指向深度学习的高三数学单元基本问题微专题教学

裴黎黎

摘  要：“函数与不等式”是“函数与导数”单元的基本问题之一. 本节课从函数的图象及结构特征出发创设典型问题，引导学生从不同角度分析不等式问题，使学生掌握将这类问题转化为拆分函数或构造函数的一般策略，体验转化与化归、数形结合等思想方法. 课后从教学内容的深度挖掘、信息技术与数学教学的深度融合、备考冲刺阶段的复习教学等方面进行了反思论述.

关键词：函数；不等式；函数图象；一般策略；深度学习

2022年4月下旬，笔者有幸在广东省深圳中学郭慧清老师和广东省深圳市龙华区教育科学研究院殷木森老师的指导下，经过多次线上线下磨课，于5月初在中国教师研修网举办的“基于核心素养的高中数学教学策略与方法行动研究”主题教研活动中进行课例展示. 此次研讨的单元主题内容是“函数与导数”. 起初，笔者选定的课题内容是“函数图象的切线及其应用问题”，郭慧清老师认为该课题属于第一轮或第二轮复习的内容，且不是本单元的热点问题，不应该在考前一个月再深入研究，并建议笔者抓住“函数与导数”板块里的热点问题进行研究. 之后，笔者在郭慧清老师的建议下，经过对人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“教材”）的充分研读、近几年高考新变化的研究及单元主题下基本问题的提炼，拟定“函数与不等式”进行课例研讨. 期间，团队成员通力合作，在注重基本问题的提炼、基本思想的启发与总结、基本方法与步骤的梳理等基础上，笔者对教学设计进行了反复实践与打磨，最终的教学效果得到了教材主编章建跃博士的认可. 通过此次活动，笔者深刻体会到教材中新的变化对于新高考的方向指引性，也切实感受到课堂问题的设置对于学生思维灵活性培养的重要性. 以下分享本节课的教学设计、实践与反思.

一、单元-课时教学设计

1. 内容和内容解析

（1）内容.

函数与导数在高考中往往以综合性比较强的题型出现，但这些复杂、综合的高考问题可以逐步化归为某个基本问题或某些基本问题的组合，主要包括：函数作图，函数的单调性、极值与最值，函数的零点，求参数的取值范围，证明不等式.

（2）内容解析.

内容的本质：利用导数研究函数的性质，即通过函数作图，并借助函数图象，研究函数的单调性、极值、最值、零点、参数取值，以及证明不等式的问题.

蘊含的数学思想和方法：以函数图象为基础进行研究，体会数形结合的重要思想；对于函数零点问题，要学会将复杂的问题转化为简单的、可操作的问题，体会转化与化归思想；对于参数的取值范围，探究参数变化对函数或不等式产生的影响，蕴含分类讨论思想. 此外，还有特殊情形下的设而不求、以直代曲等思想方法.

知识的上下位关系：函数与导数是高中数学的重要内容，不仅与方程、不等式、数列等有着紧密的联系，在其他学科领域也有广泛的应用，而且是高等数学中学习微积分等其他内容的基础知识，是现实生活中数学建模的重要模型.

育人价值：通过解决函数与导数中的基本问题，体会将复杂问题转化为简单问题来处理的一般策略，提升学生灵活处理问题的能力. 通过对问题的变式探究与深度挖掘，培养学生学习数学的兴趣，促进学生深度学习. 借助信息技术与数学教学的深度融合，在提升学生利用技术解决问题的能力的同时，培养学生的直观想象和逻辑推理等素养.

教学重点：通过创设典型的例题与变式，以函数图象为基础，解决函数的零点、参数范围求解和不等式证明等基本问题，引导学生反思并总结一般策略.

2. 目标和目标解析

（1）单元目标.

① 利用导数作出较为复杂的函数的图象，并能根据列表内容判断函数的单调性，能求某些函数的极值和最值.

② 借助函数图象，研究函数的零点、含参不等式取值和不等式证明等问题，体会转化与化归思想.

