反向思考，探寻解题新途径

张洁

摘 要：逆向思维是数学思维的重要组成，属于一种间接思考的方式，即站在问题的对立面进行思考，最终寻求一条全新的解题思路.鉴于数学学科的特点，在正向解题思维受限时，应敢于“反其道而行之”，打破传统解题思维的束缚，站在问题的对立面思考问题、解答问题.本论文以此为切入点，结合大量的练习题目，针对逆向思维在解题中的應用进行了详细的探究，具备一定的教学参考价值.

关键词：初中数学；解题教学；数学思维；逆向思维；培养路径

数学是一门思维性的学科，既抽象，难度又大，尤其是在解题环节中，各种各样的难题层出不穷.无论是对于数学教师，还是学生来说，都是严峻的挑战.初中生在解题时，常常受到固定思维的束缚，导致其逐渐进入到解题“黑洞”中.鉴于此，在日常的解题教学中，教师应结合实际情况，大力培养学生逆向思维，使其在面临复杂数学问题时，能够反其道而行之，站在问题的对立面进行倒推，最终找到一种新的解题思路.经过课堂教学实践证明，通过一段时间的逆向思维训练之后，学生的解题能力、思维能力也随之提升，极大地促进了数学核心素养的落实，具备极强的教育价值.

1 逆向思维在初中数学解题中的具体应用

逆向思维又被称为求异思维，主要是对已经成为定论，或者司空见惯的观点、事物等，从相反的视角进行思考、观察，最终产生新的思路和想法.在初中数学学习中，逆向思维就是从反方向思考和分析数学问题，并对其进行解释和解答.鉴于数学学科的特点，逆向思维在数学学习中得到了广泛的应用，俨然已经成为一种有力的“解题工具”.

1.1 在几何题目中应用

几何作为初中数学的重要组成，在常规的解题思路中，学生需要先从题干中寻找已知条件，再依据已知条件进行求解.但在实际解题中，部分学生常常面临着极大的困难，无法从题目已知条件中得出结论.鉴于此，可通过逆向思维，以结论作为出发点进行逆推，最终形成明确的解题思路.

例1 如图1所示，在△ABC中，AB⊥AD，AC=AB，BC和AD两条直线相交，交点为E.BC⊥DC，AD和DC相交，交点为D，求证：AC2=AD·AE.

解析：在这一题目中，凭借求证的要求，即可结合所学知识联想到需要运用三角形相似的方式进行.但按照常规的思路进行解题，学生结合已有的条件出发，单凭题目中所给的两个垂直条件，很难找出能够建立AC2=AD·AE关系的相似三角形.此时，即可借助逆向思维的方式，从结论出发：要想证明出AC2=AD·AE，则可将其变形为ACAD=AEAC.根据三角形边的关系，只要证明出△ADC∽△ACE即可.如此，即可利用题目中所给的条件进行证明.具体步骤如下：∵AB⊥AD、BC⊥DC，且∠AEB=∠CED，∴∠B=∠D.又AC=AB，∴∠B=∠ACB=∠D.

在△ADC和△ACE中，∵∠ACD=∠BCD+∠ACB=90°+∠ACB，∠AEC=∠BAD+∠B=90°+∠B0又∠B=∠ACB=∠D.

∴∠ACD=∠AEC.

且∠DAC为两个三角形的公共角.∴△ADC∽△ACE，∴ACAD=AEAC，∴AC2=AD·AE.

例2 如图2所示，在四边形ABCD中，AB+BD＜AC+CD，求证：AB＜AC.

解析：如果按照常规的思路进行证明，学生要想证明出AB＜AC，需要先证明BD=CD，或者BD＞CD，即要先证明出∠BCD≥∠1.如果按照这一思路进行，根据现有题目中所给出的条件，学生常常面临较大的困难.面对这一现状，如果采用逆向思维的方式，即可从AB≥AC出发，对其证明.如此，按照逆向思维的模式，如果AB≥AC，则有∠2≥∠ABC，∠BCD＞∠2，∠ABC＞∠1，最终由此得出∠BCD＞∠1，BD＞CD，即AB+BD＞AC+CD.显然这与所给出的条件不相符.因此，假设不成立.即：AB＜AC［1］.

1.2 在一元一次不等式题目中应用

一元一次不等式是初中数学中最为重要的知识点，也是必考的知识点.在解答这一类型题目时，常规性的问题可按照传统的思维模式进行解答，但是针对部分特殊的问题，按照常规思路进行解题，只会导致学生陷入到困境中.鉴于此，就应引导学生转化思维，借助逆向思维的模式，对一元一次不等式进行简化，有效提升学生的数学解题能力.

例3 解关于x的不等式组x-m＜0，7-2x≤3.如果其存在4个整数解，求m的取值范围.

解析：如果按照常规的思路进行求解，由于不等式方程组中含有字母，学生计算完之后，只能得到2≤x

1.3 在方程题目中应用

方程也是初中数学的重难点，在考试中尤为常见.在解答方程类型题目时，由于学生的思维方式、计算能力存在差异性，在具体解答问题时，学生常常面临着计算和方程知识运用等问题.鉴于此，在优化解题教学时，就可适当融入逆向思维的模式，拓展学生的解题思路，提升其计算能力.

