基于观念体系探索数学整体教学

张建明　周林

摘  要：整体教学理论突出单元与课时的一致性和连贯性，鼓励学生建构知识间的结构关系，在认识空间图形基本位置关系的过程中，从现实世界中的长方体模型抽象空间图形，通过其组成元素的关系研究其位置关系，借助直观与操作，利用“三种语言”数学地认识事物，在这个过程中挖掘内蕴在概念和定理中的一般观念，逐步发展学生的理性思维.

关键词：整体教学；一般观念；单元教学

一、研究的背景和依据

从当前的教学来看，很多教师仍然没有认识到为何要实施单元整体下的课时教学，以及如何实施单元整体下的课时教学.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）在“实施建议”中指出，教材编写应该体现整体性，注重教材的整体结构与教学内容的衔接；教师更要关注主题、单元的教学目标，积极探索有利于学生学习的多样化教学方式，引导学生从整体上把握教学内容，实现学生数学核心素养的形成和发展.

整体教学理论强调以“整体—部分—整体”的方式开展单元教学，突出单元与课时的一致性和连贯性，促使学生在理解内容的基础上建构内容间的结构关系网络，揭示数学的本质并学会思考. 整体化有序设计单元教学有利于促进教师整体教学思维的形成.

单元教学的核心思想是系统思维. 这就要求教师在设计单元教学时要从整体视角分析单元内容，深刻理解数学知识的结构及其本质，明晰数学核心素养在内容体系形成中表现出的连续性和阶段性，帮助学生厘清知识的来龙去脉，建立知识间的联系.

“观念”泛指客观世界在人头脑中的反映，是在感觉和知觉基础上形成的客观事物的外部特征在人脑中重现的形象，即对事情的主观与客观认识的系统化. 在日常生活中，人对于事物的直观认识就可以认为是一种观念，我们可以利用观念系统（观念体系）对事物进行决策、计划、实践、总结等. 观念（体系）具有以下两个显著特征：（1）观念是高度抽象的，具有系统性，与具体对象的联系不是显而易见的；（2）观念体系源自一系列的具体对象，因此普适性是观念体系最重要的特征之一.

观念体系呈现在数学情境中形成数学一般观念. 章建跃博士认为，数学一般观念是对数学内容及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括，是研究数学对象的方法论. 这里强调了内容与思想的概括及对研究方法的梳理，对提高学生思维的系统性和结构性起到了引领性作用. 数学教学的根本任务是发展学生的思维能力，在教学过程中要注重培养学生从基本概念、基本原理及其联系性出发思考和解决问题的习惯. 因此，有必要在观念体系，即数学一般观念的指导下进行单元整体教学，挖掘蕴含在概念和定理中的一般观念，逐步培养学生的思维能力.

二、数学一般观念的重要性

數学是研究数量关系和空间形式的科学，数学所能够提供的观察、思考和表达方式是人类有效探索自然的基本模式. 数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象得到数学的研究对象及其关系：基于抽象结构，通过对研究对象的符号运算、形式推理、模型构建等形成数学的结论和方法，帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律. 因此，在数学教学过程中，要着重培养学生的数学意识，通过引导学生经历独立的数学思维过程，促使学生理解数学基本概念和法则的发生与发展，以及数学基本概念之间和数学与现实世界之间的联系，有意识地运用数学语言表达现实生活与其他学科中事物的性质、关系和规律，进而逐步实现课程目标，立足学生的数学核心素养发展，集中体现数学课程的育人价值.

数学核心素养具有基础性、适切性、可行性，同时具有整体性、一致性和阶段性，在不同阶段具有不同表现（如表1）.

由表1分析可知，小学阶段侧重对经验的感悟；初中阶段侧重对概念的理解；高中阶段侧重正确价值观、必备品格和关键能力的形成. 这里体现了如下三个不同层次.

数学意识. 这是一种基于经验的感悟，是学生通过多次参与某种数学活动，逐步形成的对活动特征、过程和操作方法的感性认识，其中既有感知的成分，又有思维的成分. 特点是具体化、个性化和波动性，还没有形成明确的、稳定的思考与做事原则.

