巧用辅助线，解决几何问题

蔡美莲

摘 要：添加辅助线在解答初中数学几何问题中尤为常见，可构建新的解题条件，更好地揭示线段、图形之间的内在联系，旨在帮助学生顺利解题.因此，掌握辅助线添加技巧，提升几何问题解题能力，已成为初中几何教学的重难点.本论文就以此切入，结合常见辅助线添加技巧，对其在解题中的具体应用进行了详细的探究，为课堂教学提出了相关的建议.

关键词：初中数学；几何；辅助线；课堂教学

几何作为初中数学知识体系中的重要组成部分，贯穿于整个教学的过程中.同时，鉴于几何知识的特点，承担着培养学生空间想象能力、逻辑思维能力的重任，是落实数学学科素养的重要途径.但在实际解题中，几何问题常常是学生“最难啃的骨头”，多数学生都会遇到条件不够等困难，解题陷入到困境中.鉴于此，唯有掌握辅助线的添加技巧，在题目原有条件的基础上，构建新的条件，才能顺利完成题目的解答；另一方面，在最新的课程标准中，也肯定了辅助线在几何学习中的价值，认为通过必要的辅助线，有助于揭示图形的本质，帮助学生形成清晰的解题思路，并促进学科素养的落实.鉴于此，基于不同类型的几何题目，培养学生添加辅助线解题的能力，已经成为教学的重中之重.

1 辅助线与初中几何解题

辅助线是一种常见的几何解题方法，主要是在原有的图形中，通过作直线、作线段等方式，构建新的条件，以便于解答问题.经课堂教学实践证明，通过作辅助线，可将原本分散的元素集中化，将原本不规则的图形变成规则的图形，将原本复杂的图形简单化.

鑒于辅助线的内涵特点，将其应用到几何问题中，彰显出其显著的应用价值.一方面，有助于提升学生的几何解题能力.在几何问题中，常常存在一定的隐含条件和信息，且对学生的逻辑思维能力、推理能力要求比较高.鉴于此，通过作辅助线即可将其挖掘出来，为学生解题奠定了坚实的基础；还有部分几何题目，信息非常分散，单纯从表面上来说，很难将其联系在一起.鉴于此，即可借助辅助线将其整合起来，由此梳理一套完整的信息体系，进而完成题目的解答；另外，还有部分几何题目条件非常多，图形信息复杂，常常导致学生不知所措.鉴于此，可借助作辅助线的方法将其简单化，以便于学生精准收集有效信息并进行解题；另一方面，契合了数学新课程标准的要求.几何作为初中数学知识体系的重要组成部分，鉴于几何知识的特点，承担着培养学生直观想象、逻辑推理能力的重任.鉴于此，在几何教学中培养学生的辅助线解题能力，不仅仅是解题的需求，也是强化学生几何直观意识、几何推理素养的关键所在［1］.

2 科学添加辅助线，提升几何问题解答能力

2.1 结合对称点添加辅助线

在解答平面几何问题时，当遇到“线段长度最小值”问题时，可借鉴“将军饮马”的模型思想，结合对称点添加辅助线，将最小值点的具体位置确定出来之后，方可实现原问题的顺利解答.

例1 如图1所示，已知Rt△ABC，∠C=90°，∠B=30°，D为BC边上一动点，连接AD，若AC=1，S△ABC=32，则AD+12BD的最小值是多少？

解析：在本题目中，根据所求问题AD+12BD，即可联想到“将军饮马”模型，寻求对称点构建辅助线.但结合本题目中已知条件，无法直接使用这一模型，需要先进行转化.

解：因为Rt△ABC，∠C=90°，S△ABC=32，

所以S△ABC=32=12AC·BC，所以BC=3，

过D点作DE⊥AB于点E.因为∠B=30°，所以DE=12BD，

如此，求AD+12BD最小值即可转化为求AD+DE最小值问题.

作点A关于BC的对称点A′，并过点A′作A′E′⊥AB，并与BC相交于点D′，则A′E′就是AD+12BD的最小值.

根据题目中已知条件，即可得出∠A′=∠A=30°，

因此D′C=ACtan30°=33，

所以BD′=BC-D′C=3-33=233，

因为AD′=BD′=A′D′=233，D′E′=12BD′=33，

所以A′E′=A′D′+D′E′=233+33=3.

2.2 基于平行线构建辅助线

在几何题目解答中，平行线法尤为常见.顾名思义，平行线法就是通过添加平行线的方式，构建新的条件关系，进而完成题目的解答.通常，这一方式常常被应用到证明边、角相等中.

例2 如图2所示，在梯形ABCD中 ，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且相交于点O，MN是梯形ABCD的中位线，∠DBC=30°，求证AC=MN.

解析：在本题目中，根据已知条件可得出：MN=12（AD+BC），因此要想证明AC=MN，则需要证明AC=12（AD+BC）.此时，即可通过图形分析，结合图形的性质，过点D作DE∥AC，与BC的延长线相交于点E，将AD+BC转变为BC+CE=BE，之后利用30°角所对直角边等于斜边的一半可证得AC＝DE=12BE，从而得证.

