例析构造法在高中数学解题中的应用

赵松金

摘 要：构造法是数学解题的重要手段之一.科学、合理地融入构造法，可促使抽象问题具体化、繁杂题目简单化，还可将题目中的未知量转化为已知量，有效提升了学生的解题效率、准确率，强化了学生的解题自信心和动机.本文就立足于此，以不同类型的数学题目解答为载体，对构造法的具体应用展开了详细的探究.

关键词：构造法；高中数学；解题教学；数学思维

按照最新版的《普通高中数学课程标准》中的要求，培养学生的数学解题能力是课堂教学的重中之重.学生的数学解题能力，体现了数学基础知识的掌握情况，以及数学思维的发展情况，是数学核心素养的真实写照.鉴于高中数学特点，学生常常会遇到一些传统解题思路无法解答的题目.鉴于此，即可借助构造解题法，以原题目中的已知条件、所求结论为切入点，构造出辅助性的内容，将原来题目中的已知条件和结论联系起来，以此在新的题目关系中形成明确的解题思路.另外，构造法不仅仅是一种典型的解题方法，也是数学思想的凝聚点，涵盖了类比思想、归纳思想、转化思想等，使得学生在应用构造法的过程中，促进了数学知识的迁移、数学思维的发展等，真正促进了核心素养在课堂上的落地生根.

1 构造法与高中数学解题

1.1 构造法内涵

在正常的解题中，基本上都是按照正向思维的方式，以题目中的已知条件作为起点，借助已知条件逐渐逼近所求的未知结论，最终得到问题的解答.但在实际解题中，学生也常常会遇到一些特殊的问题，正向思维解题路径常常受阻.此时，唯有转变解题思维，尝试换一个新的角度思考和分析问题.构造法就是一种非常规的解题思维模式.具体来说，构造法就是依据题干中的信息，构造出合适的对象，最终通过有效的解题步骤进行解题.在数学解题中，构造法就是对原问题中的已知条件、结论展开充分、细致地分析，之后依据原问题中的数量、结构、条件、结论之间的关系特征展开联想，利用与其相契合的数学模型，构造出函数、方程、不等式、数列、向量或者图形等，最终将原题目中的已知条件和所求结论连接起来，以便于数学问题的解答.

可以说，构造法是一种创造性的问题解决方法，通过构造法在解题中的应用，可将题目中的未知条件转变为已知条件，将隐藏的条件可视化.有效消除了学生在解题中的畏难情绪，强化了学生的解题思路，使其在训练的过程中，逐渐提升了自身的数学问题解答能力.

1.2 构造法解题原则

原则一：相似性.主要是在解决实际问题时，对题目中的已知条件、所求结论展开分析，明确条件和结论之间的内在联系，基于联想判断其是否与所学的问题、公式、形式相一致.最后根据基本的对象构造出相契合的数学模型，最终完成问题的解答.

原则二：直观性.在利用构造法解答数学问题时，根据问题的结构，对题目中的条件和结论展开详细地观察、分析，并构造出与原问题相类似的数学形式或者数学模型，以此作为桥梁，将题目中的条件和结论联系起来，进而完成问题的解答.

原则三：等价性.主要是将原问题中的条件进行转化，使得新形式与之相等价，并将原问题中的条件和结论置于构造出的新形式下进行解答［1］.

2 构造法在高中数学解题中的具体应用

2.1 构造函数解题

一些非典型的数学问题，可根据问题的条件构造出一个新的函数关系，进而将复杂的数学问题进行转化，使其成为学生所熟悉的函数关系，进而运用函数概念、定义、性质、图象等知识点进行解答.

例1 在实数范围内解（x²-x+1）⁵-x⁵+4x²-8x+4=0.

解析：该方程属于高次方程，已超出高中生所学范围.同时，该方程也极为复杂，传统正向解题思维不可取.基于此，就可通过方程与函数的内在联系，通过构造法，将其转化为函数知识，并利用函数的奇偶性進行分析、解答：

将原方程变形为（x²-x+1）⁵+4（x²-x+1）=x⁵+4x.

令f（t）＝t⁵+4t，则f（t）在Ｒ上为增函数，且方程可化为

f（x²-x+1）=f（x），所以x²-x+1=x，解得x=1.

例2：已知方程x²-（2a+1）sin（cosx）+1-4a²=0存在唯一实数解，求实数a的值.

解析：这一题目为二次方程，但是方程中含有未知参数，并融入了三角函数的问题，存在一定的综合性，给学生增加了解题难度.当正向解题思维受阻时，可结合题目中的已知条件，运用构造法，利用函数关系将题目中的已知条件和未知参数表达出来，进而从另一个角度寻求出解题的思路：

令f（x）=x²-（2a+1）sin（cos x）+1-4a².

因为f（-x）=f（x），所以f（x）为偶函数，

假设x₀为f（x）=0的解，因此-x₀也为f（x）=0的解.

根据题目已知条件，得出f（x）=0存在唯一实数解，所以-x₀=x₀，则x₀=0.

