逆向思维在初中数学解题中的应用研究

王磊

【摘要】生活中，多数人习惯沿着事物发展的正方向思考和解决问题，但是在面对一些特殊问题时，逆向思维能够带给人意想不到的惊喜.若将逆向思维应用在初中数学解题方面，可以在很多情况下提高学生的解题效率，让结果更加准确.文章分析逆向思维在初中数学解题中的应用技巧，同时对逆向思维在初中数学解题中的指导策略展开讨论，力图促进逆向思维在初中数学解题中的应用，培养学生数学思维的灵活性，提升初中数学解题教学效果.

【关键词】初中数学；逆向思维；解题技巧

逆向思维，也称求异思维、反向思维，是在面对具有普遍性的问题时“反其道而行之”的一种思维方式.逆向思维经常被用来解决数学问题，具体步骤为：从问题回到已知条件，围绕“应该得到的正确结论”反过来推导问题，使问题简单化.基于以上背景，初中数学教师可以在实际教学过程中，指导学生应用逆向思维解决问题能够提高学生的解题能力.下面，文章结合苏科版教材内容，结合具体的问题分析逆向思维在初中数学解题中的应用技巧.

一、逆向思维在初中数学解题中的应用技巧

（一）逆向思维解决方程问题

方程是初中数学的常见题型.从七年级开始，几乎每一册苏科版初中数学教材都含有方程内容.而在方程问题的解决中，逆向思维具有不可小觑的应用价值.比如，一些初中数学方程问题，要求学生进行大量的复杂运算，部分运算能力薄弱的学生会在此过程中出现失误，得出错误的答案.教师可以利用方程的“双向性”，指导学生应用逆向思维解决方程问题，简化运算过程.下面以苏科版七年级上册“解一元一次方程”教学为例，讲解逆向思维解决方程问题的技巧.

例1 已知方程320×40%=（320-x）（1-20%）+20%，解方程求出x的值.

解决此方程问题，可以按照解方程的常规方法，先将方程变形和移项：

解 320×40%=（320-x）80%+20%……①

320×40%=320×80%-80%x+20%……②

80%x=320（80%-40%）+20%……③

80%x=320×40%+20%……④

直到第④步，很多學生都游刃有余.但若在第④步后继续按照常规方法解方程（在等式两边同时除以80%），运算过程相当烦琐，学生很容易出现失误.教师可以引导学生应用逆向思维，以“百分号”为切口思考接下来的解方程方法.观察方程，等式两边均有百分号，增加了解方程的难度，因此可先消除百分号，再继续解方程.教师可以点拨学生将等式两边同时除以20%，进行以下运算：

小结 方程“双向性”是指：在一个方程中，等式两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，方程的本质不变.基于方程“双向性”应用逆向思维，先找到等式两边的共同点，再借助“共性”简化方程，可有效拓宽学生解题思路，提高其运算效率，同时使解题结果更加正确.

（二）逆向思维解决不等式问题

苏科版七年级下册数学教材第十一章，首次编排了“不等式”教学内容，即一元一次不等式.不等式同样是初中数学常见题型.而在一些特殊的不等式问题中，很难通过正向思维计算出正确答案.这就要求学生学会转化思维，应用逆向思维方式.下面以“一元一次不等式组”教学为例，探索逆向思维在不等式问题中的解题技巧.

对于一般的一元一次不等式组，求解步骤为：先求出不等式组中各个不等式的解集，再将它们分别表示在数轴上，然后利用数轴确定不等式组的解集.但是在此问题中，不等式①中含有另一个未知数，使上述步骤并不适用此问题.第一次应用逆向思维，可以计算不等式②的解集，即7-2x≤3，解得x≥2.第二次应用逆向思维，可以根据已知条件“该不等式组共有4个整数解”，逆向推理不等式组的4个整数解，即2，3，4，5.第三次应用逆向思维，不等式①为x-m<0，说明x

小结 初中数学不等式问题中，若已知不等式组的解集，求其中一个不等式所含参数范围，很难通过常规的不等式组求解步骤正确解题.而应用逆向思维，从已知不等式组的解集入手，逆向推理不等式组解集与不等式未知数、未知参数的联系，可以有效降低问题的难度系数，提高解题准确率.教师可以在初中数学不等式教学中，重点围绕不等式组的参数问题指导学生应用逆向思维，培养其解题能力.

