大概念助素养落实 微项目促真实学习——以“多边形(一)”为例

赵 锋

(城南中学，浙江 乐清 325600)

大概念，由教育心理学家布鲁纳提出，他强调无论教师教授哪类学科，一定要使学生理解该学科的基本结构，有助于学生解决课堂内外遇到的问题.大概念能够理清学科知识结构，建构知识框架，形成学科系统观.《普通高中数学课程标准(2017年版)》也提到“重视以学科大概念为核心，使课程内容结构化，以主题为引领，使课程内容情境化，促进学科核心素养的落实”.大概念的“大”，不是指学科内容的丰富，知识分布的广泛，而是指学科知识的核心和基本结构[1].从数学学科角度看，大概念是数学知识、数学思想和数学方法的归纳和提炼，是研究数学对象的方法论，让学生学会用数学的方式观察、思考和表达世界.以大概念为核心的教学帮助学生理解数学知识的本质属性，认识数学知识内部的关联，建构数学知识框架和导图，从而激发学习内驱力，发展学科关键能力.

1 大概念的提取与分解

“多边形”是浙教版《数学》八年级下册平行四边形单元的章起始课，教材整章呈现了从多边形到四边形再到平行四边形的学习流程，其中“多边形(一)”介绍了多边形的定义和相关要素，再由一般到特殊的学习特征，着重讲解四边形的概念、相关要素、性质与应用，其研究思路、内容和方法对平行四边形的研究起到了引领和指导作用.多边形是在三角形的基础上通过增加边数得到的几何图形.学生经历过三角形知识的系统性学习，对三角形的研究思路和方法有深刻的了解，如从一般到特殊、从定性到定量、从元素到整体等，这些都是有较强迁移性的“大概念”，对多边形的学习具有指导意义[2].由上述分析可知，四边形教学应类比三角形的研究思路、内容和方法，以学科大概念为引领，搭建四边形的整体研究架构.

2 以大概念为核心的微项目化学习的设计与实施

美国巴克研究所认为项目化学习是一种系统的学习组织形式，学生通过经历事先精心设计的项目和一连串任务，在复杂、真实和充满问题的学习情境中持续探索和学习[3].项目化学习强调数学与现实的联系，在整个过程中完成核心知识再构建，实现低阶思维向高阶思维的转变，提升学生学习的主动性，使素养转化为持续的学习实践.但是一个完整的项目化学习要经历较长的过程(通常需要5～8课时或更久)，且学生有较广阔的知识面和较强的信息读取能力.为了避免这些局限性，笔者将项目化学习的理念和元素融入日常的课堂教学中，开展“微项目化学习”的探索，尝试形成以下学习路径：立足课程标准，确定课时目标；依托学科大概念，设置驱动性任务；经历学习实践，推进高阶认知；借助交流评价，发展关键能力(如图1).

图1

2.1 微项目化学习目标和教学任务

教学目标决定了课堂的教学方向，把握着课堂的教学命脉，是课堂教学中最核心的要素.本节课是“平行四边形”的起始课，承担着引领全章的作用.从学科大概念视角看，几何图形具有相似的研究思路、内容和方法，因此多边形可以先研究简单的情况即四边形，可以类比三角形的研究思路(四边形通过联结对角线转化为三角形).当四边形研究透彻后，便可继续类比研究五边形等，最后可推广到多边形，同时对四边形从边、角和对角线特殊化处理，进一步研究平行四边形和特殊平行四边形，基于此设计了表1的KUD学习目标.

表1 KUD学习目标

微项目化学习任务及教学流程如表2所示:

表2 微项目化学习任务及教学流程

2.2 微项目化学习实施过程和学生学习成果

2.2.1 驱动性问题引领，子任务拆解目标

教师提出驱动性任务：之前系统地学习三角形的相关知识，现在将三角形纸片剪一刀，它会变成哪些图形呢？对于新的几何图形可以从哪些角度研究呢？

学生操作后发现，一类是三角形和三角形，另一类是三角形和四边形.教师引导学生拆解驱动性问题：1)研究四边形的定义；2)研究四边形的性质.

教师提出研究三角形除了定义和性质外，还研究哪些内容？学生先独立思考回忆三角形的相关内容，再小组交流、汇总，形成三角形的研究思路图，教师提出:

子任务1画出四边形的研究思路图.

如图2，学生类比三角形画出四边形的研究思路.

图2

教学说明设置数学现实情境的驱动性问题，为解决问题提出了相应的任务.从三角形到四边形，体会研究几何图形方法的一致性，了解几何图形的基本研究思路，形成研究四边形的基本框架，对本节课的学习起到了引领、指向的作用.

2.2.2 小组合作交流，分享展示成果

子任务2研究四边形概念可拆解为以下3块内容:1)四边形的定义并画四边形；2)四边形的相关要素；3)四边形的分类.

小组1展示成果：类比三角形定义得到四边形的定义“由不在同一条直线上的4条线段首尾顺次相接形成的图形”，并画出如图3～5所示的3种四边形.

图3 图4 图5

师生活动教师让学生观察图5与图3、图4的结构不同，引导学生补充四边形的定义“4条线段互不相交(不交叉)”，同时教师提出问题：如果将图3的四边形沿着AB折上去(如图6和图7)，此时图形结构有什么变化？学生在教师的引导下，发现四边形由平面图形变成立体图形，有小组提出应该加上“在同一平面内”的前提条件，教师指出图6和图7都是四边形，但是初中阶段只研究平面图形，因此有必要添上前提条件，最终将四边形的定义补充完整.

