知条件和结论联系比较隐蔽，需要经过深入分析方能形成题目的解题思路，并在明确解题思路的引导下，将原本复杂的题目进行分解，使其分解为几个简单的目标，最终通过小目标的逐渐靠拢，完成最终的解答.

（三）多维度分析、灵活解题

1.基于辅助线解答问题

在解答“相似三角形”问题时，学生常常会遇见条件不够的现象，致使解题逐渐陷入困境中.这时，即可构建辅助线，在原有条件的基础上构建新的条件，以满足解题需求.

例3 如图3，AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圆的直径，求证：AB·AC=AD·AE.

解析 在本题目中，单纯依靠题目中现有的条件是远远不够的，唯有构建辅助线，构建出两个相似的三角形，以此找到解题的“突破口”：

如图3，连接BE.

根据圆周角定理，得∠E=∠ACB.

又AD⊥BC，所以∠ADC=∠ABE=90°，

即△ABE∽△ADC，

所以AD∶AB=AC∶AE，AB·AC=AD·AE.

可见，本题构建出一个与已知三角形相似的新三角形后，借助相似三角形的性质，构建其边与边之间的关系，最终完成题目的解答.经实践证明，在解答相似三角形问题时，学生可以灵活构建辅助线，构建出一种全新的相似关系，旨在简化解题步骤，提高解题效率.

2.基于“A”字模型解题

“A”字模型是解决相似三角形的基础模型，主要包含“A”字模型和反“A”型两种.尤其是在A字模型中，常常需要借助平行线进行解题，如果题目中没有给出，则需要借助辅助线达成这一条件.

所以∠EAF=∠MAC，

则∠MAC=∠ABE.

又AB=AC，

则△ABE≌△CAM，即CM∶AB=1∶2，

根据“X”模型，得△ABD∽△MCD，

则有BD∶DC=2∶1，即BD=2DC.

本题解答思路与例4相同，都是通过添加必要的辅助线，构建出一个全新的模型，构建出相似三角形这一基本条件.不同的是，在本题目中“两条相交直线被两条互相平行直线相截”，即可联想到“X”字模型，进而运用相似三角形的性质解答问题.另外，在实际解题中，针对一些复杂的问题，“X”字模型也逐渐变得复杂，常常出现“A+X”型、“X+X”型等，学生必须要结合实际情况进行针对性的分析，才能高效解答题目.

4.基于射影定理解题

在解答相似三角形相关问题时，如果所求的问题是“一条线段长的平方等于另外两条线段长的积”时，即可选择射影定理的角度进行解答，尤其是当三线共线的情况下，应优先考虑利用了射影定理，将原本毫无联系的几条线段联系起来，并借助相似三角形的相关知识进行问题解答.

在初中平面几何中，射影定理尤为重要，虽然并未列入教材中，但却在几何证明题、计算中得到了广泛的应用，尤其是在解答相似三角形问题时，当学生面临直角三角形时，应首先联想到摄影定理，并基于题目中已知条件进行灵活解题.

5.基于共边共角模型解题

共边共角模型在相似三角形解題中尤为常见，常常是两个三角形存在一个公共角、一条公共边，还存在一对相等的角，由此即可判定出两个三角形相似.在面对一些复杂问题时，共边共角模型常常是解题的“钥匙”.

本题中借助“共边共角”模型，迅速打开了解题思维.在初中几何相似三角形解题中，“共边共角”模型常常被应用到综合性题目中，尤其是在压轴题目，出现频率相对比较高.学生唯有熟悉该解题模型，并结合题目中所给出的三角形边乘积关系、比例关系，迅速构建模型，找到题目中相似三角形，并由此形成明确的解题思路.

结 语

综上所述，解题能力是数学教学的重要构成，也是学生数学核心素养的精准体现.因此，初中数学教师不仅要重视解题教学，还应根据不同的知识点，精心挑选高质量的例题，引导学生经历审题、构思解题思路、多角度解题等过程中，逐渐形成更加严谨、完善的解题思路，提高学生的数学解题能力，真正达成数学核心素养下的教学目标.

【参考文献】

[1]刘晓玲.构造相似三角形解题例谈[J].数理天地（初中版），2022（20）：16-17.

[2]苏玲玲.初中数学相似三角形的解题策略[J].现代中学生（初中版），2021（18）：21-22.

[3]吉婷.心中有型，釜底抽薪———利用模型探究相似三角形中的问题[J].初中生世界，2021（Z3）：57-59.