巧用配方解决数学问题

李国屹

摘 要：鉴于数学学科的特点，提升学生的数学解题能力是课堂教学的重要任务.配方法作为初中数学常见的数学思想方法，以其独特的魅力和优势，已成为提升解题效率的有力“抓手”.本论文就立足于此，结合相关的例题，针对配方法在初中数学解题中的具体应用进行了详细的探究，具备极强的应用价值.

关键词：配方法；初中数学；解题；数学思想

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确提出：数学学习不仅仅是数学知识和解题技能的学习，更是数学思维和数学思想的学习.就初中阶段的数学来说，涉及到的数学解题方法比较多，包括：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、消元法等，这些都是数学思想的细化、具体化.配方法作为诸多数学解题方法中的一种，属于一种定向变形技巧，借助配方的手段，明确已知和未知之间的联系，最终达到化繁为简、解答题目的目的.同时，配方法也是数学思想的集中体现，学生在运用配方法解答数学问题的过程中，数学思维能力也随之提升，促进了数学核心素养的有效提升.

1 配方法在初中数学解题中的应用

配方法又称之为“凑配法”，属于一种定向变形的方法，主要是借助“拆项”“添项”“配”和“凑”的技巧，配成“完全平方”，最终找到已知和未知的联系，进而达到解答问题的目的.可以说，配方法的核心就是恒等变形，主要是对式子或者式子中的某个部分进行变形，使其成为完全平方式.在初中数学解题中，配方法的应用范围比较广泛，几乎涵盖了整个知识体系.

1.1 配方法与因式分解

因式分解在初中数学中举足轻重，也是学习的难点.因式分解是学生解决一元二次方程、高次方程时必不可缺的方法，也是进行分式运算的基础.同时，因式分解也是初中数学考查的热点.在解决这一类型的问题时，经常需要配方法的“鼎力相助”.

例1 因式分解4c2x2-4cdxy-3d2y2+8dy-4.

解析：在原式中，要想进行因式分解，需要在原式中增加一个d2y2，就可以将原题变为完全平方，之后再次运用平方差公式进行分解，即4c2x2-4cdxy+d2y2-4d2y2+8dy-4=（2cx-dy）2-（2dy-2）2=（2cx+dy-2）（2cx-3dy+2）.

例2 在实数范围内，对多项式x2-4x+1进行因式分解.

解析：在解答这一问题时，可以以x2-4x为切入点，将原式进行恒等变形、配方，最终将多项式转变成为（x-2）2-3，使其成为两个平方差的形式，以此开展因式分解：x2-4x+1=x2-4x+22-22+1=（x-2）2-3=（x-2+3）（x-2-3）.可见，在因式分解类型的题目中，解题的关键就是拆项、分组，并借助配方的思想，依据相关的公式进行解题［1］.

1.2 配方法与代数式运算

代数式运算也是初中数学考查的重点，不仅考查了学生的各种计算能力，也考查了学生的问题分析能力和解决能力，以及数学思想和方法的应用能力.在计算代数式时，面对一些复杂的问题，无法直接带入求值，唯有先借助配方法进行转化，才能在此基础上轻松解答.

例3 已知实数x、y、z满足x=6-y，z2=xy-9，求x、y、z的值.

解析：在本题中，已知条件只有2个，未知元存在3个，要想求出3个未知元，唯有对题目展开分析，充分挖掘等式条件中隐含的关系.鉴于此，即可运用配方法进行求解：将x=6-y代入到z2=xy-9中，得出z2=xy-9=（6-y）y-9=-（y-3）2，因此z2+（y-3）2=0.又因为x、y、z均为实数，因此z2≥0，（y-3）2≥0，要使得z2+（y-3）2=0成立，则z=0，y=3，又因为x=6-y，所以x=3.

例4 假设x=n+1-nn+1+n，y=n+1+nn+1-n（n为自然数）.当n为何值时，x2+1504xy+y2=1986.

解析：观察题目中的已知条件，由于x、y互为倒数，即可轻松求出x+y、xy的值，之后再结合所求的式子，借助配方法，将其变化成为含有x+y、xy的形式，即可直接代入求解：x+y=n+1-nn+1+n+n+1+nn+1-n=（n+1-n）2+（n+1+n）2（n+1+n）（n+1-n）=4n+2，

xy=n+1-nn+1+n×n+1+nn+1-n=1，因此

x2+1504xy+y2=x2+2xy+y2+1502xy=（x+y）2+1502xy=（4n+2）2+1502=1986.通過解方程即可得出n=5.

1.3 配方法与一元二次方程

一元二次方程属于整式方程，是学生开展高次数学知识学习的基础.在历年的考试中，关于一元二次方程的考点集中体现在判别式、根与系数关系等知识点.面对一些复杂的一元二次方程，唯有熟练运用配方法，才能完成解答.

例5 解方程3x2+8x-3=0.

