例析构造法在高中数学解题中的应用

2023-04-22 11:44赵松金
数学之友 2023年19期
关键词:构造法解题教学数学思维

赵松金

摘 要:构造法是数学解题的重要手段之一.科学、合理地融入构造法,可促使抽象问题具体化、繁杂题目简单化,还可将题目中的未知量转化为已知量,有效提升了学生的解题效率、准确率,强化了学生的解题自信心和动机.本文就立足于此,以不同类型的数学题目解答为载体,对构造法的具体应用展开了详细的探究.

关键词:构造法;高中数学;解题教学;数学思维

按照最新版的《普通高中数学课程标准》中的要求,培养学生的数学解题能力是课堂教学的重中之重.学生的数学解题能力,体现了数学基础知识的掌握情况,以及数学思维的发展情况,是数学核心素养的真实写照.鉴于高中数学特点,学生常常会遇到一些传统解题思路无法解答的题目.鉴于此,即可借助构造解题法,以原题目中的已知条件、所求结论为切入点,构造出辅助性的内容,将原来题目中的已知条件和结论联系起来,以此在新的题目关系中形成明确的解题思路.另外,构造法不仅仅是一种典型的解题方法,也是数学思想的凝聚点,涵盖了类比思想、归纳思想、转化思想等,使得学生在应用构造法的过程中,促进了数学知识的迁移、数学思维的发展等,真正促进了核心素养在课堂上的落地生根.

1 构造法与高中数学解题

1.1 构造法内涵

在正常的解题中,基本上都是按照正向思维的方式,以题目中的已知条件作为起点,借助已知条件逐渐逼近所求的未知结论,最终得到问题的解答.但在实际解题中,学生也常常会遇到一些特殊的问题,正向思维解题路径常常受阻.此时,唯有转变解题思维,尝试换一个新的角度思考和分析问题.构造法就是一种非常规的解题思维模式.具体来说,构造法就是依据题干中的信息,构造出合适的对象,最终通过有效的解题步骤进行解题.在数学解题中,构造法就是对原问题中的已知条件、结论展开充分、细致地分析,之后依据原问题中的数量、结构、条件、结论之间的关系特征展开联想,利用与其相契合的数学模型,构造出函数、方程、不等式、数列、向量或者图形等,最终将原题目中的已知条件和所求结论连接起来,以便于数学问题的解答.

可以说,构造法是一种创造性的问题解决方法,通过构造法在解题中的应用,可将题目中的未知条件转变为已知条件,将隐藏的条件可视化.有效消除了学生在解题中的畏难情绪,强化了学生的解题思路,使其在训练的过程中,逐渐提升了自身的数学问题解答能力.

1.2 构造法解题原则

原则一:相似性.主要是在解决实际问题时,对题目中的已知条件、所求结论展开分析,明确条件和结论之间的内在联系,基于联想判断其是否与所学的问题、公式、形式相一致.最后根据基本的对象构造出相契合的数学模型,最终完成问题的解答.

原则二:直观性.在利用构造法解答数学问题时,根据问题的结构,对题目中的条件和结论展开详细地观察、分析,并构造出与原问题相类似的数学形式或者数学模型,以此作为桥梁,将题目中的条件和结论联系起来,进而完成问题的解答.

原则三:等价性.主要是将原问题中的条件进行转化,使得新形式与之相等价,并将原问题中的条件和结论置于构造出的新形式下进行解答[1].

2 构造法在高中数学解题中的具体应用

2.1 构造函数解题

一些非典型的数学问题,可根据问题的条件构造出一个新的函数关系,进而将复杂的数学问题进行转化,使其成为学生所熟悉的函数关系,进而运用函数概念、定义、性质、图象等知识点进行解答.

例1 在实数范围内解(x2-x+1)5-x5+4x2-8x+4=0.

解析:该方程属于高次方程,已超出高中生所学范围.同时,该方程也极为复杂,传统正向解题思维不可取.基于此,就可通过方程与函数的内在联系,通过构造法,将其转化为函数知识,并利用函数的奇偶性進行分析、解答:

将原方程变形为(x2-x+1)5+4(x2-x+1)=x5+4x.

令f(t)=t5+4t,则f(t)在R上为增函数,且方程可化为

f(x2-x+1)=f(x),所以x2-x+1=x,解得x=1.

例2:已知方程x2-(2a+1)sin(cosx)+1-4a2=0存在唯一实数解,求实数a的值.

解析:这一题目为二次方程,但是方程中含有未知参数,并融入了三角函数的问题,存在一定的综合性,给学生增加了解题难度.当正向解题思维受阻时,可结合题目中的已知条件,运用构造法,利用函数关系将题目中的已知条件和未知参数表达出来,进而从另一个角度寻求出解题的思路:

令f(x)=x2-(2a+1)sin(cos x)+1-4a2.

因为f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,

假设x0为f(x)=0的解,因此-x0也为f(x)=0的解.

根据题目已知条件,得出f(x)=0存在唯一实数解,所以-x0=x0,则x0=0.

