基于核心素养教学理念的教学设计——以“连续自然数平方的求和公式”为例

吴京霖， 丁祥芝， 王宽明

(贵州师范大学数学科学学院，贵州 贵阳 550025)

1 问题提出

“连续自然数平方的求和公式”是2020年版人教版教材中的选择性必修内容，出现于数列的数学归纳法部分，以结论的形式直接给出，不像其他例题让学生经历猜想、验证后再用数学归纳法证明[1].如此安排有两点原因：一是连续自然数平方的求和与等差、等比数列差异较大，求和方法上没有共通之处，因此仅将其安排在数学归纳法部分，运用数学归纳法证明；二是由于连续自然数平方的求和结果的形式结构较为复杂，学生无法直接猜想其可能的形式.如此安排虽然可以解决上述两个问题，但也产生了新的问题：首先，以发展学生数学学科核心素养的课程目标下，数学公式的教学应让学生经历猜想、发现、验证、归纳等过程，而非以知识灌输为目的，教材中例题的设计缺乏让学生经历对问题的发现和猜想过程，可能导致学生对公式的理解存在不足[2]；其次，连续自然数平方的求和问题的猜想过程为“连续自然数乘积的求和问题”“连续自然数立方的求和问题”的解决提供了重要思考方向.2022年全国数学新高考Ⅰ卷数列题就是以连续自然数之积的求和公式为背景进行命题，考查学生数列问题中的猜想、归纳能力.由此可见，连续自然数平方的求和公式虽然仅作为选学内容，但其蕴涵的数学思想方法具有重大价值.综上所述，本研究尝试从学生的知识水平出发，探究是否存在符合学生知识水平下的猜想方式，并结合核心素养的教学理念给出相应的教学设计.

2 猜想路径分析

连续自然数平方的求和问题可以表示为Tn=12+22+…+n2.从结构上看求和通项an=n2，形式虽然简单，但并非学生所掌握的等差或等比公式，因此在教学过程可以先引导学生应用倒序求和法、错位相减法等进行尝试，加深对倒序求和法、错位相减法的本质理解，同时也为引出数学归纳法做好铺垫.学生在经历求和方法的类比尝试失败后，会回归更加一般的方法，即写出数列的前几项来发现规律(见表1).

表1 {Tn}的前5项

从表1可知，数字虽然整体上呈现递增的趋势，但是很难发现其中的规律，尝试再次失败.观察Tn=12+22+…+n2，教师引导学生思考：它既然是连续自然数平方的求和，不妨把连续自然数的求和(记Sn=1+2+…+n)列出来，观察是否存在某种联系[3].

表2 {Sn},{Tn}的前5项

表3 的前5项

表4 {Sn}与{Pn}的前5项

此外，对于连续自然数的立方和也可以按照上述猜想方法进行.记Kn=13+23+…+n3，将{Sn}与{Kn}的前5项列表(见表5)：

表5 {Sn}与{Kn}的前5项

通过上述分析发现，引入连续自然数的求和结果作为对比，可以很快猜想出连续自然数平方和、立方和以及乘积和，猜想方法具有很好的迁移性，且思维程度并不算高，可以作为进行数学归纳法证明连续自然数平方和的猜想方法对学生加以指导，提高学生猜想、发现数学结论的能力，发展学生的创新意识.

3 教学设计

核心素养教学理念的核心之处在于让学生经历知识产生的探究过程，并在知识探究的过程中经历“发现—猜想—验证—证明”等环节，发展学生的数学核心素养，让数学知识由冰冷的皇冠转化为火热的思考.经过上述猜想路径的分析，连续自然数平方的求和公式存在可以让学生进行猜想发现的路径.因此，基于上述路径以发展学生的猜想、验证、证明能力为目的进行教学设计.

3.1 环节1：创设情境，发现问题

师：同学们，观察图1，思考两个问题：第n个图形中有多少个小正方形？n个图形中一共有多少个正方形？尝试用数学表达式表述上面的问题.

图1 问题情境图

生1：第n个图形中有n2个正方形，它们共有12+22+…+n2个正方形.

设计意图连续自然数的平方和的结果又称为“四棱锥数”.通过创设情境，让学生抽象出数学问题，教师适当进行学法的指导，更有利于学生良好学习习惯的养成.

3.2 环节2：类比联想，试错探究

师：这个求和表达式熟悉吗？和我们学过的什么知识有联系呢？

生2：有点像等差数列，但是多了个平方.

