巧用辅助线,解决几何问题

2023-04-14 14:29蔡美莲
数学之友 2023年24期
关键词:几何辅助线初中数学

蔡美莲

摘 要:添加辅助线在解答初中数学几何问题中尤为常见,可构建新的解题条件,更好地揭示线段、图形之间的内在联系,旨在帮助学生顺利解题.因此,掌握辅助线添加技巧,提升几何问题解题能力,已成为初中几何教学的重难点.本论文就以此切入,结合常见辅助线添加技巧,对其在解题中的具体应用进行了详细的探究,为课堂教学提出了相关的建议.

关键词:初中数学;几何;辅助线;课堂教学

几何作为初中数学知识体系中的重要组成部分,贯穿于整个教学的过程中.同时,鉴于几何知识的特点,承担着培养学生空间想象能力、逻辑思维能力的重任,是落实数学学科素养的重要途径.但在实际解题中,几何问题常常是学生“最难啃的骨头”,多数学生都会遇到条件不够等困难,解题陷入到困境中.鉴于此,唯有掌握辅助线的添加技巧,在题目原有条件的基础上,构建新的条件,才能顺利完成题目的解答;另一方面,在最新的课程标准中,也肯定了辅助线在几何学习中的价值,认为通过必要的辅助线,有助于揭示图形的本质,帮助学生形成清晰的解题思路,并促进学科素养的落实.鉴于此,基于不同类型的几何题目,培养学生添加辅助线解题的能力,已经成为教学的重中之重.

1 辅助线与初中几何解题

辅助线是一种常见的几何解题方法,主要是在原有的图形中,通过作直线、作线段等方式,构建新的条件,以便于解答问题.经课堂教学实践证明,通过作辅助线,可将原本分散的元素集中化,将原本不规则的图形变成规则的图形,将原本复杂的图形简单化.

鑒于辅助线的内涵特点,将其应用到几何问题中,彰显出其显著的应用价值.一方面,有助于提升学生的几何解题能力.在几何问题中,常常存在一定的隐含条件和信息,且对学生的逻辑思维能力、推理能力要求比较高.鉴于此,通过作辅助线即可将其挖掘出来,为学生解题奠定了坚实的基础;还有部分几何题目,信息非常分散,单纯从表面上来说,很难将其联系在一起.鉴于此,即可借助辅助线将其整合起来,由此梳理一套完整的信息体系,进而完成题目的解答;另外,还有部分几何题目条件非常多,图形信息复杂,常常导致学生不知所措.鉴于此,可借助作辅助线的方法将其简单化,以便于学生精准收集有效信息并进行解题;另一方面,契合了数学新课程标准的要求.几何作为初中数学知识体系的重要组成部分,鉴于几何知识的特点,承担着培养学生直观想象、逻辑推理能力的重任.鉴于此,在几何教学中培养学生的辅助线解题能力,不仅仅是解题的需求,也是强化学生几何直观意识、几何推理素养的关键所在[1].

2 科学添加辅助线,提升几何问题解答能力

2.1 结合对称点添加辅助线

在解答平面几何问题时,当遇到“线段长度最小值”问题时,可借鉴“将军饮马”的模型思想,结合对称点添加辅助线,将最小值点的具体位置确定出来之后,方可实现原问题的顺利解答.

例1 如图1所示,已知Rt△ABC,∠C=90°,∠B=30°,D为BC边上一动点,连接AD,若AC=1,S△ABC=32,则AD+12BD的最小值是多少?

解析:在本题目中,根据所求问题AD+12BD,即可联想到“将军饮马”模型,寻求对称点构建辅助线.但结合本题目中已知条件,无法直接使用这一模型,需要先进行转化.

解:因为Rt△ABC,∠C=90°,S△ABC=32,

所以S△ABC=32=12AC·BC,所以BC=3,

过D点作DE⊥AB于点E.因为∠B=30°,所以DE=12BD,

如此,求AD+12BD最小值即可转化为求AD+DE最小值问题.

作点A关于BC的对称点A′,并过点A′作A′E′⊥AB,并与BC相交于点D′,则A′E′就是AD+12BD的最小值.

根据题目中已知条件,即可得出∠A′=∠A=30°,

因此D′C=ACtan30°=33,

所以BD′=BC-D′C=3-33=233,

因为AD′=BD′=A′D′=233,D′E′=12BD′=33,

所以A′E′=A′D′+D′E′=233+33=3.

2.2 基于平行线构建辅助线

在几何题目解答中,平行线法尤为常见.顾名思义,平行线法就是通过添加平行线的方式,构建新的条件关系,进而完成题目的解答.通常,这一方式常常被应用到证明边、角相等中.

例2 如图2所示,在梯形ABCD中 ,AD∥BC,对角线AC⊥BD,且相交于点O,MN是梯形ABCD的中位线,∠DBC=30°,求证AC=MN.

解析:在本题目中,根据已知条件可得出:MN=12(AD+BC),因此要想证明AC=MN,则需要证明AC=12(AD+BC).此时,即可通过图形分析,结合图形的性质,过点D作DE∥AC,与BC的延长线相交于点E,将AD+BC转变为BC+CE=BE,之后利用30°角所对直角边等于斜边的一半可证得AC=DE=12BE,从而得证.