③ 通过多角度对问题进行思考与变式训练，使学生掌握解决各类基本问题的一般策略与步骤.

（2）单元目标解析.

达成上述单元目标的标志如下.

对于函数作图问题，能够做到步骤明确：求出函数[fx]的定义域；求导数[fx]及函数[fx]的零点；列表；确定函数[fx]的图象的特殊点（如与坐标轴的交点、极值点等），以及图象的变化趋势（如渐近线等）；画出函数[fx]的大致图象. 本章节高度重视函数图象的作图，课堂上应选择典型问题让学生亲自操作与体验，培养学生的作图能力，为后面解决复杂问题做准备.

对于函数的单调性、极值与最值问题，前三步与函数作图的步骤相同，第四步可以由表格得出结论. 因此，只要解决了函数作图的问题，这类问题就可以迎刃而解了.

对于函数零点问题，能根据函数解析式的结构特征尝试将其转化为以下几类问题来解决. 第一类，分离参数法，其步骤为：将方程[fx=0]变形为[a=gx]；作出函数[y=gx]的图象；观察直线[y=a]与函数[y=gx]的图象的交点；对参数进行分类说明. 第二类，函数拆分法，其步骤为：将方程[fx=0]拆分为[gx=hx]，其中[gx]不含参数[a]，[hx]含参数[a]但易知参数[a]对函数[y=hx]的图象的影响；作出函数[y=gx]的图象，研究清楚参数[a]对函数[hx]的图象的影响；观察函数[y=gx]与函数[y=hx]的图象的交点；对参数进行分类说明. 第三类，参数试值法，其步骤为：取若干参数值分别画出函数图象，观察函数零点个数；观察参数变化对函数图象的影响，找出函数零点个数发生变化的“界”及其对应的参数值；对参数进行分类说明.

对于求参数取值范围问题，要求学生能够从不同的角度进行思考并解决. 第一类，直接求解含参不等式，通过解不等式获得答案，其步骤为：转化为参数不等式（或不等式组）；解不等式. 第二类，分离参数求函数最值，其步骤为：分离参数；求函数最值；得到参数变化范围. 第三类，不等式变量分离法，即函数的拆分处理，如本节课教学设计中的问题1，参数不用完全分离出来，可以出现在一个基本初等函数里，使问题尽可能简化.

对于不等式证明问题，要求学生能够掌握解决这类问题的一般策略. 根据不等式结构的特点，可以与函数建立联系，借助函数的图象特征将問题转化为函数最值问题，或拆分成两个函数的最值比较问题，或拆分成两个函数之后引入中间变量利用放缩法证明.

3. 教学问题诊断分析

学生在前面两轮“函数与导数”内容的学习过程中，对于函数的作图不够精细. 例如，关键点和变化趋势的确定会影响对后面复杂问题的研究，尤其是参数范围的求解. 因此，函数作图是基础，要让学生认识到精确作图的重要性，尤其是对与坐标轴的交点和渐近线的判断.

学生在处理函数零点问题时，往往习惯采用分离参数法，通过观察参数发生变化时两个函数图象的交点个数来判断. 这其中蕴含着函数与方程、数形结合等重要思想，却也存在不严谨性. 因此，让学生在不使用极限的条件下，掌握纯粹利用函数零点存在定理来判断零点的存在性是这类问题的难点，尤其是两个特殊值的选取，通常还会涉及不等式的求解来选取合适的临界值，需要学生具备一定的分析能力与运算能力.

学生在处理函数与不等式问题时，当直接求导之后导函数零点不可求时，需要使用零点存在定理判断导函数零点的存在性，从而虚设零点解决问题. 学生需要积累处理这类情形的经验，否则将出现函数最值无法表述与求解的问题. 此外，对于不等式的证明，当整体求导有困难时，学生应学会将问题转化，学会将函数进行拆分或重组来处理. 复杂条件下，还应考虑分类讨论.