即f（0）=0₂-（2a+1）sin（cos₀）+1-4a2=0，

经化简，得（2a+1）（1-2a-sin 1）=0，

解方程，得a=-12或者a=1-sin 12.

2.2 构造方程解题

数学知识存在极强的系统性，方程常常与数量关系、函数知识相连.在面对一些非典型问题时，可基于方程与其他知识的内在联系，根据题目中已知条件构造出新的方程，以此打开解题的思路，获取更为便捷的解题方案.

例3 求函数y=2x+1/x²+x+1的值域.

解析：鉴于本题目的特点，常规的解题思维显然存在极大的难度.鉴于此，即可借助构造解题法，基于函数与方程之间的内在联系，将其构造成为方程进行解答：

在函数两边同时乘以（x²+x+1），即可得到一个关于x的方程，y（x²+x+1）=2x+1

，即yx²+（y-2）x+y-1=0.

由于该方程在R范围内有解，则可通过y的讨论，对原函数的值域进行求解：

当y=0时，则有x=-12，该方程的解符合题目条件.

当y≠0时，则有Δ≥0，即3y2≤4，

解得-233≤y≤233且y≠0.综上，

函数的值域为-233，233.

例4 已知a＞b＞c，且a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求a+b的取值范围.

解析：根据已知条件分析，可利用题目中的结构和数量关系，构造出等量的方程式，借助变形恒等式，将问题进行转化.

因为a+b+c=1，所以a+b=1-c，即（a+b）2=（1-c）2，

将a2+b2+c2=1代入其中，即可得出ab=c2-c.

因为a，b是方程x2+（c-1）x+（c2-c）=0两个不等的实数根，

所以Δ＞0，即Δ=（c-1）2-4（c2-c）=-3c2+2c+1＞0，

解不等式，得-13＜c＜1，所以-13＜1-（a+b）＜43.

又a2+b2+c2=1，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1，

所以1+2（ab+bc+ac）=1，即ab+bc+ac=0.

又a，b，c不同號，即c＜0，

所以a+b=1-c＞1，即1＜a+b＜43［2］.

2.3 构造数列解题

数列是高中数学知识体系中的重要组成，也是考试的热点，在各类考试中尤为常见.在面对一些复杂的数列题目时，传统解题思维常常受到阻碍，唯有科学融入构造法，才能将原本繁琐的题目进行简单化，以便于学生形成明确的解题思路.

例5 求证：1n+1+1n+2+…+13n+1＞1，且n为正整数.

解析：鉴于本题目特点，直接按照常规思维进行解答十分复杂，即可利用题目中“n为正整数”这一条件，依据所要证明不等式的结构展开联想，使其与数列知识相连，并基于构造法形成新的解题思路：

令an=1n+1+1n+2+…+13n+1，则an+1=1n+2+1n+3+…+13n+4，

则an+1-an=13n+4+13n+3+13n+2-1n+1=2（3n+2）（3n+3）（3n+4）.

因为n为正整数，

所以an+1-an＞0，{an}为递增数列.

又a1＞1，所以1n+1+1n+2+…+13n+1＞1成立.

例6 已知数列{an}前n项和为Sn，且S4=4，当n≥2时，则an=12（Sn+Sn-1），求Sn的表达式.

解析：按照正向解题思维，学生需要对数列的前几项和求解条件展开分析，进而利用通项公式将Sn求出来.但针对本题来说，正向解题思维面临着较大的难度.鉴于此，即可融入构造的思想，对本题目的流程和思路进行简化，最终达到高效解题的目的.

根据已知条件，得当n≥2时，an=Sn-Sn-1=12（Sn+Sn-1），

即2（Sn-Sn-1）=Sn+Sn-1，所以Sn-Sn-1=12.

又S4=4，S3=94，S2=1，S1=14，

所以Sn是等差数列，且该数列的首项为12，公差为12，

所以Sn=14n2［3］.

2.4 构造向量解题

在高中数学中，向量不仅仅是一个重要的知识点，还是一种非常重要的解题工具，并且常常与其他知识相融合.鉴于此，在解答部分复杂数学问题时，即可运用构造向量的方式，将抽象问题直观化、函数问题图形化，最终高效解答相关题目.

例7 函数y=2x+1+4-x，求其最大值是多少.

解析：这是一道典型的函数问题，按照正向的解题思维，学生将要面临着繁重的计算步骤，极容易产生各种错误.鉴于此，在优化解题时，唯有立足于函数与向量知识的内在联系，通过构造向量的方式进行解答.

假设向量m=（2，1），向量n=（x+1，4-x）（-1≤x≤4），根据向量知识得出m·n≤｜m｜·｜n｜，

代入坐标还可得出y=m·n≤5，

所以当x=3时，y=2x+1+4-x存在最大值，且ymax=5.

例8 已知α，β∈0，π2，且满足cosα+cosβ-cos（α+β）=32，求α，β值.

解析：这是一道典型的三角函数问题，也是高考中比较重要的知识点.按照正向解题思维，学生需要对题目中的已知条件进行展开，如此学生将面临着繁重的运算，无法高效解答出α，β的值.鉴于此，即可引导学生结合已知条件展开联想，通过构造向量的方式，形成新的解题思路.