数学观念. 这是一种基于概念的理解，是学生通过对学科基本概念的理解，逐步形成的对学科特征、问题和思考方式的理性认识. 特点是带有学科特征，相对稳定，对进行数学思考和解决数学问题有一定的指导作用. 以北师大版《普通高中教科书·数学》（以下统称“北师大版教材”）必修第二册“空间图形基本位置关系的认识”一课为例，类比平面几何中的位置关系：直线—直线的平行（平直性）—直线的垂直（对称性），确定了本单元立体几何中的位置关系研究的整体架构：平面—直线、平面的平行—直线、平面的垂直. 具体过程是从现实世界中的长方体模型抽象出空间图形，获得几何对象点、线、面. 通过基本图形组成元素之间的相互关系，类比直线的位置关系的定义方式，从公共点、公共直线的角度研究空间基本图形的位置关系. 借助直观与操作，按照位置关系逐类展开研究，利用“三种语言”数学地认识事物. 这是研究位置关系的一般路径和方法，即直观感知（识图）—构成要素之间的关系—操作确认（抽象、画图）—数学表述（语言）.

关键能力. 这是一种基于问题解决的稳定的心理特征，是学生在掌握数学基础知识和基本技能的基础上，通过数学活动和问题解决将数学基本思想方法内化的结果. 其特点是可以外显为问题的解决和思维品质.

在教学设计和课堂实施中，要通过启发暴露数学概念、结论、应用的形成与发展过程，引导学生感悟数学基本思想，不断积累数学基本活动经验，促进学生数学核心素养的发展. 从义务教育阶段的数学意识到高中阶段的关键能力，需要体现数学内容的逻辑体系，揭示数学内容的发生、发展过程. 这就要求教师把教学内容整合为连续的、紧密相关的学习进程. 因此，需要建立具有统摄性的数学一般观念来指导学生的数学学习和探究活动，引导学生学会学习.

三、发展数学一般观念的具体路径

1. 从教材的整体结构发展数学一般观念

《标准》在“教材编写建议”中提出了“教材编写应体现整体性”的要求，并指出高中数学主要内容分为四条主线，它们既相对独立，又相互联系. 同时，教材各个章节的设计要体现三个关注：关注同一主线内容的逻辑关系；关注不同主线内容之间的逻辑关系；关注不同数学知识所蕴含的通性通法和数学思想. 因此，数学内容的教学展开应该循序渐进、螺旋上升，使教材成为一个有机的整体.

高中数学内容四条主线中的函数、几何与代数、概率与统计都有各自的基本路径. 例如，在必修课程与选择性必修课程中，突出几何直观与代数运算之间的融合，即通过形与数的结合，引导学生感悟数学知识之间的关联，进而加强学生对数学整体性的理解. 几何与代数主题的教学目的有两点：一是为代数特别是线性代数的学习建立几何直观，这个几何直观对于学生的未来学习是非常重要的；二是让学生知道如何用代数运算解决几何问题，这是现代数学的重要研究手法.

在几何与代数这一主题下涵盖了平面向量、复数、立体几何、解析几何等内容. 下面主要以平面向量和立体几何为例，说明教学基本框架的建构过程.

向量理论具有深刻的数学内涵和丰富的物理背景. 向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁. 因此，平面向量的学习包含物理路径和数学路径. 物理路径主要是启发学生思考如何抽象一个研究对象，以及如何通过类比的方法把物理情境转化为数学情境等. 具体教学路径如图1所示.

对于数学路径，基于与数的研究类比和与几何图形的研究类比，可以得到以下两种路径：运算对象—运算法则和性质—联系和综合—应用；向量的图形表示—几何意义—几何关系的向量表示—利用向量研究几何图形的性质和度量.

直觀想象素养是立体几何教学核心素养培养的重要目标. 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的素养. 直观想象主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化和运动规律；利用图形描述和分析数学问题；建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路. 因此，本单元的研究路径可以从数与形两个角度入手确定.