图6 图7

小组2和小组3展示成果：类比三角形的相关要素，学生讨论交流得到四边形的相关要素.

师生活动教师肯定学生给出的相关要素定义，并引导学生发现三角形的3个顶点都是相邻的位置关系，而四边形的4个顶点除了有相邻的位置关系外，还有两组顶点是相对的位置关系，将不相邻的两个顶点联结形成新线段，补充四边形对角线的概念.学生根据图3～5对四边形进行分类，经过绘图、交流和讨论，从边、内角、对角线等分析两类图形的特征并分类，明确分类后图形名称——凸、凹四边形，并指出初中阶段只研究凸四边形，成果展示如图8所示.

图8

教学说明类比三角形的概念研究四边形的概念，通过小组的交流展示，发现四边形比三角形要复杂，不能“原封不动”地类比，需要对类比的结论进行补充与完善，借此发展学生批判的高阶思维能力.

2.2.3 类比猜想性质，提炼高阶思维

子任务3猜想并证明四边形的性质.

师生活动由之前学习经验的累积，学生容易想到从边、内角和对角线这3个方面类比三角形的性质研究四边形的性质.四边形边和内角的性质学生容易猜想并证明，教师引导学生从不同的角度证明内角的性质，经历性质的证明过程让学生感受到四边形问题可以转化为三角形问题.在猜想四边形对角线的性质时，通过作图促使学生关注到对角线将四边形分成两个三角形并且是三角形的其中一边，结合三角形边的关系，小组内经过思考、讨论、交流、验证最终得到四边形的对角线之和大于周长的一半且小于周长.

其中关于四边形内角的性质，各小组验证的方法多种多样，如：

方法1度量法.任意画一个四边形，量出4个内角再相加求内角和.

方法2拼合法.将两个三角形(有一边长度相等)拼在一起组成四边形，四边形内角和是两个三角形的内角和.

方法3分割法.将四边形分解成三角形计算内角和，在组内交流讨论后，发现有多种不同的分割方法，最后汇总展示如图9所示.

图9

惊喜的是小组讨论交流中还发现了利用平行线和补形的方法可证明内角性质.

教学说明从边、角和对角线这3个视角探究四边形的性质，向学生揭示几何图形各要素之间确定的位置关系、大小关系就是它的性质，对今后独立探究新的几何图形有重要的指导作用.

3 基于大概念的多元化评价设计

评价帮助学生了解课堂学习效果，促进教师教学反思和改进，是课堂教学不可或缺的过程.在“微项目化学习”中采用多元化的评价方式，通过评价反馈教学.

“微项目学习”可以采用结果性评价，设置相关的例题，通过开放式教学，帮助学生巩固知识，例如设置开放性例题，从条件难易度、完成情况、解法多样性等角度实施生生自评、教师终评.

例1如图10，在四边形风筝的4个内角中，∠A，∠B，∠D的度数之比为1∶1∶1，请你添加一个条件，求出4个内角的度数.

图10

同时教师引入诊断性评价，针对学生的学习作出反馈和建议，为学生未来的学习指引方向(见表3).

表3 诊断性评价

4 大概念视域下的教学思考

4.1 依托学科大概念，促进知识结构化

传统的课堂教学让学生学习大量不连贯的、碎片化的事实、原理、公式等内容，而大概念指向数学核心知识，帮助学生认清知识本质，对数学知识与内容具有统摄作用，指明学生学习的方向.针对不同的教学内容，根据课程标准确定核心知识，在数学系统观下构筑知识框架，深度挖掘教学价值和意义，最终确立大概念，借助大概念统领知识，理解其结构与脉络，能进一步完成知识的迁移、创新与应用.例如类比三角形形成四边形研究的框架，确定几何图形的研究思路，在研究多边形的性质时，感受“几何元素之间确定的位置关系、大小关系就是几何性质”的大概念，体会几何性质的发现之道.从零散的认知到系统的思考，让学生从学会走向会学，并最终迁移和应用到其他几何图形的学习中.

4.2 融合体验微项目，催生课堂微变革

在教师讲授型课堂中，学生能步步紧跟课堂的步伐落实基础知识，但对知识只是做到“就事论事”的地步，缺乏探索、创新和应用意识的培养.微项目化学习是在课堂中为学生提供一定时段的探索性项目任务，根据教学目标设置合理的项目任务，把教师的“教”转变为学生的自主探索、思考.教师设置的“问题串”转变为学生组内的合作、批判、交流和总结，教师的板书、讲授转变为学生的自我展示.这是以“学”为中心的课堂教学变革，为学生创造轻松、真实、探索的课堂氛围，从而促进课堂中的学习真正发生.

4.3 多元评价新导向，深度反思向未来

对于教师而言，评价可以帮助教师诊断课堂教学效果，及时调整、改进教学方案；对于学生而言，评价可以让学生了解知识的掌握程度以及课堂学习情况;就数学学科而言，多元化评价应当强调主体多元化、内容多维化以及形式多样化.比如在本节课中，对教材例题采取开放式的改编和变式，看似随意添加条件求角度，实则需要考虑是否符合实际情况等因素，学生可以通过例题检测核心知识的掌握情况，促进学生思维的发散和关注知识本质的聚焦.同时，引入表格式的诊断性评价有助于学生及时反思本节课的知识和能力获取进度，也帮助教师了解每位学生的学习情况和自我评价，为学生的“学”和教师的“教”指引了未来的方向.