圆锥曲线的探索性问题研究

许斌

摘 要：圆锥曲线中的探索性问题具有开放性，对数学思维有较高的要求，此类问题要求考生结合条件进行探究、观察、分析、比较、概括等，其核心素养是数学运算.

关键词：圆锥曲线;探索性问题；数学运算

与圆锥曲线有关的探索性问题是高考命题的热点，直线或圆锥曲线运动变化时，点、直线、曲线之间的关联受到一定条件的制约，便产生了是否存在参数的成立问题，是否存在定点、定值问题，是否存在定轨迹等问题.研究过程注重与平面向量、函数、方程、不等式等知识的融合与渗透.

1 题形一：是否存在参数的成立问题

例1 如图，椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）经过点P1，3/2，离心率e=1/2，直线l的方程为x=4.

（1） 求椭圆C的方程；

（2） AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.

求定值问题常见的方法有两种：

（1） 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.

（2） 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

3 题型三：是否存在定轨迹问题（如定直线、圆等）

如何进一步探索直线与圆锥曲线位置关系的问题，关键是将他们的位置关系（形），转化为数量关系（数）的研究上来.在充分理解圆锥曲线知识的基础上，借助几何直观，以几何的论证推理为基础，建立适当的代数运算，形成严谨的解题思路，选用合理的运算去突破求解，从而解决定轨迹问题.

例3 已知椭圆E：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率是3/2，P为椭圆上的动点.当∠F1PF2取最大值时，△PF1F2的面积是3.

（1） 求椭圆E的方程；

（2） 若动直线l与椭圆E交于A，B两点，且恒有OA·OB=0，是否存在一个以原点O为圆心的定圆C，使得动直线l始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由.

所以n2+4n2=4，即n2=4/5，此时原点到直线l的距离d=25/5；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），

由x2/4+y2=1，

y=kx+m，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，

Δ=（8km）2-4（4k2+1）（4m2-4）=16（4k2-m2+1）＞0，x1+x2=-8km/4k2+1，x1x2=4m2-4/4k2+1，

則y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2·4m2-4/4k2+1+km·-8km/4k2+1+m2=m2-4k2/4k2+1，

由OA·OB=x1x2+y1y2=4m2-4/4k2+1+m2-4k2/4k2+1=5m2-4k2-4/4k2+1=0，可得5m2-4k2-4=0，

由直线l始终与定圆C相切，得原心O到直线l的距离d＝|m|/1+k2，可得k2+1=m2/d2.由5m2=4k2+4，可得r=d=25/5.

综上可得，定圆C的方程是x2+y2=4/5.

所以当OA·OB=0时，存在定圆C始终与直线l相切，圆C的方程是x2+y2=4/5.

解决圆锥曲线中的位置关系的探索性问题，一定不忘回归本源，从形到数，抓住位置关系中的结构问题，根据条件确定相应点的坐标、或曲线方程等.研究直线方程时不忘讨论斜率是否存在问题，解决探索性问题要注重化归与转化的思想.

参考文献：

［1］ 张敏.剖析圆锥曲线中的探索性问题［J］.中学生数理化（高考数学），2023（4）：26-27.

［2］ 罗超，沈翔.高中数学探索性问题［M］.上海：华东师范大学出版社，2005.