在“做数学”中培养学生的空间观念

饶正凯

［摘 要］空间观念主要是指一个人对物体或图形的形状、大小及位置关系的认识。培养学生的空间观念不是一蹴而就的，在发展学生空间观念的过程中，直观操作起到至关重要的作用。苏教版教材“观察物体”单元中的“动手做”栏目提供了丰富的素材，让学生在课堂上经历初始体验、矛盾体验、巅峰体验，以培养学生的空间观念。

［关键词］空间观念；立体图形；动手做

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2023）35-0069-04

一、开发背景

1.教材分析

空间观念是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中数学学科核心素养之一，主要是指一个人对物体或图形的形状、大小及位置关系的认识。空间观念是主体自身通过大脑思维而产生的一种空间想象力，其中，空间想象起着至关重要的作用。

相应地，苏教版教材安排的“观察物体”的内容，重点是引导学生从不同角度、不同方向观察活动，更加透彻地理解物体的特征，初步感受二维图形与三维物体的相互转化，进而培养学生初步的空间观念，为进一步认识图形、解决相关实际问题提供支持。

苏教版教材将“观察物体”内容分两次编排。

第一次，“观察物体”内容出现在二年级上册，侧重引导学生从不同角度观察日常生活中的场景或实物，让学生初步学会辨认从不同角度观察到的场景图片或实物图片。

第二次，“观察物体”内容出现在四年级上册，侧重引导学生从前面、侧面、上面观察一些简单的几何图形，初步感受三维物体与三视图之间的转换。值得一提的是，教材安排了三道例题之后，在单元末尾还安排了一次“动手做”活动，要求学生根据给出的三视图用5个同样大的正方体摆出相应的立体图形，侧重引导学生从不同角度体会三维物体与二维图形的转换。

这有助于学生逐步掌握观察方法、积累观察经验，学会辨认从不同方向看到的图形。教材的编排由易到难、由具体到抽象，符合学生的认知规律。关于“观察物体”的例题基本内容见表1。

2.学情分析

在学习有关“观察物体”的知识后，学生本应该可以依据物体的形状、大小及位置关系辨认从不同角度看到的物体的图片；能通过观察一个物体的前面、侧面、上面较为全面地描述该物体的几何特征；能辨认从不同方向看到的几何图形的形状或从同一个方向看到的不同几何图形的形状；能初步感知三维物体与二维图形的转换，体会物体与三视图的联系。

在日常教学中，笔者发现部分学生对三维物体与二维图形的转换过程难以理解。笔者认为，这是因为在平常学习的过程中，这些学生仅仅停留于观察层面，缺乏相应的活动和思考。培养学生的空间观念是需要坚持不懈的。在日常教学的过程中，笔者潜心研究，发现在培养学生空间观念的过程中，直观操作起到至关重要的作用。基于这样的思考，笔者在平时教学过程中注重利用教材中的“动手做”栏目设计教学活动——体与面的碰撞，以发展学生的空间观念。

二、案例透视

1.我回顾

师：图1是一个立体图形，我们能从哪几个方向观察这个立体图形？

生1：前面、上面、左面、右面。

师：从前面看到的图叫主视图，从上面看到的图叫俯视图，从左面看到的图叫左视图，从右面看到的图叫右视图。这是我们之前学过的知识，根据给出的立体图形画出它的三视图，其实就是化立体为平面的过程（板书：立体→平面）。那我们研究这样的立体图形的哪些特征呢？