教学难点：将一个综合性的问题化归为一个基本问题来处理，并掌握零点存在定理中的取值问题和不等式问题中分类标准的确定问题.

4. 教学支持条件分析

首先，在高三前两轮复习结束之后，学生对函数的作图步骤已基本明晰，教师只需引导学生关注更多细节便可以处理好函数作图问题. 其次，在学生作业的基础上给予点评，既能充分认识学情、强调规范表达，又能帮助学生多角度思考问题，并梳理其中的方法和策略. 再次，冲刺阶段的复习课充分关注《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）的要求和教材内容渗透的本质，注重对基本问题和解题步骤的整理，这对于学生的学习来说是非常有必要的. 最后，借助信息技术制作函数图象或相关动图有利于学生直观感受图象的作用，引导学生注重函数作图，并借助函数图象寻求解决问题的突破口.

5. 课时教学设计

本单元主题分为3个微专题复习课时，具体分配如下：第1课时，函数零点的存在性问题；第2课时，函数与不等式；第3课时，求参数取值范围问题. 下面详细介绍第2课时的教学设计.

（1）课时教学内容.

函数的概念与性质、三角函数、导数的应用与不等式的综合问题，适合高考冲刺阶段的复习教学.

（2）课时教学目标.

① 从函数的图象及结构特征上创设典型的题设，引导学生从不同角度思考和分析不等式证明或恒成立的问题，培养学生的理性思维和探究能力.

② 通过多种不同的分析与解答过程，使学生掌握将不等式证明或恒成立问题转化为拆分函数或构造函数处理的一般策略，体验转化与化归、数形结合、以直代曲、设而不求和分类讨论等思想与方法，提升学生分析问题与解决问题的能力.

（3）教学重点与难点.

教学重点：从函数的图象与结构特征上寻找解决问题的突破口；利用导数解决不等式证明或恒成立问题的一般策略.

教学难点：数学思想方法的灵活运用，特别是分类讨论标准的确定.

（4）教学过程设计.

导语：分析近几年全国各地高考数学试题发现，通过给出函数关系式证明不等式恒成立，或已知不等式恒成立求参数的取值范围，是高考中的热点与难点问题. 例如，新高考第一年，函数与导数的解答题就考查了这类问题. 要处理这类问题，有什么一般性的方法与策略吗？这节课我们就选择两个典型的题组，研究一下分析与解决这类问题的过程.

问题1：已知函数[fx=ex-lnx+m]，当[m≤2]时，求证[fx>0.]（教材选择性必修第二册第104页第18题.）

师生活动1：教师陈述这道题是2013年高考数学全国Ⅱ卷中的试题并已被编入现行教材后，投影将这个问题转化为函数最值问题来处理的两份学生作业.侧重从利用不等式的性质[lnx+m≤lnx+2]对其放缩将问题简化、导函数零点的判断与虚设、原函数极值的判别与化简（即将超越函数值转化为有理函数值）、函数最值取不到[0]的条件说明这四个方面进行评析，并引导学生注重其中的方法、策略和严谨表达. 最后，教师在黑板上书写将不等式问题转化为函数最值问题的具体步骤，尤其对导函数零点存在且不可求的情形进行分析.

师生活动2：教师投影学生利用放缩法证明这个问题的作业，并说明放缩法通常是将一个函数拆分成两个函数之后的通用方法，即引入中间变量对其进行证明. 可以考虑对其中一个函数进行切线放缩，也可以同时对两个函数进行切线放缩，引导学生思考还可以选择夹在两个函数之间的任意一条曲线作为中间变量，但往往首要考虑切线放缩，并通过信息技术的动图进行演示说明，如图1 ～ 4所示.

在此，教师还追问以下两个问题.