解析：在解答ax2+bx+c=0这一类型的一元二次方程时，其解题思路就是先将方程二次项系数化为1，之后再借助配方法，将方程进行转化，使其成为开方所需的形式.因此，在解答3x2+8x-3=0时，首先将二次项系数化为“1”，即：x2+83x-1=0，之后借助配方法，将其变形成为：x2+83x+432=1+432，即：x+432=532.因此，x+43=±53，即：x1=13，x2=-3.

例6 已知一元二次方程x2-（2k+1）x+4k-3=0，求证：在该方程中，无论k为何值，该方程中始终存在两个不相等的实数根.

解析：在这一题目中，要想证明方程存在两个不相等的实数根，必须对该方程的判别式进行判断，唯有当其大于0时，该方程才会存在两个不相等的实数根.因此，计算该方程的判别式：Δ=b2-4ac=［-（2k+1）］2-4×1×（4k-3）=4k2-12k+13.在此基础上，要对判别式的值进行判断，必须要借助配方法，将其变形为Δ=4k2-12k+13=4k2-12k+32+4=（2k-3）2+4，因为（2k-3）2≥0，所以Δ=（2k-3）2+4＞0，即无论k取何值，该方程始终存在两个不相等的实数根［2］.

1.4 配方法与二次根式化简

在初中数学教学中，二次根式化简是初中数学教学的重中之重，也是培养学生烦琐运算和变换能力的关键和基础.在这一阶段中，学好二次根式化简十分重要.但在实际解题中，由于部分二次根式化简难度比较大，常规解题思路会受到限制.面对这一现状，科学地融入配方法将会有意外的收获.

例7 化简根式10-221+4+23.

解析：在二次根式化简题目中，学生常常要借助a2=｜a｜这一公式.鉴于此，在对该二次根式进行化简时，需要借助转化思维，将根号下的被开方的数转化成为完全平方式.而要达到这一目标，则需要借助配方的手段，将二次根式下被开方的数进行变形.即10-221+4+23=7-27·3+3+3+23·1+1=（7-3）2+（3+1）2.如此，经过配方转化之后，即可利用a2=｜a｜这一公式，将原式转化为7-3+3+1=1+7.

例8 化简3+63+22.

解析：在借助配方法化简二次根式时，首先应明白二次根式中包含的两个必要条件.针对同类的二次根式来说，要想对其进行化简，需要将根号内含有二次的因式进行移动，使其到根号之外.但如果根式中出现多项式的时候，必须要借助配方法，对其进行变形、化简，方可求解.鉴于此，在本题解答时，即可遵循这一思路.因为3+22=（2）2+22+1=（2+1）2=2+1.所以原式=3+6（2+1）=9+62=（6）2+62+（3）2=（6+3）2=6+3.

1.5 配方法与函数最值问题

在初中数学教学中，二次函数最值问题历来是考查的重点.针对这一类型的问题，通常需要借助二次函数的图象这一工具，获得该函数的最值.但是学生在解题时，常常面临一些不规则的函数图像，唯有借助配方法将其规范化，将函数凑成顶点式，才能继续求解.

例9 求函数y=x4+x2+1的最小值.

解析：按照函数求最值的一般思路，当自变量x的取值范围有限时，无法直接求出y=ax2+bx+c的最值，唯有先借助配方法化简再求值，才能避免解题过程中出现错误.因此，在本题目中，可先对其进行配方，使其变形为y=x4+x2+1=（x2）2+x2+1=x2+122+34.

在这一题目中，因为x2≥0，所以x2的最小值为0.因此，只有x=0的时候，y=x4+x2+1存在最小值，为y=1.在这一题目中，如果忽视了配方法的应用，直接按照二次函数的公式进行求解，就会出现错误：y=4ac-b24a，当x2=-b2a=-12时，y=x4+x2+1存在最小值.这一解法是错误的，忽视了x2≥0这一条件.因此，面对函数最值问题时，为了避免错误，必须要借助配方法，才能达到目的［3］.

例10 已知二次函数y=ax2+bx+c存在最小值，最小值为-12，且a∶b∶c=1∶3∶2，求该函数的解析式.

解析：在解答本题时，可结合题设条件，先得出抛物线的顶点坐标，即-32，-12，之后借助配方法，将原来二次函数的解析式进行转变，使其成为“配方式”的形式，即：y=a（x+h）2-12（a＞0），因为a∶b∶c=1∶3∶2，所以b2a=32=h，因此函数的解析式可进一步变形为y=a（x+h）2-12=ax+322-12=ax2+3ax+9a-24.

同时，再结合c∶a=2∶1，得出9a-24=2a，最终得出a=2.因此，该函数的解析式为y=ax2+bx+c=2x+322-12.