数式直观：定性分析（定义、性质、关系等）—定量分析（长度、角度等）.

图形直观：直观感知（识图）—操作确认（画图）—思辨论证（证图）.

归纳以上各条主线的研究路径，确定其基本要点都是：背景（现实世界中的一类现象）—概念（研究对象）—性质（要素、相关要素之间的关系或变化规律等）—结构（相关知识之间的联系）—应用.

2. 从教材内容的整体分析发展数学一般观念

一般地，每一章内容都有特定的研究对象. 教材的编写首先需要构建相应的研究框架，设计研究路径，然后再循序渐进地、有逻辑地安排具体内容，并选取适当的学习素材创设情境，引导学生从情境中发现和提出问题，探索研究方法，获得研究结果并用于解决问题. 因此，教师在使用教材时关键的环节就是对教材进行深度分析，从不同的视角解读教材，揭示数学的本质，并在理解教材的基础上，借助数学一般观念的引领，逐步明确研究一个数学对象的基本框架和路径，这对发展学生的理性思维起着至关重要的作用. 北师大版教材主要通过章引言和章小结这一头一尾来呈现研究一个数学对象的基本路径.“立体几何初步”的章引言是：初中已经学习了平面几何，研究了一些平面图形的形状、大小、位置关系，还有平面图形的画法、计算问题，……研究空间的各种几何图形的形状和大小，研究这些图形的位置关系和度量关系……

“立体几何初步”一章将学习立体几何的一些基础知识，以具体的立体图形特别是长方体为基础，通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法，引导学生认识几何体的基本元素（点、线、面），讨论这些基本元素之间的位置关系（平行与垂直），讨论基本图形柱、锥、台、球的简单度量关系（表面积和体积）. 以提升学生的直观想象和逻辑推理等素养. 上述章引言给出了立体几何的研究路径：实际物体—抽象概念—判定与性质—知识结构—应用，体现了数学一般观念引领下的内容组织与呈现方式.

本章小结包括“知识结构”“学习要求”“需要关注的问题”三部分. 其中，“知识结构”以框图形式呈现本章的知识要点、脉络结构和相互联系（如图2），是本章的思维导图，清晰地呈现了本章内容的结构、重要知识和研究路径，有助于学生自我学习，形成对本章的认知结构.“学习要求”是对“知识结构”的细化，明确了本章内容所反映的数学思想，是对本章内容的整体概述.“需要关注的问题”是以本章的内容结构为线索，通过问题引导学生回顾知识，深化对本章主要内容及其反映的数学思想和数学方法的理解，同时鼓励学生独立思考、反思，借助复习参考题进行再学习，进而形成对本章知识与方法更完整的自我构建. 这种对本章内容所反映的数学思想和方法的渗透与提炼，正是数学一般观念的“完美体现”.

3. 基于整体教学设计课时教学，发展数学一般观念

数学一般观念的建构教学有利于增进学生对知识的深刻理解，发展学生的理性思维. 因此，帮助学生建立数学一般观念应该是数学课堂教学的首要目标. 由于学科一般观念具有全息性特点，这种全息性可以发展为很强的整体性、结构性和综合性，因此应该通过综合感知、整体感知，使学生对隐藏于数学对象深层的数学事物关系间的和谐性与规律性有深切感受，对隐藏于数学知识间的逻辑脉络和演绎方式有深切感受. 下面就以“空间图形基本位置关系的认识”一课为例探索发展数学一般观念的具体过程.

（1）教材分析.

在本节课之前的内容是立体图形的特征和直观图等，本节课利用学生熟悉的长方体模型进行教学，充分体现了对前面所学知识的延续. 从对立体图形的认识扩展到对点、线、面的认识，有效培养了学生的直观想象素养. 本节课的内容是后续几节课内容的统领性知识，本节课系统梳理了空间中点、线、面的位置关系. 本节课主要通过图形特征进行教学，后续的章节则是通过严密的逻辑推理进行证明. 北师大版教材对这部分内容按照“总—分”式的结构进行处理，本节课就是“总”的部分.

（2）学情分析.