因为cosα+cosβ-cos（α+β）=32，

所以cosα+cosβ-cosαcosβ+sinαsinβ=32，

即sinαsinβ+（1-cosα）cosβ=32-cosα，

令m=（sinα，1-cosα），n=（sinβ，cosβ），

则m·n=32-cosα.因为｜m·n｜≤｜m｜·｜n｜，

所以32-cosα=｜m·n｜≤｜m｜·｜n｜=sin2α+（1-cosα）2·sin2β+cos2β=2-2cosα，

所以32-cosα2≤2-2cosα，化简，得cosα-122≤0，

所以cosα=12，则α=π3，根据对称性，得β=α=π3.

2.5 构造几何图形解题

在高中数学解题中，部分题目十分复杂，很难厘清题目中的关系.鉴于此，即可根据数形结合思想，结合题目中的已知条件与信息，构造相关的图形，以此将题目中的数据关系呈现出来，并形成新的解题思路.

例9 若0≤x≤4，求1+x2+4+（4-x）2的最小值.

解析：经已知条件分析，可结合数形结合的思想，结合题目中已知条件，根据“两定点之间的距离”，构造相关的几何图形，进而在图形的辅助下解答题目.

结合题目已知条件构造图形（如图1所示），假设AB=4，AC⊥AB，BD⊥AB，令AC=1，BD=2，P是AB上任意一点，设AP=x，则PC=1+x2，PD=4+（4-x）2.如此，即可将原题目中的问题转化为：当P在何处，PC+PD存在最小值？

根据所学的几何知识，设点C

关于AB的对称点为点C′，连接C′D，并与AB相交于点P.结合已知条件，得出△PAC′∽△PBD，

则有x4-x=12，解方程得x=43，此时PC+PD存在最小值等于5.

故1+x2+4+（4-x）2的最小值为5.

例10 已知a＞0，b>0，a+b=1，求证：2＜a+12+b+12≤2.

解析：针对这一问题，正向解题思维只会导致学生受阻，难以找到问题的解答方式.此时，结合题目中的条件a+b=1，a+12+b+12，即可采用构造图形的方式，将题目中已知条件和所求结论结合起来.

因为a+b=1，所以a+12+b+12=2，即a+122+b+122=（2）2.

根据这一公式，即可构造出直角三角形（如图2所示），即可结合三角形“两边之和大于第三边”的定理，得出a+12+b+12＞2.

又a+12=2cosα，b+12=2sinα，

所以a+12+b+12=2（cosα+sinα）=2·2sinα+π4≤2，

即2＜a+12+b+12≤2成立［4］.

3 应用构造法解答数学问题的注意事项总结

构造法的内涵已经在高中数学解题中得到了广泛地应用，但是当前高中生的构造应用能力低下，教师在日常教学中，应关注方法引导，帮助学生理解构造法的本质内涵，并将其灵活应用到日常解题中.首先，基于构造法的内涵，在日常教学中应强化学生的观察能力.因为构造法属于一种创新思维，学生在解题之前必须要运用所学的知识，对题目内容进行仔细观察、分析，明确知识与知识的内在联系，进而为应用构造法解题奠定坚实的基础.这就要求在日常教学中，教师应借助适当的教学情境，将数学定理、数学知识渗透其中，或者运用趣味性的联系，提升学生的观察能力.其次，培养和发展学生的思维能力.构造法是思维深化的过程，属于一种创新思维解答问题的模式.这就要求教师在日常教学中，引导学生多角度思考问题，并经历假设分析、举例验证、反向推理等思维过程，使得学生在学习中逐渐打破定势思维的束缚，为应用构造法奠定坚实的基础.再次，培养学生的举一反三能力.构造法要求学生具备系统化的知识体系，由此展开联想，最终构造出新的关系，以便于原问题的解答.鉴于此，教师在日常教学中，应全面加强举一反三训练，增强学生的知识灵活运用能力.最后，还应及时进行总结和反思，以便于学生归纳具体的解题步骤，并逐渐提升自身的构造法解题能力［5］.

4 结束语

综上所述，基于数学学科性质来说，在数学学习中不仅仅要善于解答一般的、典型的题目，还应借助独立思考、转变思路，解决一些非典型的题目.构造法在解答非典型题目中尤为常见，常常被应用到各类问题中.鉴于此，教师在日常教学中，必须要结合构造法的内涵，借助针对性的练习，使得学生在应用构造法解题中，循序渐进提升自身的数学解题能力.

参考文献：

［1］ 庄素慧.基于“构造法”的高中数学解题思路探索［J］.数理化解题研究，2022（31）：5557.

［2］ 张宏敏.应用构造法在高中数学中的解题策略［J］.数理天地（高中版），2022（18）：4951.

［3］ 刘海杰.构造法在高中数学解题中的运用措施分析［J］.数理化解题研究，2022（12）：1416.

［4］ 顾冬梅.構造法在高中数学解题中的应用［J］.数理天地（高中版），2022（6）：23.

［5］ 丁爱年.高中数学解题教学中构造法运用分析［J］.数学之友，2022，36（4）：2527.