解:过点D作DE∥AC,与BC的延长线相交于点E,

因为AD∥BC,所以四边形ACED为平行四边形,所以AD=CE,DE=AC,

又因为MN是梯形ABCD的中位线,所以MN=12(AD+BC)=12(BC+CE)=12BE.

因为AC⊥BD,所以∠BOC=90°,因为DE∥AC,

所以∠BDE=∠BOC=90°.

在Rt△BED中,因为∠DBC=30°,

所以DE=12BE,

因为AC=DE=12BE,

所以AC=MN[2].

2.3 基于图形性质添加辅助线

在运用辅助线解答不同类型的几何问题时,必须要认真分析相关的图形,结合不同图形的性质,选择不同的辅助线,以便于完成题目解答.

例3 如图3所示,AB是圆O的直径,弦CD与直径AB相交于点P,且AP=2,BP=6,∠APC=30°,求CD的长度.

解析:在初中几何问题中,与圆相关的平面图形尤为常见,且这一类型题目难度系数比较高,学生单纯结合已知条件很难完成解答,唯有兼顾圆的基本性质,并结合图形的性质作出必要的辅助线,才能完成题目的解答.在本题目中,由于出现了关于“弦”的问题,即可联想到构建弦心距、半径、直径等关系进行求解.

解:如图4所示,过点O作OH⊥CD,垂足为H,连接OC,

因为AP=2,BP=6,因此圆O的半径r=(6+2)÷2=4,且OP=r-AP=2,

因为∠APC=30°,所以∠HPO=30°,

在Rt△HPO中,HO=12OP=1,

在Rt△HCO中,因为HO=1,OC=4,所以CH=OC2-OH2=42-12=15,

所以CD=2CH=215[3].

2.4 基于中点添加辅助线

在几何题目中,当出现了“中点”等条件,在作辅助线时以此切入,围绕中点、中线添加辅助线,进而将各个线段之间的关系明确出来,挖掘出更多的已知条件,最终形成明确的解题思路.

例4 如图5所示,已知E、F分别是线段BC、AD的中点,且AB=CD,射线BA和射线EF相交于点G,射线CD和射线EF相交于点H,求证∠BGE=∠CHE.

解析:在本题目中,由于已知条件中给出了“中点”这一关键词,且题目中原有的条件无法满足求解.鉴于此,即可考虑根据“中点”作辅助线,连接AC,并取其中点P,分别连接PE、PF,借助三角形中位线的相关知识进行证明.

解:连接AC,并取其中点P,分别连接PE、PF,

因为E是线段BC的中点,所以PE∥AB,PE=12AB,

因为F是线段AD的中点,所以PF∥CD,PF=12CD.

又AB=CD,所以PE=PF,所以∠PEF=∠PFE,

因为PE∥AB,所以∠PEF=∠BGE,

因为PF∥CD,所以∠PFE=∠CHE,

所以∠BGE=∠CHE.

2.5 基于对角线法构建辅助线

在解答四边形的几何问题中,基于对角线构造辅助线尤为常见.尤其是针对一些特殊的四边形问题,通过对角线辅助线构造法,可将四边形问题转化为三角形问题,并运用三角形的相关性质进行求解.

例5 如图6所示,四边形ABCD为一梯形纸片,AB∥CD,AD=BC,将其翻折,使得A、C两点重合,折痕为EF,已知CE⊥AB,求证EF∥BD.

解析:在本题目中,要想证明出EF∥BD,根据题目中的已知条件分析,唯有从角相等这一途径切入,以此获得两条线段平行.鉴于此,即可根据对角线法构建辅助线,连接AC,利用三角形中角和角之间的关系进行证明.

解:连接AC.

因为AD=BC,所以四边形ABCD为等腰梯形,即∠DAB=∠CBA,

根据边角边定理,即可得出△DAB≌△CBA,

所以∠1=∠2.

因为CE⊥AB,所以∠3+∠4=90°,

由折叠得∠3=∠4,AC⊥EF,

所以∠1+∠4=90°,所以∠1=∠3,

所以∠2=∠4=45°,

所以EF∥BD[4].

2.6 基于倍长中线法构建辅助线

在解答三角形问题時,中线尤为重要,常常是解题的关键,也是构建辅助线的重要途径.在多数三角形题目中,就常常需要借助倍长中线的方式构建辅助线.顾名思义,倍长中线就是将图中的中线延长一倍,进而构造出全等三角形,以此打开解题思路.

例6 如图7所示,在△ABC中,AD是BC的中线,E为AC上一点,BE与AD相交于点F,且AE=EF,判断AC与BF之间的大小关系.

解析:在本题目中,要想对AC与BF之间的大小关系进行判定,可依托三角形的关系进行,但由于AC与BF所在的三角形不能直接证明全等,无法直接进行判断,唯有基于“AD是BC的中线”这一条件,通过倍长中线法构建辅助线进行解答.