学生在初中阶段接触过平面几何，已经具备了基本的逻辑推理能力，为后续立体几何相关命题的证明提供了必要的能力基础. 此类证明问题对学生来说具有一定的挑战性，容易引起学生的兴趣，学生可以保持强烈的欲望学习相应的知识.

学生已经学习了立体图形中的顶点、棱、底面等几何元素的相关概念，为本节课的学习提供了必要的理论基础. 学生已经学习了集合及简易逻辑等相关知识，对使用符号语言表达点、线、面的位置关系提供了必要的知识基础. 长方体中的线段与平面都是“有界”的，学生需要将其拓展至“无限”. 在前一节课中，通过“平面”的学习，学生也具备了一定的想象能力. 基于此，确定学生对于本节课知识的学习已经做好了知识与能力方面的准备.

（3）目标分析.

通过观察长方体的顶点、棱、面等几何元素认识空间中点、线、面等几何元素的位置关系，据此获得位置关系的分类方式和准确定义；通过合作探究研究各类位置关系的文字语言、图形语言和符号语言，并在交流的过程中不断进行完善和精确；通过“有界”的图形想象“无限”的几何元素，培养学生的直观想象素养；通过规范化的符号语言培养学生的逻辑推理素养.

（4）教学重点和教学难点.

教学重点：了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.

教学难点：会用图形语言、符号语言表示直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系.

直观想象就是在几何直观的基础上展开创造性想象，它是立体几何教学中核心素养培养的重要目标. 对此，确定本节课的直观想象素养培养要求：熟悉基本立体图形，包括理解立体图形的特征及其组成要素之间的相互关系；能准确画图；能在头脑中想象立体图形中基本元素之间的位置关系.

明确研究对象和研究方法是立体几何教学的核心. 对此，要启发学生明确研究对象，即要研究什么问题，同时还要鼓励学生知道怎么研究. 使学生体会立体几何研究的基本思路和基本方法，逐步学会抽象数学对象、提出数学问题的方法，以提升学生发现问题和提出问题的能力.

本节课基于逆向教学设计模型，从例题倒推教学任务，确定突破教学重点和教学难点的方法（重点探究直线与直线的位置关系，类比研究其他位置关系），设计学生活动（独立思考、合作探究、正确画图），选择合适的教学情境（以长方体为载体进行观察、抽象和表述）.

（5）教学过程设计.

环节1：预习展示.

课前任务1：制作一个长方体模型.

课前任务2：画一个长方体的直观图.

师生活动：要求学生展示预习成果，通过熟悉的立体图形形成抽象几何对象的一般方法.

师：基于课前任务，尝试抽象出空间中点与直线的位置关系，分别用图形语言、文字语言、符号语言加以描述. 类似地，进一步探究点与平面的位置关系.

师生活动：让学生展示预习成果，感受学生表达和逻辑的严密性.

【设计意图】让学生从熟悉的立体图形入手，在体会抽象几何对象一般方法的同时，使用三种语言进行相关表述，为下面研究其他位置关系做铺垫.

环节2：探究活动.

探究1：探究空间中直线与直线的位置关系.

师：观察长方体模型及其直观图，你能发现其中的直线与直线之间有哪些位置关系吗？

师生活动：让学生展示思考成果，并让学生之间相互评价，教师进行适当补充.

【设计意图】通过直线与直线位置关系的梳理与比较，明确直线与直线的位置与交点间的关系，进一步明确刻画位置关系的一般方法，即利用空间图形的组成要素进行描述.

师：通过探究，我们可以知道直线与直线之间的位置关系分为共面与异面两种，而共面又分相交与平行. 其中，相交直線仅有一个交点，平行直线和异面直线都没有交点. 大家尝试使用“三种语言”表述直线与直线之间不同的位置关系.

师生活动：学生通过独立思考和合作交流等方式完成任务，教师对学生表述不严谨之处给予补充、纠正.

【设计意图】通过使用三种语言表述直线与直线之间的位置关系，让学生进一步体会并掌握“三种语言”之间的转化，尤其注意图形语言的使用和符号语言的准确度.

