变式训练教学在高中数学解题中的应用技巧

于素娟

摘 要：高中数学以培养学生良好的思维品质为教学目标.将变式训练教学用于高中数学解题教学当中，可以使学生从不同角度和不同层面分析、探究、解答数学问题，从而提升其思维的灵活性.文章立足高中数学解题教学实际，对变式训练教学的应用意义展开分析，同时从落实针对性变式教学、落实深层化讲解教学、探究多元化解法教学三个层面出发，提出几点高中数学解题教学应用变式训练的建议，以供参考.

关键词：高中数学；解题教学；变式训练；应用技巧

区别于传统解题教学模式，变式训练教学强调通过问题变式驱动学生对知识的多元应用，从而培养学生灵活的解题思维.将变式训练教学用于高中数学解题教学当中，有利于解决传统解题教学的套路化、单一化教学问题，使学生在分析、探究、解答更多具有代表性问题的过程中提升自我，突破自我，从而提升学生的数学解题能力.

1 变式训练教学在高中数学解题中的应用意义

变式训练的本质是问题条件、问题形式、问题内容变化后的习题训练［1］.通过变式训练，可以在一定程度上降低学生的习题负担，使学生突破自身的僵化学习思维，养成灵活思考、高效解题的关键能力.在高中数学解题教学中，教师应用变式训练，有利于学生从不同角度反思数学知识的应用方式、应用技巧，使其在解变式问题、回顾变式问题的过程中积累更多复杂难题的解题经验，从而提升学生的解题水平.

2 变式训练教学在高中数学解题中的应用技巧

2.1 明确学生解题学习不足，落实针对性变式

变式训练教学的目的在于弥补传统解题教学不足，促进学生的个性化提升.为此，在应用变式训练时，高中数学教师应当明确学生在解题学习中的不足，把握学生的个性化发展需求.基于学生的实际需求合理开展类比变式、逆向变式、条件变式等多种变式训练，使学生在变式训练过程中针对性地提升自身的类比迁移、逆向思考能力.

2.1.1 进行类比变式教学，强化类比迁移意识

在高中数学解题教学中，存在学生照搬教师解题套路的问题，学生不能认识到解决问题的底层逻辑，只会解决已经学过的类型题［2］.长此以往，学生的解题思维僵化，将不具备解决类型新颖问题的能力.对于这种情况，教师可以在解题教学中组织类比变式训练，通过类比变式引导学生探知解决数学问题的底层逻辑，使其掌握解题的基本方法，并掌握解题方法的迁移应用技巧，从而轻松应对形式新颖、出题角度刁钻的数学问题.

以沪教版数学必修第一册“基本不等式及其应用”一课的解题教学为例，教师可以先提出典型数学问题，演示例题解法：

例1 已知：x＞1，求x+1x-1的最小值.

在求解这一问题之前，教师可以提出启发性问题，引导学生广泛思考，如：本题能直接用不等式求最值吗？我们可以为题目补充什么条件？应当选择所学的哪个基本不等式？

解：因为x-1＞0，由“任意a，b∈R+，有a+b2≥ab，当且仅当a=b时等号成立”可知：x+1x-1=x-1+1x-1+1≥2（x-1）·1x-1+1=3，

当且仅当x-1=1x-1，即x=2时，等号成立.

所以x+1x-1的最小值是3.

解决此题后，教师还可引导学生反思解题细节，如，这一问题的解题步骤是什么？在解题时应当注意的事项有哪些？通过提出反思性问题，使学生注意“一正、二定、三等”的基本方式，从而强化学生对此问题的解题认识.为使学生学会解决不同类型的不等式问题，教师可进行类比变式：若把例1中的条件x＞1去掉，还有最小值吗？那可改为求什么呢？通过与学生对话，确定类比教学问题：

例2 已知x≠1，求x+1x-1的取值范围.