解:如图,延长AD至点G,使得DG=AD,连接BG,

因为DG=AD,所以∠ADC=∠BDG,CD=BD,

所以△ADC≌△GDB,所以AC=BG,∠CAD=∠G.

如图,因为AE=EF,所以∠CAD=∠AFE=∠BFG=∠G,

所以BF=BG,即BF=AC.

2.7 基于三线合一构建辅助线

在几何问题中,等腰三角形是最为重要的类型之一,且等腰三角形“三线合一”的性质,也是其他图形所不具备的.在具体解答等腰三角形问题时,可根据“三线合一”性质,构建辅助线,构建新的条件关系,并将复杂的几何问题简单化.

例7 如图8所示,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,与AC相交于点D,CE⊥BD的延长线于点E,求证:BD=2CE.

解析:根据题目中已知条件,很难构造出BD、CE之间的联系.鉴于此,即可分析题目中的已知条件,根据“BD平分∠ABC,CE⊥BE”这两个条件,联想到“三线合一”的定理,据此构造相应的辅助线.

解:如图9,延长CE,并与BA的延长线相交于点F.

因为BD平分∠ABC,CE⊥BE,即可得出BC=BF,EC=EF,

所以CF=2EC.

由题习知∠BAD=∠CAF=90°,∠BDA=∠CDE=∠F,AB=AC,

所以△ABD≌△ACF,所以BD=CF,

所以BD=2CE[5].

3 强化课堂教学,提升添加辅助线能力

经过解题实践证明,当学生在解题时,一旦面临条件不够、解题陷入困境的局面,就必须要借助辅助线的方式,找解题的“突破口”.鉴于此,初中数学教师在日常教学中,应树立针对性的教学观念,有目的、有计划地开展课堂教学,循序渐进地提高学生添加辅助线的能力,强化学生的解题素养.

首先,强化辅助线认知,提升学生学习效果.在初中几何教学中,由于学生的思维能力有限,单凭学生的直观思维,很难提升学生的辅助线认知能力和应用能力.鉴于此,在日常几何教学中,应强化学生对辅助线的认识,使其认识到辅助线在解题中的重要性,逐渐形成强烈的辅助线添加意识.

其次,基于辅助线和数学教学之间的关系,强化学生的辅助线添加能力.以往,在几何教学中,教师在添加辅助线的时候,基本上都是教师直接添加,没有给学生留有思考的时间,学生基本上都是在死记硬背中完成.而为了强化学生的辅助线添加能力,应彻底转变传统“教师直接添加、学生被动接受”的教学模式,而是结合教学内容,带领学生归纳、总结辅助线的不同添加方法,并围绕辅助线与数学之间的关系开展教学,使得学生在日常学习中逐渐形成一定的推理与论证能力,以便于其在日后的解题中,能够结合题目中的已知条件,通过推理与论证,正确添加辅助线.

再次,合理安排教学内容,对辅助线添加方法进行分类.在几何教学中,由于添加辅助线对学生的逻辑推理、数学思维水平要求比较高,而初中阶段学生的思维能力有限,致使其在添加辅助线时常常面临诸多困难.鉴于此,教师应科学合理地安排教学内容,坚持循序渐进的原则,以简单、基本图形中辅助线添加作为起点,循序渐进地增加难度,以更好地满足学生的学习需求;同时,在强化辅助线添加能力时,还应带领学生对不同类型的辅助线添加方式进行归类、总结,使其在分析中逐渐掌握这一技能.

最后,强化针对性训练,提升实践应用能力.在初中几何教学中,为了真正提升学生的辅助线添加能力,必须要借助必要的练习题目,使得学生在针对性的训练中,掌握辅助线添加的基本技巧和能力.为此,应结合具体的内容,结合初中生的实际情况,为其科学选择、安排针对性的练习题目,使得学生在“少而精”的练习中,逐渐掌握辅助线的添加技巧[6].

4 结束语

综上所述,在初中几何解题中,添加必要的辅助线是最为重要的解题手段,是突破思维困境、找到解题“突破口”的关键.但辅助线添加并非毫无章法可循,而是存在一定的规律性,学生可结合不同的题目类型,选择不同构建方式.鉴于此,教师在日常教学中,应有目的、有计划地强化学生的辅助线构建意识,并结合针对性的训练,使得学生真正掌握辅助线构建技巧,能够在具体解题时结合不同类型的题目,构建出不同的辅助线,使其为解题所服务.

参考文献:

[1] 栾长伟.初中几何辅助线专题——平移变换[J].初中生学习指导,2022(23):38.

[2] 张燕.合理使用辅助线,巧解初中数学几何问题[J].现代中学生(初中版),2021(20):29-30.

[3] 肖世斌.刍议辅助线在初中几何解题中的合理应用[J].新课程研究,2021(1):128-130.

[4] 任红娟.题以类聚,方法在其中——初中几何中点辅助线问题探讨[J].数理天地(初中版),2022(10):2-4.

[5] 李芳.辅助线在初中几何解题中的应用[J].数理天地(初中版),2022(8):2-3.

[6] 刘亚萍.辅助线在初中几何解題中的应用与技巧[J].考试周刊,2020(39):80-81.

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