师：回顾点与直线、点与平面及直线与直线的位置关系的研究过程，其研究路径是什么？

师生活动：师生共同回忆、总结. 教师引导学生类比研究方法，进一步对直线与平面、平面与平面之间的位置关系进行探究.

【设计意图】帮助学生建立“模型—定义—表示”的位置关系研究路径，这是形成数学一般观念的具体途径，也为后续研究做好铺垫.

探究2：探究空间中直线与平面、平面与平面的位置关系.

师：类比空间中直线与直线位置关系的研究方法，大家尝试以小组为单位继续探究空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系. 在交流过程中，要注意分类的标准、图形的画法和语言的表述.

师：大家借助手中的长方体模型及教室内的物体，举例说明直线与平面、平面与平面之间的位置关系.

师生活动：基于学生的合作探究，师生共同总结、归纳出直线与平面、平面与平面之间的位置关系及相关内容如表2和表3所示.

【设计意图】通过公共点个数明确直线与平面、平面与平面之间的位置关系，明晰研究点、线、面之间位置关系的一般方法.

环节3：目标检测.

练习：用符号语言表示图3中各直线、平面之间的位置关系.

【设计意图】明确直线、平面之间的位置关系，熟悉符号语言和图形语言的转化，为后续证明提供思想基础.

环节4：反思升华.

利用以下问题，引导学生回顾本节课所学内容.

（1）通过本节课的学习，你掌握了哪些知識？

（2）如何对基本图形的位置关系进行研究？

（3）本节课的学习内容中，你认为哪个概念最难理解？

【设计意图】梳理知识，让知识形成网络，便于学生理解、记忆.

环节5：作业布置.

基础性作业：北师大版教材第210页练习第1题和第2题.

【设计意图】进一步挖掘教材习题的示范功能，加深学生对三种语言的理解.

发展性作业：如图4，在各小题后的横线上填写对应的图形序号.

（1）[A?α，a?α]：_____；

（2）[α?β=a，P?α且P?β]：_____；

（3）[a?α=A]：_____；

（4）[α?β=a，α?γ=c，β?γ=b，a?b?c=O]：_____ .

【设计意图】巩固学生对图形语言和符号语言之间转换的掌握.

探究性作业：思考如何用图形语言表示异面直线.

【设计意图】巩固研究点、线、面位置关系的一般观念，进一步培养学生运用图形语言解决问题的能力.

四、结束语

数学教学要实现对学生相关数学核心素养的培养，注重培养学生的创造性思维，发展学生的理性思维. 因此，在数学教学中，要注重观念体系的引领作用，提高思维的系统性和结构性，以更好地实现数学课程的育人目标.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］马兰. 整体化有序设计单元教学探讨［J］. 课程·教材·教法，2012，32（2）：23-31.

［3］查有梁. 科学方法与教育理论［J］. 中国社会科学，1990（1）：79-98.

［4］章飞，顾继玲. 单元教学的核心思想与基本路径［J］. 数学通报，2019，58（10）：23-28.

［5］章建跃. 数学教育随想录［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.

［6］史宁中. 数形结合与数学模型：高中数学教学中的核心问题［M］. 北京：高等教育出版社，2018.

［7］章建跃. 核心素养导向的高中数学教材变革（续4）：《普通高中教科书·数学（人教A版）》的研究与编写［J］. 中学数学教学参考（上旬），2019（10）：7-11.

［8］李昌官. 为发展学科一般观念而教：兼谈解析几何复习起始课教学［J］. 数学通报，2019，58（9）：11-15.

［9］威金斯，麦克泰格. 追求理解的教学设计［M］. 闫寒冰，宋雪莲，赖平，译. 上海：华东师范大学出版社，2017.

基金项目：安徽省淮北市教育科学研究课题——面向资优生学科素养培养的教学与评价研究（HBJK2102018）.

作者简介：张建明（1980— ），男，中学高级教师，主要从事中学数学研究；

周林（1982— ），男，中学高级教师，主要从事中学数学竞赛研究.