1.6 配方法与平面几何问题

在初中数学教育体系中，平面几何是教学的重中之重，是学生学好立体几何知识的基础，也是发展学生空間想象能力的关键.同时，平面几何问题也是初中数学考查的重点.在解决平面几何问题时，如果按照常规的解题思维，学生常常面临着烦琐的运算，不仅浪费了解题的时间，甚至还会出现错误.鉴于此，唯有借助配方法，另辟蹊径，才能化繁为简，提升学生的解题效率.

例11 如图1所示，在△ABC中，已知∠A+∠C=2∠B，且三角形最长边和最短边分别是方程3x（x-9）+32=0的两个根，求△ABC内切圆的面积.

解析：在这一题中，按照常规的解题思维，唯有借助方程求解，得出两个根，才能计算出三角形内切圆的面积.但是在这一过程中，学生面临着烦琐的运算，难度极大.鉴于此，借助配方法，巧妙借助方程根和系数之间的关系进行求解，就能很大程度上简化学生的解题思路：因为∠A+∠C=2∠B，所以∠B=60°.又因为三角形中最大角不小于60°、最小角不大于60°，所以∠B必然是三角形中最长边和最短边的夹角.

同时，对方程3x（x-9）+32=0进行整理、变形，得出3x2-27x+32=0.

假设△ABC最长边为a，最短边为c.因为a、c是该方程的两个根，因此结合韦达定理，得出a+c=9，ac=323.之后，结合余弦定理，得出b2=a2+c2-2accosB=（a+c）2-3ac=92-3×323=49，因此b=7.

基于此，即可得出S△ABC=12acsinB=833.假设三角形内切圆的半径为r，则有S△ABC=12（a+b+c）r，解方程得出r=2S△ABCa+b+c=33，因此所求三角形内切圆的面积S=πr2=13π.

例12 已知a、b、c、d均为正数，且满足a4+b4+c4+d4=4abcd，求证：以a，b，c，d为边的四边形为菱形.

解析：结合题目中的已知条件，在进行证明时，关键在于借助完全平方公式，将给出的条件进行配方、变形，将a4+b4+c4+d4=4abcd通过配方、变形为a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，整理，得出（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0，因为a、b、c、d均为正数，所以a2-b2=0、c2-d2=0、ab-cd=0，即a=b=c=d，因此以a，b，c，d为边的四边形为菱形［4］.

2 基于配方法解题的初中数学教学启示

首先，基于教学内容和学情，科学设计教学内容.在日常教学中，要想促使学生真正理解配方法的内涵，必须要结合具体的教学内容，指向学生的学情，科学设计教学目标.一方面，应立足于教材上的例题，以此为切入点，指导学生在例题思考和解题实践中，掌握配方法的解题思路和方法，并在例题分析中总结出配方法的解题规律；另一方面，为了促进配方法相关知识的深化，在基本例题教学的基础上，还应结合学生已有知识的掌握情况、认知思维发展水平，为学生补充高质量的数学题目，以便于学生在多样化的数学题目中，熟练掌握这一解题方法.

其次，全面加强学生的数学思维训练.配方法属于一种数学思想方法，对学生的数学基础知识掌握水平、思维水平都提出了更高的要求.鉴于此，在日常数学课堂中，应全面加强初中生的数学思维训练，引导学生在思考和分析问题的过程中，探究新的解题方法.

最后，优化课堂教学方法，科学、合理借助多媒体辅助工具.在初中数学课堂教学中，要真正提升学生的配方法应用能力，教师还应努力转变传统的教学模式，充分借助多媒体信息技术，将原本抽象的数学理论知识直观化、形象化，以便于学生在直观地感知中完成配方法的学习.

3 结束语

综上所述，鉴于初中学科的特点，解决数学问题的根本就是“化难为易、化繁为简”，将未知的数学问题进行转化，使其成为学生熟悉的数学形式，进而促使学生运用已有的数学知识和数学经验完成数学问题的解答.配方法就是一种灵活的解题方法，是数学思想的缩影，可将其灵活应用到因式分解、代数式运算、一元二次方程解答、二次根式化简、函数最值、平面几何问题的解答中，使得学生在高效解答数学问题的同时，促进数学思维的发展，真正实现学科素养下的教学目标.

参考文献：

［1］ 戴晓峰.配方法在初中数学解题中的灵活运用［J］.中学数学（初中版），2022（10）：6970+79.

［2］ 刘伟，张高潮，孙晋斌.初中数学解题中配方法的有效应用［J］.数理天地（初中版），2022（18）：3132.

［3］ 董丹颖.配方法在初中数学解题中的应用［J］.现代中学生（初中版），2021（18）：4243+48.

［4］ 曾永发.配方法在数学解题中的有效应用探究［J］.成才之路，2020（34）：118119.

［5］ 景書楷.巧借配方法解决数学题——浅议配方法在初中数学解题中的应用［J］.数学大世界（中旬），2019（3）：17.

［6］ 龙青.配方法在初中数学解题中的应用［J］.中学课程辅导（教师通讯），2018（9）：109.