生2：个数、体积、表面积。

2.我还原

师：如果给你某个立体图形的三视图（如图2），你能还原它原来的样子吗？

（四人为一组，进行小组合作，还原图形）

师：请这位同学介绍下自己摆放的过程。

生3：我是先确定俯视图，再根据其他两个角度的图进行调整得到的。

生4：我也是根据主视图先摆放的，然后根据另外两个图进行调整。

师：这两名同学都是根据一个角度的图先摆，再根据另外两个角度的图进行调整。其他同学摆放的结果有没有不一样的呢？

生5：没有。

师：看来根据三视图，我们只能摆出唯一的、确定的立体图形。

3.我探究

师：现在只给出两个图（如图3），你还能还原这个立体图形吗？

师：刚才大家摆出的图形肯定符合，还有没有其他摆法？

（展示学生不同的作品，教师验证）

师：图还是刚才的图，为什么立体图形的摆放方法不唯一了呢？

生6：因为少了一个图，所以有的地方可以多放，有的地方可以少放。

师：照这样下去，如果只给大家一个图呢？摆出的立体图形会怎样呢？

生7：会有很多种可能性。

师：欣欣找到了一个俯视图（如图4-1），悦悦在这幅图的基础上进行了加工（如图4-2），两者有什么区别吗？

生8：悦悦在上面加了数字。

师：你知道这些数字代表什么吗？标记数字的好处是什么呢？还原的图形是唯一的吗？这些问题都交给大家解决，开始吧！

（学生自主尝试，教师巡视，然后展示学生不同的作品，教师验证）

生9：其实，从标有数字的俯视图可以知道，从前面看（如图5-1），可以看到1+2+1+1=5（个）正方体；从右面看（如图5-2），可以看到1+2=3（个）正方体。

师：大家根据一个角度的图，摆出了唯一的一个立体图形。

师：欣欣又产生了这样的疑问——像这样标有数字的俯视图，可以帮助我们解决个数、体积、表面积这些问题吗？

生10：个数只需要数就可以了。

生11：体积也只需要數就可以了。

师：为什么个数和体积只要数就可以了？

生12：都是看个数。

小结：个数和体积的本质就是研究对象中包含多少个体积单位。

师：在解决表面积的过程中你有什么困惑吗？

生13：不好确定各个面的情况是什么。

4.我思考

师：看图6（一个立体图形的俯视图），大家想想这个立体图形的表面积是多少。

学生给出两种答案：38平方厘米和42平方厘米。

师：我们来还原一下立体图形。（课件演示）

5.我总结

师：回顾今天的学习，我们经历了哪些过程呢？在这些过程中你获得了哪些体验？

生14：今天我们研究的过程很丰富，从探究立体图形的三个过程（如图7），明白了只需知道一个标有数字的俯视图就可以还原立体图形。

三、设计意图

1.矛盾初现，引发思维转折

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔认为，数学教学方法的核心是学生的“再创造”，让学生在现实活动中通过自己的实践和思考去创造，去获取数学知识。在本课的开始，通过经历根据三视图、两个图和一个图还原立体图形的过程，学生理解了如果只有一个角度的图是无法将立体图形还原的，但教师将教材中常见的俯视图与特殊的“标有数字的俯视图”同屏展示，引发学生思考两者之间的区别，产生了思维的转折。有了这样的初始矛盾引发的思考，学生的思维出现了拐点，即只提供一个角度的图，的确可以将立体图形进行还原，但前提是“标有数字的俯视图”。另外，学生将“标有数字的俯視图”和立体图形的三维结构之间建立对应的联系，最后通过摆一摆，进一步体会“标有数字的俯视图”所蕴含的深度信息，感受这样的方式带来的好处，为接下来的自主思考和解决问题打下基础。

2.矛盾深化，促使思维进阶

我国数学教育家张奠宙先生认为，数学中到处都是变与不变的矛盾统一，万变不离其宗，而我们之所以研究这些变化，最终的目的是找到共同的本质特征。在学生理解了“标有数字的俯视图”的内涵之后，让学生用自己的方式计算立体图形体积及表面积的大小，在对比中感受到求体积和表面积的方法不是唯一的。初步感受到使用数字俯视图可以将平面转化成立体，将体积问题转化为求和问题，帮助学生完善空间图像，切实发展空间观念。特别是在研究立体图形表面积问题的过程中，明确只要知道上面、前面、右面3个面的面积再乘2就能计算图形的表面积。在该过程中教师适时追问，使学生在平面与立体之间、图形与数字之间来回比较，经历这样的过程后，学生不难发现，从上面看，只要将看到的数字加起来，就得出组成立体图形的小正方体的总个数，而从右面和前面看，不仅要明确方向，还要对数字进行比较，这一列（行）的数字是几，还要对从这一面看到的小正方体的个数进行考究。通过这样深化矛盾性的认识，产生了思维的进阶。

3.矛盾再现，抵达思维巅峰

我国数学家华罗庚认为，新的数学方法和概念，常常比解决数学问题更重要。在经历了利用“标有数字的俯视图”探究立体图形表面积计算的过程后，学生已经能熟练运用这样的方法进行计算，随即抛出“标有数字的俯视图”，这时大部分学生还是通过已有思路直接计算，计算的结果是38平方厘米，而少数学生想象出的结果是42平方厘米，从而再次引发矛盾，到底哪个结果是对的呢？教师适时引导学生还原立体图形，经过讨论、观察、对比不难发现，其实对于“标有数字的俯视图”，无论是采用直接计算的方法，还是观察已有的立体图形的三视图，都无法准确计算出立体图形表面积。这与学生之前的总结又有了矛盾，在这样的矛盾再现过程中，学生的空间想象力和空间观念达到了巅峰。

教师要充分利用教材中的操作活动素材，精心设计教学内容和环节，以问题引领学生深入思考问题，放手让学生动手操作，学生才能深刻理解“观察物体”的知识，从而发展空间观念。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 赵劲松.不同版本教材“观察物体”内容比较及教学启示[J].小学数学教育，2017（24）：13-15.

[3] 王金法.苏教版教材“观察物体”内容分析及教学建议[J].小学数学教育，2017（24）：6-8.

[4] 娄煜鹏.引进表征工具   导向高阶思维：《搭小正方体中的学问》教学思考与实践[J].小学教学设计，2022（11）：10-13.