追问1：如果[m]比[2]大一点点，[fx>0]是否仍然可以成立？

追问2：反过来，如果[fx>0]，则[m≤2]成立吗？

让学生知道两个函数图象之间的空隙就是我们选择放缩的中间变量的切入点，并考虑两个函数图象的临界状态（即相切）. 同时，教师提出对使用的放缩不等式都要给予严格证明. 最后，教师板书将不等式问题转化为两个函数图象问题之后寻找中间变量的具体步骤，并总结一般从切线、不等式性质、有界性、函数图象等方面进行放缩证明.

师生活动3：学生在前面两种切线放缩做法的基础之上，比较容易想到利用公切线[y=x+1]同时对两个函数进行切线放缩，但不容易找出另一条公切线y = （1/e）x+2/e. 此时，教师抛出问题：“当我们将一个函数拆分成两个函数，并画出这两个函数的图象之后，若这两个函数图象处于相离状态，如何来寻找中间变量？”学生发现还存在另一条公切线，笔者认为这是关于公切线求解的问题，所以只是引导学生有相关的思考即可，并顺势提问：“只能从切线入手吗？”学生能总结出“夹在两条曲线的中间部分均可”，进而顺利完成后面的研究.

对于追问1，学生借助图象发现当[m=2]时，两个函数图象仍然处于相离状态，还存在一定的空隙，所以[m]比[2]大一点点，[fx>0]仍然可以成立.

对于追问2，学生能迅速得出“如果[fx>0]，则[m≤2]不成立”的结论，教师继续追问“[m≤2]是[fx>0]的什么条件”，旨在让学生能更深刻地了解其中的关系，并引导学生课下继续寻找“当[fx>0]时，[m]的临界值是什么”，培养学生灵活思考与处理问题的能力.

师生活动4：教师继续启发学生思考这个问题是否还有其他解法，投影对这个问题采用分离参数法处理的学生作业，即将问题转化为证明[m

【设计意图】在处理这类由几个基本初等函数组合而成的不等式问题时，引导学生可以先观察题设中的参数，并利用不等式性质对其进行简单的放缩处理，从而将问题简化（或根据拆分之后的函数图象特征进行判断）. 接下来，思考是否可以利用放缩法进行证明，如果不能，则对其进行直接求导后，对导函数的零点进行判断与分析，虚设零点求得函数的最值，或对导函数再次求导，先研究导函数再研究原函数的最值，从而证明不等式成立. 通过这类问题的解决过程，帮助学生建立处理这类问题的一般方法与策略.

问题2：下面把问题进行简单变式，你是怎么考虑的呢？

变式：已知关于[x]的不等式[mex-lnx-1≥0]恒成立，求实数[m]的取值范围.（由2018年高考数学全国Ⅰ卷文科第21题改编.）

师生活动5：在学生充分思考的基础之上，让学生表达对于这个问题的分析方法.（这部分均由学生现场思考之后口述，教师用PPT呈现方法步骤.）

预设回答1：分离参数构造新函数求最值，如图5所示.

预设回答2：整体构造函数，对参数范围进行讨论，如图6所示.

预设回答3：拆分成两个函数进行研究，考虑题设的临界状态或拆分之后的两个函数的最值比较，如图7和图8所示.

对于第二个预设，学生可能很难想到，教师要引导学生整体求导进行尝试，思考导函数中的参数如何确定分类标准. 对于第三个预设，要将学生拆分成两个函数之后再比较函数最值的方法进行梳理和板书.

师生活动6：预设回答1的分离参数是学生最直接的想法，也能顺畅地逐步解决. 接下来，学生想到的是函数的拆分，即预设回答3，学生借助函数图象可以寻找相切时的临界状态，求得[m]的临界值. 学生最后才考虑对函数直接求导，观察导函数[fx=][mex-1x]的特征，考虑对参数[m]进行讨论，这里的分类标准的确定是学生思考问题的难点，教师引导学生考虑导函数[fx]随着参数[m]的取值变化是否有恒正或者恒负的可能，从而确定将[m]分为[m≤0]时[fx]恒负和[m>0]两类情况讨论.