即f(0)=02-(2a+1)sin(cos0)+1-4a2=0,

经化简,得(2a+1)(1-2a-sin 1)=0,

解方程,得a=-12或者a=1-sin 12.

2.2 构造方程解题

数学知识存在极强的系统性,方程常常与数量关系、函数知识相连.在面对一些非典型问题时,可基于方程与其他知识的内在联系,根据题目中已知条件构造出新的方程,以此打开解题的思路,获取更为便捷的解题方案.

例3 求函数y=2x+1/x2+x+1的值域.

解析:鉴于本题目的特点,常规的解题思维显然存在极大的难度.鉴于此,即可借助构造解题法,基于函数与方程之间的内在联系,将其构造成为方程进行解答:

在函数两边同时乘以(x2+x+1),即可得到一个关于x的方程,y(x2+x+1)=2x+1

,即yx2+(y-2)x+y-1=0.

由于该方程在R范围内有解,则可通过y的讨论,对原函数的值域进行求解:

当y=0时,则有x=-12,该方程的解符合题目条件.

当y≠0时,则有Δ≥0,即3y2≤4,

解得-233≤y≤233且y≠0.综上,

函数的值域为-233,233.

例4 已知a>b>c,且a+b+c=1,a2+b2+c2=1,求a+b的取值范围.

解析:根据已知条件分析,可利用题目中的结构和数量关系,构造出等量的方程式,借助变形恒等式,将问题进行转化.

因为a+b+c=1,所以a+b=1-c,即(a+b)2=(1-c)2,

将a2+b2+c2=1代入其中,即可得出ab=c2-c.

因为a,b是方程x2+(c-1)x+(c2-c)=0两个不等的实数根,

所以Δ>0,即Δ=(c-1)2-4(c2-c)=-3c2+2c+1>0,

解不等式,得-13<c<1,所以-13<1-(a+b)<43.

又a2+b2+c2=1,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1,

所以1+2(ab+bc+ac)=1,即ab+bc+ac=0.

又a,b,c不同號,即c<0,

所以a+b=1-c>1,即1<a+b<43[2].

2.3 构造数列解题

数列是高中数学知识体系中的重要组成,也是考试的热点,在各类考试中尤为常见.在面对一些复杂的数列题目时,传统解题思维常常受到阻碍,唯有科学融入构造法,才能将原本繁琐的题目进行简单化,以便于学生形成明确的解题思路.

例5 求证:1n+1+1n+2+…+13n+1>1,且n为正整数.

解析:鉴于本题目特点,直接按照常规思维进行解答十分复杂,即可利用题目中“n为正整数”这一条件,依据所要证明不等式的结构展开联想,使其与数列知识相连,并基于构造法形成新的解题思路:

令an=1n+1+1n+2+…+13n+1,则an+1=1n+2+1n+3+…+13n+4,

则an+1-an=13n+4+13n+3+13n+2-1n+1=2(3n+2)(3n+3)(3n+4).

因为n为正整数,

所以an+1-an>0,{an}为递增数列.

又a1>1,所以1n+1+1n+2+…+13n+1>1成立.

例6 已知数列{an}前n项和为Sn,且S4=4,当n≥2时,则an=12(Sn+Sn-1),求Sn的表达式.

解析:按照正向解题思维,学生需要对数列的前几项和求解条件展开分析,进而利用通项公式将Sn求出来.但针对本题来说,正向解题思维面临着较大的难度.鉴于此,即可融入构造的思想,对本题目的流程和思路进行简化,最终达到高效解题的目的.

根据已知条件,得当n≥2时,an=Sn-Sn-1=12(Sn+Sn-1),

即2(Sn-Sn-1)=Sn+Sn-1,所以Sn-Sn-1=12.

又S4=4,S3=94,S2=1,S1=14,

所以Sn是等差数列,且该数列的首项为12,公差为12,

所以Sn=14n2[3].

2.4 构造向量解题

在高中数学中,向量不仅仅是一个重要的知识点,还是一种非常重要的解题工具,并且常常与其他知识相融合.鉴于此,在解答部分复杂数学问题时,即可运用构造向量的方式,将抽象问题直观化、函数问题图形化,最终高效解答相关题目.

例7 函数y=2x+1+4-x,求其最大值是多少.

解析:这是一道典型的函数问题,按照正向的解题思维,学生将要面临着繁重的计算步骤,极容易产生各种错误.鉴于此,在优化解题时,唯有立足于函数与向量知识的内在联系,通过构造向量的方式进行解答.

假设向量m=(2,1),向量n=(x+1,4-x)(-1≤x≤4),根据向量知识得出m·n≤|m|·|n|,

代入坐标还可得出y=m·n≤5,

所以当x=3时,y=2x+1+4-x存在最大值,且ymax=5.

例8 已知α,β∈0,π2,且满足cosα+cosβ-cos(α+β)=32,求α,β值.

解析:这是一道典型的三角函数问题,也是高考中比较重要的知识点.按照正向解题思维,学生需要对题目中的已知条件进行展开,如此学生将面临着繁重的运算,无法高效解答出α,β的值.鉴于此,即可引导学生结合已知条件展开联想,通过构造向量的方式,形成新的解题思路.

