“三角形”关键教学点的教学实施

胡鹏程 张弘

摘 要：本文以单元教学的视角，将初中阶段三角形的教学分为三角形的再认识、图形间的数量关系、特殊三角形三个子单元.根据教学的逻辑关系，确定出三角形每个子单元的关键教学点，并进一步给出教学建议，通过整体把握、连贯教学，促进学生形成三角形的良好认知结构.

关键词：三角形；关键教学点；单元教学

三角形是一种基本的几何图形，是最简单的封闭的直线型图形.学生经历三角形的系统学习，不仅可以形成研究平面几何图形的基本思路，还可以有效地促进其推理能力和几何直观的发展.初中数学教学中有着重要价值的核心教学内容称为初中数学关键教学点［1］.本文，从单元教学的角度出发，阐述“三角形”中的关键教学点的确定与实施策略.

1 三角形概述

首先，初中阶段，学生对几何图形的认识顺序为基本几何图形（线与角），直线型图形（三角形和四边形），曲线型图形（圆）；其次，对一个几何图形的研究，一般包括定义、性质、判定三个方面，并按照先一般再特殊的形式逐渐推进.从图形结构上看，三角形是后续认识四边形和圆的基础，特别是在研究直线型图形时，往往都通过割或补，将其转化为三角形的问题予以解决；从几何学习的角度看，对三角形研究的问题和研究的方法为四边形和圆的学习提供了思路.两个平面图形之间的关系是指位置关系和数量关系，在数量关系方面，初中阶段正是通过全等三角形和相似三角形的学习来说明对于两个平面图形的数量关系研究什么、如何研究；在位置关系方面，三角形是研究图形的平移、轴对称、旋转的重要载体.

三角形的学习在发展学生的推理能力和几何直观方面有着积极意义.平行线的学习只要求简单说理，是发展推理能力的起点；从三角形开始，平面几何的学习，强调通过分析条件与结论之间的关系来完成推理论证.因此，三角形是发展推理能力的重要阶段.几何直观需要更多的图形性质与逻辑推理的支持［2］，三角形丰富的图形性质，以及学习过程中所涉及的大量的逻辑推理成为发展学生几何直观的重要载体.

2 “三角形”的关键教学点的确定

2.1 教学分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称义教课标）在“图形的性质”和“图形的变化”两个主题中对三角形提出了21点内容要求，人教版初中数学教材（以下简称教材）又将这些内容要求具体分解到《三角形》《全等三角形》《轴对称》《勾股定理》《相似》和《锐角三角函数》等章中.三角形在研究内容上有三角形自身固有的性质和图形间的数量关系两个方向，基于数学内容逻辑关系的视角，可将“三角形”划分为三角形的再认识、图形间的数量关系、特殊三角形三个子单元.

“三角形的再认识”子单元对应《三角形》和《锐角三角函数》的教学，“再认识”具体表现在学习内容和认识程度两个维度.作为小学学习的顺延，《三角形》研究了三角形三边之间的关系和三角之间的关系，《锐角三角函数》研究三角形边、角之间的关系，这些学习内容是小学阶段所没有的.学生在小学阶段通过识别图形（淡化特征）、概括关键特征的形式初步认识三角形，并通过对图形的动手操作感知“三角形的内角和是180°”和“三角形任意两边之和大于第三边”，这都属于感性的认识；初中阶段则明显上升到理性层面，学生从下定义、表示、分类三个方面理解三角形的概念，并按照先组成要素（边和角），再相关要素（中线、高线、角平分线、外角）的顺序系统地认识三角形，还对“三角形的内角和是180°”提出了证明的要求.

“图形间的数量关系”子单元的教学通过《全等三角形》和《相似》来完成.初中阶段重点研究两个平面图形间的数量关系是全等和相似.首先，三角形是最基本的几何图形；其次，全等是特殊的相似.因此，初中阶段以三角形为例研究全等，让学生经历全等三角形的研究，并类比全等的学习研究两个图形的相似，以促进学生对两个图形之间的数量关系的理解.

“特殊三角形”子单元涉及《轴对称》和《勾股定理》两章.教材对几何的编排，按照先一般再特殊的形式，等腰三角形和直角三角形是两种特殊的三角形，它们除了具有一般三角形的所有性质外，还有很多特殊的性质.从对称的角度研究等腰三角形可以直观地、方便地得到等腰三角形的诸多性质，因此教材将等腰三角形的学习安排在《轴对称》一章中；将《勾股定理》作为单独一个章节，能凸显勾股定理在直角三角形的諸多性质中的核心地位.

