图形对称性的应用技巧例析

陈杨

对称图形不仅具有整齐、规范、匀称、和谐的美 感，更能反映出数学图形的简洁性.对称图形包括中心 对称图形和轴对称图形.在平面内，把一个图形绕着某 个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重 合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它 的对称中心.

中心对称图形具有以下性质：

1.关于中心对称的两个图形是全等的；

2.关于中心对称的点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；

3.关于中心对称的两个图形中，对应的线段平行（或者在同一直线上）且相等.

在平面内，如果将一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

轴对称图形具有以下性质：

1.对称轴是一条直线；

2.对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等；

3.沿对称轴将图形对折，左右两边的部分完全重合；

4.对称轴垂直平分对称点所连的线段.

在高中数学中的幂函数、对数函数、三角函数的 图象具有对称性；正棱柱、正棱锥、正棱台具有对称 性；椭圆、双曲线、抛物线的图形具有对称性.对称性在 解题中有着十分广泛的应用.下面结合实例加以分析.

例1

解：

解答本題主要运用了奇函数的性质和图形的对 称性.在判断出函数为奇函数后，便可根据奇函数的图 象为中心对称图形，且对称点为原点，利用中心对称 图形的性质得出 f （1） > 0， f （-1） = -f （1） < 0 ，从而确定 函数 y = （3 ） x - 3 -x cos x 的图象.

例2

解：

解答本题主要运用了正六棱柱的对称性：正六棱 柱的上下底面的中心的连线为正六棱柱的对称轴，上 下底面的中心为上下底面的对称中心.只要确定每一 个侧面内、每两个相邻平面内、隔一个平面的两个平 面内的相交对角线的数量，以及一组对面内平行对角 线的数量，即可根据正六棱柱的对称性，确定其他平 面内的相交对角线、平行对角线的数量.

可见，在解答图形问题时，巧妙利用图形的对称 性，不仅能使问题中的几何关系以更加简洁的形式呈 现，使得抽象的问题具体化，还能简化运算过程，大大 提高解题的效率.

（作者单位：西华师范大学）