例4 解方程320×40%=（320-x）（1-20%）+20%.

解析：如果按照常规的思路进行解答，学生在解该方程时，需要先将其变形成为320×40%=（320-x）80%+20%，接着通过移项、变形，成为80%x=320×40%+20%，到此之后，学生需要面临比较繁琐的计算，不仅浪费了时间，而且容易出现错误.鉴于此，即可融入逆向思维的模式，先在方程的两边同时除以20%，对其进行变形，得出：4x=320×2+1，最终便可简单地求出x=6414［2］.

例5 妈妈购买了几桶牛奶.第一天，全家人喝掉了全部牛奶的一半零半桶；第二天又喝掉了第一天剩下的一半零半桶，第三天把家中剩下的一半零半桶牛奶喝完了.此时，妈妈购买回来的牛奶已经全部喝完，问妈妈一共购买了多少牛奶？

解析：在这一方程应用题中，如果按照常规的思路进行正面求解，学生将面临着很大的困难.此时，就可融入逆向思维进行分析：假设第二天喝完之后家中还剩下x桶牛奶，则根据题意得出x2-12=1，得出x=1，也是就说第二天喝完之后，家中牛奶只剩余1桶.由此进行逆推，第二天没有喝之前的牛奶为3桶，第一天没喝之前为7桶，也就是妈妈买回来的牛奶.

1.4 在三角形题目中应用

三角形作为初中数学的重点之一，在考试中尤为常见.针对一些特殊的三角形题目，当传统解题思路碰壁时，即可融入逆向思维，巧妙运用相关的性质、定理，最终高效解答相关的题目.

例6 在一个三角形中，至少有一个角不小于60°.判断该命题是真命题还是假命题？

解析：在对这一命题进行判断时，如果按照常规的思维，需要考虑很多情况，因为在题目中给出的是“至少有一个”，也就是说可能是两个、也可能是三个.如此一来，增加了判断的难度，甚至导致学生做出错误的判断.鉴于此，就可引導学生借助逆向思维的方式，从命题结论入手，至少有一个角不小于60°的对立面就是“没有一个角小于60°”，如果这一命题正确，原命题就是假命题.在三角形中，因为其内角和是180°，如果“没有一个角小于60°”，则三角形内角和就超出了180°，因此该命题属于假命题.由此得出原命题“在一个三角形中，至少有一个角不小于60°”属于真命题.

例7 已知△ABC，三条边分别是a、b、c，且a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1（n＞0），求证：△ABC是直角三角形.

解析：要想证明三角形是否属于直角三角形，按照常规的思路来说，基本上都是从角出发.而在本题目中，给出的却是三条边的关系.鉴于此，就可借助逆向思维这一途径，从勾股定理的逆定理出发，如果三角形三边关系满足a2+b2=c2即可.即：

∵n＞0，

∴2n2+2n+1＞2n2+2n＞2n+1，即：c＞b＞a.

∵a2+b2=（2n+1）2+（2n2+2n）2=4n4+8n3+8n2+4n+1，c2=（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1，

∴a2+b2=c2.

∴△ABC是直角三角形［3］.

1.5 在函数问题中应用

在初中数学教学中，函数问题历来是重难点，学生在学习中常常面临很大的困难.鉴于此，在优化函数问题解题教学时，就可充分发挥逆向思维的价值，引导学生在反向思考中，寻找出新的解题路径，逐渐消除学生的畏难情绪等.

例8 当m取什么实数时，抛物线y=-x2+（m-2）x+m-5的顶点不在第四象限中？

解析：在这道二次函数问题中，如果按照常规的解题思路进行考虑，要想使得抛物线图象不在“第四象限”中，则应考虑在第一、第二、第三象限以及坐标轴上.此时，学生需要对这些情况进行讨论，最终将所有的结论进行综合成为答案.但是这一解题思路比较麻烦，学生需要讨论的范围比较广，以及精准无误的计算等.但是如果采用逆向思维的模式，就可将这一题目简单化，最终完成其高效解答.即：抛物线y=-x2+（m-2）x+m-5的顶点在第四象限时，根据定点公式，即可得出-m-22×（-1）＞0，

4×（-1）（m-5）-（m-2）24×（-1）＜0.

通过解不等式组，即可得出2＜m＜4，此时该抛物线顶点正处于第四象限中.反之，当m≥4或m≤2时，抛物线y=-x2+（m-2）x+m-5的顶点不在第四象限中.

例9 如图3所示，抛物线y=-12x2+7x-452与x轴相交，交点为A、B.将抛物线在x轴上方的图象记为C1，之后将C1向左平移，并得到C2，且C2与x轴相交于B、D两点，如果直线y=-12x+m与C1、C2一共存在三个不同的交点，则m的取值范围是（  ）.