因为cosα+cosβ-cos(α+β)=32,

所以cosα+cosβ-cosαcosβ+sinαsinβ=32,

即sinαsinβ+(1-cosα)cosβ=32-cosα,

令m=(sinα,1-cosα),n=(sinβ,cosβ),

则m·n=32-cosα.因为|m·n|≤|m|·|n|,

所以32-cosα=|m·n|≤|m|·|n|=sin2α+(1-cosα)2·sin2β+cos2β=2-2cosα,

所以32-cosα2≤2-2cosα,化简,得cosα-122≤0,

所以cosα=12,则α=π3,根据对称性,得β=α=π3.

2.5 构造几何图形解题

在高中数学解题中,部分题目十分复杂,很难厘清题目中的关系.鉴于此,即可根据数形结合思想,结合题目中的已知条件与信息,构造相关的图形,以此将题目中的数据关系呈现出来,并形成新的解题思路.

例9 若0≤x≤4,求1+x2+4+(4-x)2的最小值.

解析:经已知条件分析,可结合数形结合的思想,结合题目中已知条件,根据“两定点之间的距离”,构造相关的几何图形,进而在图形的辅助下解答题目.

结合题目已知条件构造图形(如图1所示),假设AB=4,AC⊥AB,BD⊥AB,令AC=1,BD=2,P是AB上任意一点,设AP=x,则PC=1+x2,PD=4+(4-x)2.如此,即可将原题目中的问题转化为:当P在何处,PC+PD存在最小值?

根据所学的几何知识,设点C

关于AB的对称点为点C′,连接C′D,并与AB相交于点P.结合已知条件,得出△PAC′∽△PBD,

则有x4-x=12,解方程得x=43,此时PC+PD存在最小值等于5.

故1+x2+4+(4-x)2的最小值为5.

例10 已知a>0,b>0,a+b=1,求证:2<a+12+b+12≤2.

解析:针对这一问题,正向解题思维只会导致学生受阻,难以找到问题的解答方式.此时,结合题目中的条件a+b=1,a+12+b+12,即可采用构造图形的方式,将题目中已知条件和所求结论结合起来.

因为a+b=1,所以a+12+b+12=2,即a+122+b+122=(2)2.

根据这一公式,即可构造出直角三角形(如图2所示),即可结合三角形“两边之和大于第三边”的定理,得出a+12+b+12>2.

又a+12=2cosα,b+12=2sinα,

所以a+12+b+12=2(cosα+sinα)=2·2sinα+π4≤2,

即2<a+12+b+12≤2成立[4].

3 应用构造法解答数学问题的注意事项总结

构造法的内涵已经在高中数学解题中得到了广泛地应用,但是当前高中生的构造应用能力低下,教师在日常教学中,应关注方法引导,帮助学生理解构造法的本质内涵,并将其灵活应用到日常解题中.首先,基于构造法的内涵,在日常教学中应强化学生的观察能力.因为构造法属于一种创新思维,学生在解题之前必须要运用所学的知识,对题目内容进行仔细观察、分析,明确知识与知识的内在联系,进而为应用构造法解题奠定坚实的基础.这就要求在日常教学中,教师应借助适当的教学情境,将数学定理、数学知识渗透其中,或者运用趣味性的联系,提升学生的观察能力.其次,培养和发展学生的思维能力.构造法是思维深化的过程,属于一种创新思维解答问题的模式.这就要求教师在日常教学中,引导学生多角度思考问题,并经历假设分析、举例验证、反向推理等思维过程,使得学生在学习中逐渐打破定势思维的束缚,为应用构造法奠定坚实的基础.再次,培养学生的举一反三能力.构造法要求学生具备系统化的知识体系,由此展开联想,最终构造出新的关系,以便于原问题的解答.鉴于此,教师在日常教学中,应全面加强举一反三训练,增强学生的知识灵活运用能力.最后,还应及时进行总结和反思,以便于学生归纳具体的解题步骤,并逐渐提升自身的构造法解题能力[5].

4 结束语

综上所述,基于数学学科性质来说,在数学学习中不仅仅要善于解答一般的、典型的题目,还应借助独立思考、转变思路,解决一些非典型的题目.构造法在解答非典型题目中尤为常见,常常被应用到各类问题中.鉴于此,教师在日常教学中,必须要结合构造法的内涵,借助针对性的练习,使得学生在应用构造法解题中,循序渐进提升自身的数学解题能力.

参考文献:

[1] 庄素慧.基于“构造法”的高中数学解题思路探索[J].数理化解题研究,2022(31):5557.

[2] 张宏敏.应用构造法在高中数学中的解题策略[J].数理天地(高中版),2022(18):4951.

[3] 刘海杰.构造法在高中数学解题中的运用措施分析[J].数理化解题研究,2022(12):1416.

[4] 顾冬梅.構造法在高中数学解题中的应用[J].数理天地(高中版),2022(6):23.

[5] 丁爱年.高中数学解题教学中构造法运用分析[J].数学之友,2022,36(4):2527.

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