（三）逆向思维解决三角形问题

三角形问题集中出现苏科版八年级上册数学教材，包括“全等三角形”“勾股定理”两大板块.其中，“勾股定理”相关三角形问题的解决，经常需要应用逆向思维.教师可以根据“勾股定理的逆定理”，指导学生应用逆向思维解决三角形问题.实际操作方面，苏科版八年级上册数学教材在“勾股定理”章节中，将“勾股定理的逆定理”单独设为一课，教师可在其教学期间，向学生提供三角形问题，使其经历下面的逆向思维解题过程.

小结 勾股定理的逆定理，是勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）的逆运用，充分体现了逆向思维的应用.因此在证明直角三角形的相关问题中，可以直接通过勾股定理的逆定理应用逆向思维，降低证明难度，提高解题效率.这也要求教师在初中数学“勾股定理”相关教学中，重视“勾股定理的逆定理”教学过程.

（四）逆向思维解决几何证明问题

几何证明问题在初中数学教学中的分布较为广泛.以苏科版初中数学教材为例，七年级上册“平面图形的认识（一）”、七年级下册“平面图形的认识（二）”、八年级下册“中心对称图形———平行四边形”、九年级上册“对称图形———圆”、九年级下册“图形的相似”均涉及几何证明问题.解决常见的几何证明问题，通常只需要在题干中找到已知条件，再根据已知条件展开证明.但是在一些复杂的几何证明问题中，已知条件无法使学生形成清晰的证明思路.教师可以指导学生应用逆向思维，从“需要证明的结果”入手，逆向分析“需要哪些条件”.下面以“探索三角形相似的条件”教学为例，分析逆向思维在几何证明问题中的应用.

例4 如图1，△ABC，线段AB与线段AD垂直，线段BC与线段DC垂直.线段AC与线段AB相等.BC与AD相交于E点，AD与DC相交于D点.求证：AC2=AD·AE.

小结 初中数学大多数几何证明问题的解题，可以直接由结论切入，通过“需要证明的问题”层层推理“需要满足的条件”，强化证明逻辑，提高解题质量.教师可以在初中数学几何证明教学中，借助具体问题引导学生应用逆向思维，培养学生围绕待证问题逆推证明过程的能力，提升学生几何证明水平.

（五）逆向思維解决函数问题

函数问题分布在苏科版八年级数学教材与九年级下册数学教材中，其内容具有螺旋上升性.八年级上册的“一次函数”为八年级下册的“反比例函数”奠定基础，而整个八年级的函数内容是为九年级下册“二次函数”做准备.在解决一些函数问题时，部分学生会因为基础薄弱而无法准确调取已有知识，导致解题困难.教师可以见缝插针，指导学生应用逆向思维，反向推理函数关系.以“反比例函数的图像与性质”教学为例，教师可通过下述函数问题，与学生一同探讨逆向思维的应用技巧.

该问题关联反比例函数与一次函数，具有复杂性，不能用常规方式解决.根据题意，反比例函数与一次函数关系式已知，可以初步判断两幅图像在平面直角坐标系中的位置.想要使反比例函数与一次函数图像相交于第一象限，需要向上平移一次函数图像.教师可以由问题“向上平移几个单位长度”切入，先使学生“假设答案”，再使学生展开逆向推理：

小结 逆向思维在初中数学函数问题中的应用，是简化函数问题的重要手段.以本题为例，教师可指导学生在解决初中数学函数问题时，先应用逆向思维假设问题的答案，再将“答案”逆向代入函数关系式，求出其对应信息.

二、逆向思维在初中数学解题中的指导策略

基于逆向思维在初中数学解题中的以上应用技巧，教师应在初中数学教学过程中，加强学生对逆向思维的使用.

在学生形成逆向思维，初步掌握逆向思维在初中数学解题中的一些应用技巧后，教师可以为学生搭建逆向思维解决问题的专项训练平台，鼓励学生举一反三地应用逆向思维，以达到持续深化学生运用逆向思维解题能力的目的.教师可为学生提供含有不同逆向思维点的习题，组织学生积极参与专项训练，使学生进一步掌握应用逆向思维解决方程问题的解题技巧，促使学生提高解题能力.

结 语

逆向思维是解决初中数学问题必不可少的思维工具.文章列举了逆向思维在初中数学解题中的应用，涉及方程问题、不等式问题、三角形问题、几何证明问题、函数问题多个方面.教师可以在初中数学例题教学中培养学生逆向思维，为学生应用逆向思维解决问题打下基础.教师还可以为学生搭建逆向思维解题训练平台，以此加深逆向思维在初中数学解题中的应用，进一步培养学生基于逆向思维的解题能力.

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