在例2习题教学中，教师应引导学生类比例1的解题方法，求解数学问题.如：

解：当x-1＜0时，由基本不等式“任意a，b∈R+，有a+b2≥ab，当且仅当a=b时等号成立”可知：x+1x-1=-（1-x）+11-x+1≤-2（1-x）·11-x+1=-1，

当且仅当1-x=11-x，即x=0时，等号成立.

所以x+1x-1的取值范围是（-∞，-1］∪［3，+∞）.

如此，学生在教师演示、指导的过程中掌握了应用不等式求解问题的数学方法.接着，教师在原有例题的基础上进行类比变式教学，并让学生脱离教师的指导自主解题，使学生在自主解题的过程中逐渐形成类比、迁移的解题学习思维.

2.1.2 进行逆向变式教学，培养多元解题思维

受传统教学影响，多数学生倾向于应用正向思维解决数学问题［3］.然而，高中数学解题教学内容丰富，仅使用常规的解题思维，很难快速解答问题，反而会使学生陷入解题学习的迷雾当中，影响学生解题学习体验.对于这一教学问题，教师可以在解题教学中组织逆向变式训练，通过出示逆向变式练习题引导学生应用逆向思维分析、求解数学问题，使学生摆脱惯性思维，掌握多元分析问题、快速求解问题的解题技巧.

以沪教版数学必修第三册“概率初步”一单元的解题教学为例，为使学生形成逆向思考的解题意识，教师可以对常规的概率问题加以创新，设计如下问题：

例3 一个不透明圆筒中有大小、形状相同的10个蓝球与5个黑球，现在我们从中任意摸出4个球，求至少摸出一个黑球的概率.

按照常规的解题思路来看，学生必须经过较为繁琐的步骤才能解答问题，且承担较高的计算错误风险.这时，教师可引导学生从问题的对立面出发，逆向思考该问题，从而提高学生的答题准确率.

解：假设摸出的4个球全是蓝色的事件记为A.

显然，P（A）=C410C415=213.

故摸出4個球全是蓝色的概率为213.

利用补集的关系，至少摸出一个黑色球的事件B正好是摸出4个全是蓝色球事件的对立事件，其概率为P（B）=1-P（A）=1-213=1113.

解题教学后，教师还可组织学生总结此种类型题的解题技巧，使学生在总结过程中掌握逆向思考数学问题的诀窍，学会从问题的对立面思考问题的简便解法，实现快速解题的目标.

2.1.3 进行情境变式教学，培养解题学习兴趣

部分学生对变式训练的认识不够全面，存在抵触变式训练的不良学习心理.这种情况下，教师仍然沿用灌输教学方式，只能造成学生的浅层学习.对于这一教学问题，教师可以在解题教学中组织情境变式活动，通过创设变式情境引发学生的学习兴趣，使其主动探究不同条件下、不同设问下问题的解决方法.

以沪教版数学必修第二册“平面向量”一单元的解题教学为例，教师可以先创设“求真”情境：真命题小分队外出采购，有假命题混进了真命题当中，作为命题森林的守卫，你能从下列几个命题中挑选出真命题，确保真命题顺利回归命题森林吗？接着，教师给出如下命题：

① 向量AB的长度与向量BA的长度相等；

② 向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；

③ 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④ 两个公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤ 向量AB与向量CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上.

基于这一情境，让学生利用向量的基本概念对每一个命题进行分析与判断，从而找出真命题.如，对于①，向量AB的长度与向量BA的长度相等，方向相反，所以①正确；对于②，向量a与b平行时，a与b为零向量时，不满足条件，所以②错误.通过一一判断，使学生从中找出正确命题①与③.通过这一习题练习，学生基本掌握了向量的基本概念.接着，教师可以基于原情境，进行变式训练：有假命题混入了命题森林当中，假如你是假命题警察，你能从下列命题中找出假命题，把他们赶出命题森林吗？接着，教师给出如下命题：

① 若|a|=|b|，则a=b；

② 兩个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

③ 所有非零向量的单位向量都相等；

④ 若AB=DC，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；

⑤ 在平行四边形ABCD中，一定有AB=BC.