师生活动7：教师与学生一起对这类问题进行方法总结. 当函数由几个基本初等函数组合而成时，利用导数解决不等式问题的方法有函数的最值（包括含参问题）、拆分成两个函数引入中间变量（即放缩法）、拆分成两个函数比较函数最值.

【设计意图】在问题1初步体会过一些处理方法与策略之后，让学生在课堂上实际体验分析问题的方法与策略的使用，感悟在尝试解答的过程中遇到障碍怎么突破，突破不了怎么办. 让学生学会灵活地考虑根据函数的图象或不等式的结构及时调整方法. 因此，设置变式的目的在于让学生不仅要掌握处理某类问题的策略与方法，還要提升分析问题与解决问题的思维品质.

问题3：已知函数[fx=ex-sinx-cosx]，证明：当[x>-5π4]时，[fx≥0].（2021年八省联考数学第22题节选.）

师生活动8：教师引导学生思考. 对解决这类问题的过程有了初步了解之后，你会如何来分析问题3呢？并给予学生一些时间重新思考这个课前已经完成了的作业难题.

预设回答：整体求导比较复杂时，我们可以将这里的函数拆分成两个我们熟悉的函数，如函数[gx=ex]和函数[hx=sinx+cosx]. 观察这两个函数图象的特点，发现函数[gx]和函数[hx]的图象有一个公共点[0，1]，且在公共点处有一条公切线[y=x+1，] 可以做放缩处理.

师生活动9：让学生口头表达这个问题的处理方法与步骤，教师板书.

追问：利用这条切线的放缩可以证明[x>-5π4]的所有情形吗？

二、教学反思

1. 对函数与不等式教学的理解

教材在“5.3 导数在研究函数中的应用”章节新增了一些比较典型的高考试题作为课后习题，以及一些蕴含数形结合思想且能体现函数与不等式关系的基本问题作为例题，这在引导学生思考问题、分析问题和解决问题方面具有更好的指导性. 例如，教学设计中的问题1，就是典型的将不等式问题转化为函数最值问题中导函数零点存在且不可求的情形，它的基本方法与步骤是怎样的？笔者通过几份典型的学生作业点评，启发学生总结解决这类问题的基本思想与方法.

郭慧清老师建议课堂上引导学生多角度思考同一个问题，尤其在使用放缩法时，首要找切线但不拘泥于切线，还可以结合函数图象的特点来选择（如教材第89页的例4就是很好的说明），并要引导学生反思、总结放缩法不同的表现（如不等式性质和有界性等）. 由此，笔者在问题1中的放缩法的点评中引导学生思考夹在两条曲线之间的中间空隙部分均可以作为中间变量从而实现放缩法的证明. 设置了两个追问帮助学生更好地借助图象的特征体会参数[m]的取值范围还可以再增大，并通过深度探索参数[m]的临界值，激发学生研究问题的兴趣，培养学生的思维能力. 对于问题3的探究，郭慧清老师建议在学生发现解决这个问题需要分类并将其分为三类来处理的基础之上，应继续通过问题“分类能不能再少一点，当[x∈-π/4，+∞]时可以一起说明吗？”和“如果不以[-π/4]为界，可以以其他数值为界吗？”追问学生. 教师在课堂上不仅应该引导学生完成对一道题目的求解，还要适当抛出问题启发学生课后继续深入思考. 这与钟启泉教授的观点十分吻合，即实现主体性、对话性的深度学习的教学设计应该满足“问题产生”“问题分享”“问题深化”三个条件，从而促进学生学习的“开始”“链接”“持续”.

总之，课堂上应对学生充满“前向期待”，即无论教怎样的学生、教什么，最终总能达成目标. 一节课不能将函数与不等式的多个问题进行全面讨论，但对于这一类问题的解决过程应该做到解题步骤清晰且精细化，引导学生反思并总结基本方法与步骤，程序化地呈现出整个过程的思考分析流程图. 殷木森老师认为，课堂上对于典型问题的探究应该注重变式训练，通过“一题多变”和“一题多解”提升课堂的思维容量，培养学生数学思维的灵活性和敏捷性，从而提升学生分析问题与解决问题的能力.