解：过点D作DE∥AC，与BC的延长线相交于点E，

因为AD∥BC，所以四边形ACED为平行四边形，所以AD=CE，DE=AC，

又因为MN是梯形ABCD的中位线，所以MN=12（AD+BC）=12（BC+CE）=12BE.

因为AC⊥BD，所以∠BOC=90°，因为DE∥AC，

所以∠BDE=∠BOC=90°.

在Rt△BED中，因为∠DBC=30°，

所以DE=12BE，

因为AC=DE=12BE，

所以AC=MN［2］.

2.3 基于图形性质添加辅助线

在运用辅助线解答不同类型的几何问题时，必须要认真分析相关的图形，结合不同图形的性质，选择不同的辅助线，以便于完成题目解答.

例3 如图3所示，AB是圆O的直径，弦CD与直径AB相交于点P，且AP=2，BP=6，∠APC=30°，求CD的长度.

解析：在初中几何问题中，与圆相关的平面图形尤为常见，且这一类型题目难度系数比较高，学生单纯结合已知条件很难完成解答，唯有兼顾圆的基本性质，并结合图形的性质作出必要的辅助线，才能完成题目的解答.在本题目中，由于出现了关于“弦”的问题，即可联想到构建弦心距、半径、直径等关系进行求解.

解：如图4所示，过点O作OH⊥CD，垂足为H，连接OC，

因为AP=2，BP=6，因此圆O的半径r=（6+2）÷2=4，且OP=r-AP=2，

因为∠APC=30°，所以∠HPO=30°，

在Rt△HPO中，HO=12OP=1，

在Rt△HCO中，因为HO=1，OC=4，所以CH=OC2-OH2=42-12=15，

所以CD=2CH=215［3］.

2.4 基于中点添加辅助线

在几何题目中，当出现了“中点”等条件，在作辅助线时以此切入，围绕中点、中线添加辅助线，进而将各个线段之间的关系明确出来，挖掘出更多的已知条件，最终形成明确的解题思路.

例4 如图5所示，已知E、F分别是线段BC、AD的中点，且AB=CD，射线BA和射线EF相交于点G，射线CD和射线EF相交于点H，求证∠BGE=∠CHE.

解析：在本题目中，由于已知条件中给出了“中点”这一关键词，且题目中原有的条件无法满足求解.鉴于此，即可考虑根据“中点”作辅助线，连接AC，并取其中点P，分别连接PE、PF，借助三角形中位线的相关知识进行证明.

解：连接AC，并取其中点P，分别连接PE、PF，

因为E是线段BC的中点，所以PE∥AB，PE=12AB，

因为F是线段AD的中点，所以PF∥CD，PF=12CD.

又AB=CD，所以PE=PF，所以∠PEF=∠PFE，

因为PE∥AB，所以∠PEF=∠BGE，

因为PF∥CD，所以∠PFE=∠CHE，

所以∠BGE=∠CHE.

2.5 基于对角线法构建辅助线

在解答四边形的几何问题中，基于对角线构造辅助线尤为常见.尤其是针对一些特殊的四边形问题，通过对角线辅助线构造法，可将四边形问题转化为三角形问题，并运用三角形的相关性质进行求解.

例5 如图6所示，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD=BC，将其翻折，使得A、C两点重合，折痕为EF，已知CE⊥AB，求证EF∥BD.

解析：在本题目中，要想证明出EF∥BD，根据题目中的已知条件分析，唯有从角相等这一途径切入，以此获得两条线段平行.鉴于此，即可根据对角线法构建辅助线，连接AC，利用三角形中角和角之间的关系进行证明.

解：连接AC.

因为AD=BC，所以四边形ABCD为等腰梯形，即∠DAB=∠CBA，

根据边角边定理，即可得出△DAB≌△CBA，

所以∠1=∠2.

因为CE⊥AB，所以∠3+∠4=90°，

由折叠得∠3=∠4，AC⊥EF，

所以∠1+∠4=90°，所以∠1=∠3，

所以∠2=∠4=45°，

所以EF∥BD［4］.

2.6 基于倍长中线法构建辅助线

在解答三角形问题時，中线尤为重要，常常是解题的关键，也是构建辅助线的重要途径.在多数三角形题目中，就常常需要借助倍长中线的方式构建辅助线.顾名思义，倍长中线就是将图中的中线延长一倍，进而构造出全等三角形，以此打开解题思路.

例6 如图7所示，在△ABC中，AD是BC的中线，E为AC上一点，BE与AD相交于点F，且AE=EF，判断AC与BF之间的大小关系.

解析：在本题目中，要想对AC与BF之间的大小关系进行判定，可依托三角形的关系进行，但由于AC与BF所在的三角形不能直接证明全等，无法直接进行判断，唯有基于“AD是BC的中线”这一条件，通过倍长中线法构建辅助线进行解答.

解：如图，延长AD至点G，使得DG=AD，连接BG，

因为DG=AD，所以∠ADC=∠BDG，CD=BD，

所以△ADC≌△GDB，所以AC=BG，∠CAD=∠G.