通过改变问题情境，驱动学生结合向量的定义、向量的几何意义逐项判断命题真假，使其明确①～⑤五个命题都为假命题.学生解决问题后，教师应及时给予其正面评价，使学生产生积极的解题心态，从而主动参与到变式习题训练当中.

如此，在创设基本习题情境，改变问题情境的过程中，赋予学生不同的解题学习体验，使其在思考问题、探析问题和解决问题的过程中产生变式练习的学习兴趣，为变式训练的高效应用奠定基础.

2.2 推动学生解题能力提升，落实深层化讲解

“师者，传道授业解惑也.”应用变式训练进行高中数学解题教学时，教师要注意发挥自身的引导作用，针对学生迷惑的、存在错误认知的问题进行精确讲解，使学生把握问题本质，掌握问题的核心解法，真正提升学生解决数学问题的能力［4］.为此，教师应当做好高中数学“数”、“形”数学问题的变式训练讲解工作，从根本上丰富学生的解题经验，提升学生的解题能力.

2.2.1 精讲“形”的变式习题，提升几何直观能力

几何问题是高中数学解题教学内容的重要构成部分.高中数学几何问题存在一定的抽象性，部分学生在解决几何问题时存在几何问题分析不到位、几何解题套路化的问题，几何习题的教学效果差强人意.为此，教师可以在几何习题解题教学中进行变式训练，并在训练中做好讲解教学，通过讲解引导学生进行数学抽象、数学联想、数学分析，使其在对比变式问题、总结问题解法的过程中掌握几何问题的解决技巧，从而提升学生几何问题解题能力.

以沪教版数学必修第三册“空间直线与平面”一单元的解题教学为例，教师可先后出示同一主题、不同形式的数学例题，组织学生解答.

例4 在梯形ABCD中，∠ABC=π2，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（  ）.

A. （5+2）π

B. （4+2）π

C. （5+22）π

D. （3+2）π

由此问题，让学生联系所学知识点，设想将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB=1，高为BC=2的圆柱挖去一个底面半径为AB=1，高为BC-AD=2-1=1的圆锥，从而得到该几何体表面积的计算公式S=π×12+2π×1×2+π×1×12+12=（5+2）π，确定正确答案为A选项.

基于例1解题教学情况，教师再安排变式例题.

例5 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1=AC=2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为（  ）.

A. 4+42

B. 4+43

C. 12

D. 8+42

由此变式问题，引导学生连接A1B，使其根据AA1⊥底面ABC推理出AA1⊥BC，结合AB⊥BC，AA1∩AB=A推理出BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B=30°.又AA1=AC=2，所以A1C=22，BC=2.又AB⊥BC，则AB=2，则该三棱柱的侧面积为22×2+2×2=4+42.由此判断出A选项为正确选项.

完成上述变式训练后，教师根据解题过程，归纳求解几何体表面积的类型及求法，如：求多面体表面积时，只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积；求旋转体的表面积时，可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清楚它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系；求不规则几何体的表面积时，可以将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积.

通过先变式训练，再总结方法，进一步强化学生几何问题变式训练的学习体验，使学生在深度参与、深度体验的过程中形成良好的几何直观思维，掌握解决此类问题的关键能力.

2.2.2 精讲“数”的变式习题，提升数学建模能力

“数”是数学学科的主要研究对象［5］.在高中解题教学中围绕“数”的问题进行变式教学，有利于增强学生的数学分析、数学运算、数学建模能力，使学生在解题过程中形成良好素养.同时，教师还应该针对学生的变式训练反馈给予针对性讲解，使学生在精确指导下学会应用数学模型解决“数”的问题.

以沪教版数学选择性必修第一册“数列”一单元的解题教学为例，教师可出示下列一组变式问题.

例6 已知g（x）=fx+12-3是R上的奇函数，an=f（0）+f1n+…+fn-1n+f（1），n∈N*，则数列{an}的通项公式为（  ）.