2. 对信息技术与数学教学深度融合的理解

章建跃博士认为，数学课程的设计应该以“纯粹数学”为载体，以培养学生的思维能力为核心，为学生构建有价值的（实用价值和精神价值）、富有挑战性的数学学习过程.

如果想让学生学会数学，我们就必须在课堂上教真正的数学. 信息技术的确改善了传统数学内容的教学，为那些重要但难度较大的数学思想的教学提供了有效途径，是进行数学探究与发现的“催化剂”. 它是建立复杂的数学思想的直观基础，使抽象的数学概念形象化的有效途径. 这节课对于问题1中放缩法的中间变量的选取，笔者先引导学生思考除了学生作业中呈现的几种切线放缩做法之外是否还有其他的放缩方式，再借助GeoGebra软件制作动画，直观呈现放缩的多种做法，深化学生对放缩法本质的理解，不固化于切线形式，但引导学生优先考虑切线. 切线实则对应一次函数，即相当于将函数拆分成两个超越函数并进行比较的问题转化成为两个函数分别与一次函数比较的问题，将问题进行简化，从而更容易得到解决.

但在使用信息技術与数学课堂教学融合的同时，章建跃博士还提出，教师应该把握好以纸笔运算、推理、作图等为主要手段的数学学习与在信息技术支持下的数学学习之间的平衡，即使数学中的基础知识和基本技能得到落实. 学生对本节课中问题1和问题2函数图象几种临界状态下参数的求解正是落实数学运算和推理能力的过程.

我们应该学会借助信息技术的优势，为学生开拓观察、思考、归纳、猜想的空间，使学生有更多时间和机会从事高水平数学思维、理解数学本质的活动，而不是用直观观察代替应有的思考与运算. 因此，这节课中，笔者借助信息技术软件依次呈现的各种图象都应该在学生的草稿纸上得到呈现. 要想解决这类问题，学生不仅要具有图象意识，还要具备一定的作图能力，更要能够根据函数图象来寻找解决问题的突破口.

3. 对如何做好高考备考冲刺阶段的复习教学的理解

关于本节课的选题，我们进行了第一次线上磨课会议，从预设的“函数图象的切线及其应用问题”微专题改为“函数与不等式”微专题，郭慧清老师提出在最后阶段的复习中应该着眼于高考的热点与难点问题，注重高考的新变化，应紧扣函数与导数内容中的基本问题之一，选择的例题应具有典型性与代表性，通过一道例题的分析启发学生总结对所有关于不等式的问题进行大致分类，并进行程序化地梳理，让学生真正了解解决这类问题的一般方法与策略.

郭慧清老师点评本节课具有五大特点：① 关注学生表现，问题1基于学生的课前作业学情进行点评，实用有效. ② 教学富有启发性，对于问题1中参数[m]的变化情况，将一个复杂的函数分解为两个熟悉的基本初等函数来处理，从而容易发现当[m=2]时两条曲线最接近的情形，并借助切线引导学生寻求其他中间变量进行放缩证明. ③ 内容选择恰当，问题1既是2013年高考数学全国Ⅱ卷试题，又是教材的课后习题，其余题目基本都是典型的高考试题或教育部考试中心命制试题，所以课堂选择的内容要重视对教材的使用，用好高考命题者的原始资料. ④ 重视难点突破，将不等式的证明转化为函数的最值来求解时，通常与导函数的零点密切相关，而这类问题的最大难点是导函数零点存在却不可求时的情形，本节课对于解决这类问题形成了一般策略. 另外，问题3中将函数分解成指数函数与正弦型函数之后，引导学生先画出函数图象再启发学生去观察证明. ⑤ 解题步骤清晰，对于课堂上的每一个问题都做到了步骤化，板书设计对不等式问题的梳理脉络清晰. 这也是冲刺阶段高三复习课应该把控好的几个重要方面.