如图，因为AE=EF，所以∠CAD=∠AFE=∠BFG=∠G，

所以BF=BG，即BF=AC.

2.7 基于三线合一构建辅助线

在几何问题中，等腰三角形是最为重要的类型之一，且等腰三角形“三线合一”的性质，也是其他图形所不具备的.在具体解答等腰三角形问题时，可根据“三线合一”性质，构建辅助线，构建新的条件关系，并将复杂的几何问题简单化.

例7 如图8所示，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，与AC相交于点D，CE⊥BD的延长线于点E，求证：BD=2CE.

解析：根据题目中已知条件，很难构造出BD、CE之间的联系.鉴于此，即可分析题目中的已知条件，根据“BD平分∠ABC，CE⊥BE”这两个条件，联想到“三线合一”的定理，据此构造相应的辅助线.

解：如图9，延长CE，并与BA的延长线相交于点F.

因为BD平分∠ABC，CE⊥BE，即可得出BC=BF，EC=EF，

所以CF=2EC.

由题习知∠BAD=∠CAF=90°，∠BDA=∠CDE=∠F，AB=AC，

所以△ABD≌△ACF，所以BD=CF，

所以BD=2CE［5］.

3 强化课堂教学，提升添加辅助线能力

经过解题实践证明，当学生在解题时，一旦面临条件不够、解题陷入困境的局面，就必须要借助辅助线的方式，找解题的“突破口”.鉴于此，初中数学教师在日常教学中，应树立针对性的教学观念，有目的、有计划地开展课堂教学，循序渐进地提高学生添加辅助线的能力，强化学生的解题素养.

首先，强化辅助线认知，提升学生学习效果.在初中几何教学中，由于学生的思维能力有限，单凭学生的直观思维，很难提升学生的辅助线认知能力和应用能力.鉴于此，在日常几何教学中，应强化学生对辅助线的认识，使其认识到辅助线在解题中的重要性，逐渐形成强烈的辅助线添加意识.

其次，基于辅助线和数学教学之间的关系，强化学生的辅助线添加能力.以往，在几何教学中，教师在添加辅助线的时候，基本上都是教师直接添加，没有给学生留有思考的时间，学生基本上都是在死记硬背中完成.而为了强化学生的辅助线添加能力，应彻底转变传统“教师直接添加、学生被动接受”的教学模式，而是结合教学内容，带领学生归纳、总结辅助线的不同添加方法，并围绕辅助线与数学之间的关系开展教学，使得学生在日常学习中逐渐形成一定的推理与论证能力，以便于其在日后的解题中，能够结合题目中的已知条件，通过推理与论证，正确添加辅助线.

再次，合理安排教学内容，对辅助线添加方法进行分类.在几何教学中，由于添加辅助线对学生的逻辑推理、数学思维水平要求比较高，而初中阶段学生的思维能力有限，致使其在添加辅助线时常常面临诸多困难.鉴于此，教师应科学合理地安排教学内容，坚持循序渐进的原则，以简单、基本图形中辅助线添加作为起点，循序渐进地增加难度，以更好地满足学生的学习需求；同时，在强化辅助线添加能力时，还应带领学生对不同类型的辅助线添加方式进行归类、总结，使其在分析中逐渐掌握这一技能.

最后，强化针对性训练，提升实践应用能力.在初中几何教学中，为了真正提升学生的辅助线添加能力，必须要借助必要的练习题目，使得学生在针对性的训练中，掌握辅助线添加的基本技巧和能力.为此，应结合具体的内容，结合初中生的实际情况，为其科学选择、安排针对性的练习题目，使得学生在“少而精”的练习中，逐渐掌握辅助线的添加技巧［6］.

4 结束语

综上所述，在初中几何解题中，添加必要的辅助线是最为重要的解题手段，是突破思维困境、找到解题“突破口”的关键.但辅助线添加并非毫无章法可循，而是存在一定的规律性，学生可结合不同的题目类型，选择不同构建方式.鉴于此，教师在日常教学中，应有目的、有计划地强化学生的辅助线构建意识，并结合针对性的训练，使得学生真正掌握辅助线构建技巧，能够在具体解题时结合不同类型的题目，构建出不同的辅助线，使其为解题所服务.

参考文献：

［1］ 栾长伟.初中几何辅助线专题——平移变换［J］.初中生学习指导，2022（23）：38.

［2］ 张燕.合理使用辅助线，巧解初中数学几何问题［J］.现代中学生（初中版），2021（20）：29-30.

［3］ 肖世斌.刍议辅助线在初中几何解题中的合理应用［J］.新课程研究，2021（1）：128-130.

［4］ 任红娟.题以类聚，方法在其中——初中几何中点辅助线问题探讨［J］.数理天地（初中版），2022（10）：2-4.

［5］ 李芳.辅助线在初中几何解题中的应用［J］.数理天地（初中版），2022（8）：2-3.

［6］ 刘亚萍.辅助线在初中几何解題中的应用与技巧［J］.考试周刊，2020（39）：80-81.