师：很好!请大家尝试用学过的求和方法进行求解，给大家5分钟的时间.

师：时间到，有同学求出结果了吗？

生(众)：没有！

师：那你们有何想法或思路吗？

生3：我用了倒序求和法来求，但是它们配对的和不相等.

生4：我是用错位相减法来求，但是想不到要乘哪个数.

师：虽然未能做出结果，但是你们能学以致用，很好！前面我们所学的求和方法是有限制条件的，不满足条件的情况下是求不出结果的.

生5：那该怎么做呢？

师：能否通过找规律进行求解呢？

生6：1，5，14，30，55，…，写出前几项后看不出有什么规律.

设计意图启发式教学的关键在于“不愤不启，不悱不发”.在数学教学中，让学生对问题进行尝试，发现问题的难点后，教师再适当点拨，可以让学生有“柳暗花明”之感，感受数学的魅力，提升数学学习的兴趣[4].

3.3 环节3：适当点拨，思维碰撞

师：数学知识间普遍存在着联系，通过掌握的知识去探索那些未知的知识是学习数学的重要方法.从形式上看，这与求连续n个自然数的和有一定的相似性，我们可以尝试把前5项通过列表的形式展现，观察数字间是否存在一定的规律(小组合作讨论).

师：你们能把这个发现写成一般的表达式吗？

师：Sn是什么？这对求Tn有帮助吗？

师：这个结果对吗？请验证一下.

生9：对的，把n从1取到5，结果和列表得到的结果是一致的.

设计意图数学探究过程是发展数学学科核心素养的重要环节.通过小组合作的形式，让学生集思广益，在不断的思考和尝试中发现隐藏在数字背后的规律，发展学生的数学猜想能力.

3.4 环节4：猜非为真，严谨论证

师：这个结果只是我们在有限项里发现的结论，你能将这个猜想进行证明吗？

生10：可以用数学归纳法进行证明.先假定当n=k时成立，然后再看当n=k+1时是否成立.如果成立，那么由k的一般性可知结论成立.

(证明略.)

设计意图数学猜想的结果是否正确需要严谨的论证，让学生经历证明自己数学猜想的过程，培养学生的逻辑推理能力，发展学生的理性精神和科学态度.

3.5 环节5：类比迁移，感悟方法

师：连续自然数的平方和我们称之为“四棱锥数”.自然地，我们还有“三棱锥数”“五棱锥数”等，请大家翻开课本的复习参考题中拓广探究问题第13题，你能用刚才领悟的方法解决这个问题吗？

生11：使用的方法是一样的吗？

师：回顾一下，刚才我们是如何探索得到新方法的？

生12：我们是先观察，再猜想，最后证明.

师：对！探究一个数学问题前，我们往往不知道具体使用什么方法适合，可以不断地去尝试、去探索，这也正是数学的魅力.

设计意图类比迁移是发现数学知识的重要思想方法，学生在掌握“四棱锥数”之后，引导学生积极运用掌握的猜想方法去发现“三棱锥数”，培养学生的类比思想方法，发展学生的数学创新意识.

3.6 环节6：课堂小结，提炼思想

师：通过这节课，同学们了解了发现数学结论的方法，能说说你们的收获吗？

生13：我认为最大的收获是原来数学知识是这样发现的，仔细地观察，提出猜想，验证它,证明它.数学真的好有趣！

设计意图让学生回顾整个知识探究的过程，提炼数学思想方法，为探究新的问题奠定良好的基础，加深学生对知识的记忆和方法的掌握.

3.7 环节7：开放作业，减负增效

师：我们解决了连续自然数的和、连续自然数的乘积和、连续自然数的平方和，那么连续自然数的立方和该怎么求呢？请同学们把思考过程写成数学日记.

设计意图通过数学日记的形式不仅可以让学生在课外深度运用课堂的知识和方法，教师还可以从数学日记中发现学生思维上的优点和不足，避免无效的题海战术，落实“减负增效”[5].

4 结语

通过学生的视角分析其探究的可能路径，发现引入连续自然数之和作为对比，可以让学生比较轻松地对求和公式进行猜想.根据该猜想路径，开发了基于核心素养教学理念的连续自然数平方的求和公式教学设计.本文研究的意义在于一方面可以弥补教材中的不足，另一方面也为如何培养学生的猜想能力提供一定的参考.