解析：在这一函数问题解答中，如果按照常规的思维，学生将面临着非常大的困难，难以形成明确的解题思路.而这一题目作为选择题目形式出现，需要学生快速、精准完成解答.鉴于此，就可借助逆向思维的方式，令y=-12x2+7x-452=0，最终通过解方程得出A、B两点的坐标，即：A（9，0）、B（5，0），通过该图象平移，因为C1、C2存在共同的交点B，据此得出D点的坐标为（1，0）；同时，结合题目中已知条件，得出C2对应的抛物线解析式为y=-12（x-3）2+2，直线y=-12x+m与C1、C2一共存在三个不同的交点.如果其恰好过B点时，则和C1、C2存在两个交点.于是，将B点坐标带入直线y=-12x+m的解析式中，最终即可得出m=52.随即，结合题目含义，得出m＞52，就可以此出发将B、D两个选项排出.之后，对A、C两项进行观察，关键在于是否含有m=4，随即将其带入到直线解析式中，并与抛物线联立方程.如此即可得出最终的答案，即A［4］.

1.6 在综合性问题中的应用

在初中综合性复习中，常常会遇到一些综合性的问题.这些问题中常常包含着大量的知识点，综合性十分强，学生不仅仅要具备扎实的基础知识体系，还应具备极强的数学思维能力，能够结合题目的实际情况，灵活运用逆向思维进行解答.

例10 如果点P（x，y）的坐标满足x+y=2a-b-4，x-y=b-4，且点P不在x轴上.若关于z的不等式yz+x+4＞0的解题为z＜23，则关于t不等式at＞b的解集是什么？

解析：这是一道综合性的数学问题，其中涉及的知识点非常多，主要包括二元一次方程组、点的坐标、不等式等.学生按照常规的思维解答时，常常面临很大的困难，致使多学生都选择了放弃.鉴于此，在优化解题教学时，就可融入逆向思维的方式，先根据题意得出x=a-4，y=a-b.∵点P不在x轴上，∴a≠b.又∵yz+x+4＞0，∴（a-b）z+a＞0.

最终解答出z＜23.同时，结合不等式知识得出a-b＜0，得出z＜-aa-b=23，最终得出b=52a，∴a＜52a，a＞0，b＞0，则不等式at＞b，最终得出t＞ba=52，

∴at＞b的解集为t＞52［5］.

2 初中数学教学中学生逆向思维能力培养路径

经过大量的课堂教学实践证明，在初中數学解题教学中，逆向思维的应用，可有效拓展学生的解题思路，使得学生在“反其道而行之”中，获得新的解题思路.因此，作为一名优秀的初中数学教师，在日常教学中，必须要结合课堂教学实践，培养并发展学生的逆向思维能力.

首先，关注数学概念教学.鉴于数学学科的特点，概念教学是基础和关键.鉴于数学概念的特点，以及新课程标准下数学概念学习的要求，教师在优化概念教学时，要带领学生彻底摆脱“死记硬背”的概念学习模式，结合学生的实际情况，引导其采用不同的记忆方式进行学习，旨在实现数学知识的灵活掌握.

其次，还应关注学生的解题过程.解题教学作为初中数学教学的重要组成，教师在开展解题教学时，必须彻底摆脱“就题论题”的模式，不仅要为学生讲解具体的解题思路，还应及时渗透逆向思维，引导学生从不同的角度分析、解决数学问题.需要说明的是，学生的逆向思维素养的培养是一项长期的任务，需要在潜移默化中形成.

最后，依托专项训练，发展学生的逆向思维能力.培养学生的逆向思维能力，不仅要停留在理论上，还应借助大量的实践训练，促使学生在解决问题的过程中，促进逆向思维的进一步发展，最终促使学生真正掌握这一技能.鉴于此，数学教师在完成基本的教学之后，还应及时开展有关逆向思维的专项训练，使得学生在针对性的训练中，逐渐养成运用逆向思维解决问题的习惯［6］.

3 结束语

综上所述，鉴于数学学科的特点，对学生的思维能力要求比较高.同时，数学学科还承担着培养学生数学思维能力的重要任务.逆向思维作为数学思维的重要组成，在初中数学教学中，培养和发展学生的逆向思维能力，不仅是培养学生数学综合思维的必然选择，也是提升学生数学解题能力的关键途径.鉴于此，教师在日常教学中，必须精心选择针对性的数学题目，引导学生运用逆向思维分析问题，并将其解答出来.

参考文献：

［1］ 扈学慧.如何在数学解题中有效利用逆向思维方式［J］.数理化解题研究，2022（26）：57.

［2］ 梁玲.初中数学解题中逆向思维的应用［J］.数理天地（初中版），2022（16）：5152.

［3］ 宋延芹.初中数学解题学习中逆向思维的应用［J］.数学之友，2022，36（13）：5859+63.

［4］ 温怀平.逆向思维在初中数学解题中的应用［J］.数学之友，2022，36（9）：5456.

［5］ 段振富，徐杰.培养逆向思维，探寻解题新途径——初中数学教学中逆向思维培养的思考［J］.数学教学通讯，2022（5）：1820.

［6］ 时间.初中数学解题教学中逆向思维的应用［J］.新课程，2022（11）：100.