A. an=n+1

B. an=3n+1

C. an=3n+3

D. an=n2-2n+3

例7 已知a1=2，an+1-an=2n+1（n∈N*），则an=（  ）.

A. n+1

B. 2n+1

C. n2+1

D. 2n2+1

这两道问题的答案都为C选项.其中，例1可以先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心，再用换元法得到f（t）+f（1-t）=6，最后用倒序相加法求解数列的通项公式；例2可以使用累加法求出数列的通项公式，确定问题答案.

2.2.3 着眼学生数学发展需求，探究多元化解法

不同学生的数学学习兴趣、学习基础、思维方式存在差异，其解题倾向也不尽相同.若教师不加以调整自己的教学策略，容易造成學生的解题思维局限，影响其长远发展.在高中数学解题教学中，教师有必要整合具有代表意义的习题资源，同时围绕具体习题引导学生探寻不同的解答方法，使学生在教师的指导下转换思考问题的角度，从而促进学生的综合发展［6］.

以沪教版数学选择性必修第一册“圆锥曲线”一单元的解题教学为例，教师可以精选典型问题：已知抛物线y2=4x，直线l：y=x-1与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长.

此问题是典型的直线与圆锥曲线相交求弦长的问题.解决此题时，教师可以引导学生从不同的角度思考问题，并进行求解.如：

解法1：应用圆锥曲线的一些通法解决问题.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由y2=4x，

y=x-1消y得x2-6x+1=0，

解得x1=3+22，x2=3-22，

由此可得A（3+22，2+22），B（3-22，2-22），

再根据两点间的距离公式得|AB|=8.

解法2：联系直线与圆锥曲线相交后弦长公式|AB|=（1+k2）［（x1+x2）2-4x1x2］进行求解.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由y2=4x，

y=x-1消y得x2-6x+1=0，

所以x1+x2=6，x1x2=1，

由弦长公式得|AB|=8.

解法3：结合具体图像（图略），观察到直线经过抛物线的焦点，从而联想到抛物线的定义，并基于此进行求解.

由直线方程y=x-1中可得直线过点（1，0），而抛物线的焦点也为（1，0）.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由y2=4x，

y=x-1消y得x2-6x+1=0，

所以x1+x2=6，

由抛物线定义得|AB|=8.

解法4：联系直线的参数方程的几何意义进行求解.

由直线方程y=x-1可得直线过点（1，0）和倾斜角为π4，

所以直线方程的参数方程为x=1+22t，

y=22t（t为参数），

把它代入抛物线方程，得t2-42t-8=0，

解得t1=22+4，t2=22-4，

由参数的几何意义得|AB|=|t1-t2|=8.

通过引导学生从不同角度出发思考问题，使学生认识到数学问题解法的多样性，从而引发学生对问题的多样思考.长此以往，学生在解决数学问题时不再受单一解题思维的限制，其解题素养得到了综合发展.

3 结束语

综上所述，在高中数学解题教学中合理应用变式训练教学，对于拓宽学生的习题视野，提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等数学核心素养有着积极意义.实际教学中，教师应当认识到变式训练教学的价值，同时结合高中数学解题教学的具体需求合理规划变式训练教学方案，通过针对性变式教学、细致化变式问题讲解等多种方式丰富学生的解题经验，提升学生的解题能力.

参考文献：

［1］ 刘雪华.变式教学在高中数学教学中的应用［J］.试题与研究，2021（35）：99-100.

［2］ 李国安.关于高中数学课堂例题变式设计的教学初探［J］.数学学习与研究，2021（33）：125-127.

［3］ 张天时.高中数学教学中学生解题能力的培养方法［J］.数理化学习（教研版），2021（11）：9-10.

［4］ 张玉.变式教学在数学教学中的探索与实践［J］.数学教学通讯，2021（27）：30-31.

［5］ 石立军.变式教学在高中数学教学中的有效应用［J］.新课程教学（电子版），2021（16）：48-49.

［6］ 王婵.变式训练在高中数学解题中的渗透［J］.数学大世界（上旬），2021（8）：33-34.