2.2 确定关键教学点

基于以上教学分析，笔者确定“三角形”的5个关键教学点，如下表.

3 “三角形”的关键教学点的教学建议

3.1 教学策略

3.1.1 帮助学生从实验几何向论证几何过渡

虽然学生在小学阶段已经由实验操作获得了“三角形的内角和是180°”，但该获得只是一种感知，并非由推理论证得到.因此，义教课标提出在初中阶段“探索并证明三角形内角和定理”的要求.由以往教学的经验看，学生往往把在小学阶段获得的感知当作“基本事实”，既没有意识到需要证明，也不知道该如何证明.“三角形内角和定理（第1课时）”应把教学目标设定为引导学生体会证明的必要性和添加辅助线的意义，以帮助学生从实验几何向论证几何有序地过渡.

3.1.2 引导学生形成研究思路

《三角形》一章中已经分别研究了三角形三边之间的数量关系和三角之间的数量关系，那么三角形边、角之间是否存在数量关系？如果存在，该如何刻画这种关系？“锐角三角函数（第1课时）”的教学应引导学生体会这种研究思路；《三角形》《轴对称》《勾股定理》看似不相关的三个章节之间其实存在一条线索，那就是从一般三角形到特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的研究思路，因此，在教“等腰三角形（第1、2课时）”和“勾股定理（第1课时）”时应点明这条思路，而等腰三角形也是学生第一次经历图形特殊化的研究，这种经历在后续的矩形、菱形、正方形不断重复，并形成经验；“三角形全等的判定（第1课时）”强调从整体到局部的研究思路，第1课时给出判定三角形全等的整体的研究思路，后续课时则对猜想命题逐一操作验证.

3.1.3 引导学生感悟数学思想

数学学习的过程不仅要掌握知识，更要感悟其中蕴涵的思想方法.勾股定理被认为是平面几何甚至数学中最重要的定理之一，不仅仅因为它反映了直角三角形三边之间的数量关系，更重要的是，它搭建了数与形之间的一座桥梁，定理的证明以及应用中都蕴含着丰富的数学思想.因此，“勾股定理（第1课时）”这节课的教学应特别关注学生对数学思想的领悟.

3.2 具体实施

3.2.1 三角形的內角（第1课时）

本节课可以设计成回顾、生疑、解惑三个环节.回顾，即回顾小学剪拼三角形纸片的过程；生疑，是对操作的严谨性产生质疑，形成认知冲突；解惑，就是证明定理，也是整节课的重头戏.这三个环节是关联的并且是层层递进的.回顾环节有两个抽象，一是把三角形纸片抽象成数学图形，二是从三个角拼成平角的过程中抽象出证明所需的辅助线.生疑环节具有承上启下作用，先提出问题：“通过度量或剪拼所得到的结论可靠吗？能说明任意三角形的内角和都是180°吗？”在质疑的基础上进一步提出解惑的需求.解惑环节，教师要关注示范和引导，示范如何根据命题画示意图，并写出已知和求证，示范用数学符号语言进行严谨的推导；引导学生从剪拼过程中抽象出证明方法，引导学生对抽象出的证法深入思考，得到多样性的，乃至一般化的证法.通过三个环节，让学生体会证明的必要性、思考如何证明，可以有效地帮助学生从实验几何向论证几何过渡，并在此过程中，让学生感悟数学的逻辑性与严谨性，发展学生的推理能力［2］.

3.2.2 锐角三角函数（第1课时）

要想突破本课时的关键点，需要解决两个问题：为什么要研究三角形边和角之间的关系？怎么研究三角形边和角之间的关系？

理清知识的逻辑关系，就不难理解研究三角形边和角之间的关系的原因.教学时，教师可以先对知识进行如下梳理：“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.”指明了任意三角形三边之间的关系（定性关系），“勾股定理”则进一步指出直角三角形三边之间的数量关系（定量关系），“三角形内角和定理”反映了三角形三角之间的数量关系.此时再提出：“三角形的边和角之间是否也存在数量关系？”便水到渠成了.

怎么研究三角形边和角之间的关系呢？不妨按以下步骤实施教学：

（1） 让学生回忆在之前的学习中是否遇到过涉及三角形边和角的关系的问题？如果有，画出示意图，并说明.