经过这次长达一个多月的线上线下磨课、试课，笔者对如何做好冲刺阶段的高三复习课的备课有了更多的理解. 第一，备课要做到备教材与高考试题，精读教材，寻找其与高考试题中蕴含的基本思想之间的重要联系；第二，备课要做到提炼基本问题，从真正低起点具有基础性又可拓展延伸的一类典型问题入手，由简入繁，提升数学思维；第三，备课要做到备学生学情，建立在学生已有认知水平基础上的备课才是真正有效的备课，让学生通过一节课的学习能真正有所收获；第四，备课要做到备问题的提出与启发，高三复习课更应注重问题的启发性，让学生在课堂上能充分表达自己的想法；第五，备课要做好解决问题过程中一般策略的梳理与总结，课堂上引导学生总结之前，教师要先做好深入且全面的思考. 教师应在上每一节课之前都做充足的备课，让学生真正在有限的时间内更加有效地提升分析问题和解决问题的能力. 想要学生考前更轻松、高效，教师就得更加深入地做好研究，真正做到以教促学.

章建跃博士指出，备考的最后阶段需要注重的方面. 一要注重抓两头，要注重对高中数学基础知识的梳理，尤其是教材里的关键点，侧重知识的本质、联系与结构的梳理，对于每一个板块的知识要明确基本问题，对标高考试题，将一个复杂的综合性的高考问题化归为一个基本问题，并针对高考试题做针对性的训练. 二要注重在备考的最后阶段要以高考所强调的“一核”“四层”“四翼”为目标，针对学生的易错点、难点和基础等关键点开展复习教学. 在冲刺阶段还要做好“针对性”复习：① 选好题，经过反复琢磨和精选的题再让学生来解决，做“好问题”和“做好”问题比多做问题更重要；② 了解学情，对于学生的作业情况要了解到位，再在课堂上解决普遍性问题，个别问题个别指导；③ 做好考题分类，注重基础，加强综合，突破难点；④ 注重考试技能的训练，即思考、解题、表达的习惯培养，让学生学会多元联系表达. 多次强调最后冲刺阶段不要让学生盲目地解决问题，一定要让学生拥有更多自主学习时间.

三、结束语

“函数与不等式”一课不仅重视学生一般策略的形成过程，而且重视数形结合、转化与化归、分类讨论等数学思想方法的渗透，借助信息技术帮助学生拓展数学抽象与直观想象的空间，并回归与落实数学运算与逻辑推理素养. 教学对于冲刺阶段的高三复习课具有一定的指导性，如果课堂上的提问能够更加精炼与深入，真正落实“问题深化”，定能更好地帮助学生拓展思维的深度，从而促进学生学习的“持续”. 另外，结合学情，可以适当调节高三复习课的节奏，留出更充足的时间让学生可以充分地自主思考与表达问题探究的变式训练，通过“一题多变”和“一题多解”提升课堂的思维容量，培养学生数学思维的灵活性和敏捷性，充分体现数学的育人价值. 众所周知，数学是思维的科学，数学教学的核心任务之一是要培养学生的思维能力，教师自己要先理解数学内容的本质，成为善于思考者，把引导学生提出问题作为重要的教学内容，才能做好“思维的教学”.

参考文献：

［1］钟启泉. 核心素养十讲［M］. 福州：福建教育出版社，2018.

［2］章建跃. 章建跃数学教育随想录（上卷）［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.

［3］郭慧清，曾劲松.“函数的概念及其表示”教学设计、教学反思与点评［J］. 中学数学教学参考（上旬），2019（10）：25-35.

［4］刘炳辰. 落实单元教学，开展定向有序的数学探究：单元背景下“函数y = Asin（ωx + φ）的图象”教学设计、实践与反思［J］. 中国数学教育（高中版），2022（4）：28-35，47.