学生不难想到直角三角形中熟悉的结论：在一个Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比值是12；当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比值是22.

（2） 让学生对上述结论做一般化的猜想.

这是一个难点，需要先从上述结论中抽象出“∠A确定时，∠A的对边与斜边的比值是定值”，再得到一般化的猜想：在一个Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A是任意锐角时，∠A的对边与斜边的比值都是定值.

3.2.3 三角形全等的判定（第1课时）

本课时的关键之处有两个：一是形成判定三角形全等条件的整体的探究思路，二是提炼出学习判定定理的一致性的路径.实际教学中，教师应引导学生获得以下结论：（1） 利用定义当然可以判定两个三角形全等，但三条边对应相等，三个角对应相等的条件太强了，可以弱化；（2） 弱化条件，也就是在“三条边对应相等，三个角对应相等”中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等；（3） 列出图1所示的探究思路；（4） 根据探究思路写出所有的猜想命题；（5） 可以用举反例的方法判定假命题，通过画图操作，验证真命题，并形成每个判定定理的探究路径（如图2）.

3.2.4 等腰三角形（第1课时）

在一般三角形的基础上用特殊化的视角分析、研究，得到“等边对等角”和“三线合一”是“等腰三角形（第1课时）”的关键所在.

教学“等腰三角形（第1课时）”时，不妨提出以下几个活动任务，让学生开展项目化学习：

任务1：从一个一般三角形的纸片中，通过只剪一次的操作，得到一个等腰三角形.

驱动性问题：

（1） 你有几种操作方法？如何判断你所得到的三角形是等腰三角形？

（2） 你认为在“剪”的过程中，影响结果的关键步骤是什么？

任务2：探究等腰三角形的性质.

驱动性问题：

（1） 对于“等腰三角形的性质”，具体要研究什么？你认为以往几何图形性质的探究过程中的哪些经验可以借鉴？

（2） 等腰三角形的组成要素和相关要素有哪些？

驱动性问题：

在“剪”的过程中，等腰三角形的哪些元素重合？从数量关系和位置关系两个角度，你能得到关于等腰三角形性质的哪些猜想？

若条件允许，可以鼓励学生从图形的特殊化出发，进一步研究等边三角形、直角三角形等几何图形的性质.

任务：对等腰三角形进一步特殊化.

驱动性问题：

（1） 你可以从哪些方面将等腰三角形进一步特殊化？

（2） 如果要研究特殊化后的等腰三角形的性质，你打算如何研究？请你设计一个研究方案.

3.2.5 勾股定理（第1课时）

渗透数学思想方法是勾股定理教学的一个重要价值，具体教学实施如下：

（1） 在推导定理的环节，先从等腰直角三角形入手，让学生观察、分析三边平方之间的数量关系，然后提出问题：其他的直角三角形是否也有同样的结论？指引学生猜想任意直角三角形三边之间的数量关系，渗透特殊与一般的思想.

（2） 在练习巩固的环节，设计以下练习：设直角三角形的两直角边长分别为a和b，斜边长为c.① 若a=5，b=12，求c；② 若a=1，c=2，求b；③ 若b=15，c=25，求a.完成练习后，启发学生从方程思想的角度分析：a2+b2=c2提供了a，b，c三个量之间的一个等量关系，进而抽象出“知2可求1”的结论.

（3） 在课堂小结环节，教师可以引导学生从内容和证明方法两个方面感悟勾股定理中蕴含的数形结合的数学思想：从内容看，勾股定理建立直角三角形三边之间的数量关系；从证明方法看，通过图形的拼接、组合，利用图形面积的等价关系证明定理，实现形与数的有机结合.

4 结语

义教课标要求“注重教学内容的结构化”.关键教学点是一个章节、甚至是一个领域的知识网络结构中“结点”位置的课，抓住关键教学点也就抓住知识的联系点、能力的提升点、素养的发展点，因此可以认为实施关键教学点正是对教学内容结构化的一种理解.整体视角下的“三角形”的教学，不仅有利于教师宏观地理解数学、把握教材，也有助于学生形成良好的认知结构.学生在“三角形”中所习得的研究几何图形的基本问题和方法有助于他们学习后续四边形、圆等不同几何图形时产生正迁移.

参考文献：

［1］ 张弘，胡鹏程.素养观下初中数学关键教学点的教学范式与思考［J］.福建教育，2023（15）：49-51.

［2］ 史宁中.义务教育数学课程标准（2022年版）解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.