夯实基础知识 加强思维训练——一道解三角形题的探究剖析与教学思考

张 莉, 余树宝

(1.合肥师范学院数学与统计学院,安徽 合肥 230601；2.合肥工业大学附属中学,安徽 合肥 230009)

解三角形是高中数学重点内容之一.兼具高考指导性的《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《新课标》)中,对“解三角形”内容做了如下的要求：借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理；能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.为此,历年高考对解三角形知识主要着眼于余弦定理、正弦定理的应用,同时伴随着考查三角函数的相关知识,如三角函数的图像与性质、三角公式(四大公式：诱导公式、同角三角函数基本关系式、两角和与差公式、二倍角公式及其变形后的辅助角公式和降次公式)等,问题指向于解决一些有关三角形边与角的值、面积、周长及形状判定等方面.另外,在问题解决的过程中,突出考查学生的转化与化归、函数与方程、数与形结合等数学思想,考查学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等学科素养.因此,高考解三角形题对学生的必备知识、关键能力以及学科素养等方面还是有较高的要求.

针对这一重要考点,笔者近日对一道高考题展开教学,谈谈自己的教学过程、设计意图以及教学思考.

1 真题呈现

例1记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

1)证明：2a2=b2+c2；

(2022年全国数学高考乙卷第17题)

2 试题分析

这是一道综合性问题,属于探索创新试题，主要考查正弦定理、余弦定理、两角差的正弦公式等必备知识,考查学生的逻辑推理与运算求解等关键能力,考查学生的理性思维、数学探究等学科素养.在问题解决中,要求学生能灵活运用转化与化归、函数与方程等数学思想方法.

试题第2)小题,在已知a的前提下,要求△ABC的周长,只需求出b,c或b+c.为此,本题的解题路径就是由第1)小题可知b2+c2=2a2=50,再由余弦定理便能够得到关于b,c的又一个方程,联立两式解方程可得b,c或b+c的值,从而得到△ABC的周长.

3 教学设计

问题是数学的心脏.本课基于问题情境,开展启发式、互动式、探究式的教学活动,发展学生的逻辑推理、数学运算等核心素养.

3.1 边角互换证明等式

问题1观察已知条件和目标等式,你能发现什么？

学生能够发现已知条件是一个关于角的等式,而我们要证明的等式是一个关于边的等式.

师(追问)：那么关于角和边的互换,我们通常会用到什么数学知识呢？

学生能够很容易想到正弦定理和余弦定理在边角互换中的作用,由此教师可引导学生回顾正弦定理、余弦定理及其变形后的若干公式.

设计意图引导学生观察题目所给条件与目标等式之间的关系,培养并提高学生发现与提出问题、分析与解决问题的能力.引导学生回忆所学知识,加深对正弦定理和余弦定理的理解,形成完整的知识体系.

问题2如何用正弦定理和余弦定理来实现“化角为边”呢？

学生先独立思考,尝试进行证明,教师巡视并加以引导.

教师引导学生观察式子sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)并发现sin(A-B)与sin(C-A)无法实现“化角为边”,只能利用两角差的正弦公式对式子进行展开化为“单角”的正、余弦值,于是原式可化为

sinAcosBsinC+sinAsinBcosC=2cosAsinBsinC.

展开之后会发现,等式两边的每一项都有齐次的内角正弦值,此时可利用正弦定理把这些正弦值全部化成所对应的边,整理可得

accosB+abcosC=2bccosA.

接着提醒学生再观察这个式子与目标等式有什么不同？不难发现,只需利用余弦定理的变式,可再一次实现“化角为边”,最后通过化简证得2a2=b2+c2.

教师在巡视中发现有些学生在对sin(A-B)与sin(C-A)展开之后,便不知该何去何从.究其思路，受阻原因主要有两个：一是等式复杂,运算能力不强；二是方向不明,解题信心不足.

教师要求学生书写解答过程,并进行展示、点评.

设计意图旨在引导学生破解问题解决的策略,积累数学解题经验,提高学生的逻辑推理和运算求解能力.同时通过完成解答过程,提高学生的语言表达能力和规范答题能力.正如史宁中教授所说：“数学教学的最终目标,是要让学习者会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界,会用数学的语言表达现实世界.”而数学的眼光就是抽象,数学的思维就是推理,数学的语言就是模型.

问题3例1还有其他的解法吗？

教师一定要相信,学生的思维是活跃的、积极的、开放的、多样的.

一番讨论后,有学生发现：得到

sinAcosBsinC+sinAsinBcosC=2cosAsinAsinC

后,等式左边合并同类项可得

sinA(cosBsinC+sinBcosC),

括号里又可以利用三角恒等变换公式，得

sinAsin(B+C)=2cosAsinBsinC.

根据三角形内角和定理可得

sin(B+C)=sinA,

于是

sin2A=2sinBsinCcosA,

此式两边同样是齐次的正弦值,于是由正弦定理得

a2=2bccosA,

再由余弦定理得a2=2bccosA=b2+c2-a2,

从而

2a2=b2+c2.

相比前一种解法,运算量大大减少,值得肯定.

还有学生认为,没必要对sin(A-B)与sin(C-A)进行展开,条件可化为

sin(A+B)sin(A-B)=sin(C+A)sin(C-A),

利用积化和差公式得

即

cos 2B+cos 2C=2cos 2A,

从而

1-2sin2B+1-2sin2C=2(1-2sin2A),

于是

sin2B+sin2C=2sin2A,

利用正弦定理得

2a2=b2+c2.

该解法得到了全班同学的赞赏，同时也引发了学生的反思.三角公式不仅有我们常说的“四大公式”,其实课本例题、习题中还有半角公式、和差化积公式、积化和差公式,但并没有引起大多学生的重视,适时灵活选用这些公式,对丰富解题路径、简化解题过程、提高解题效率非常重要.

探究1sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B)成立吗？

此式叫做正弦平方差公式.引导学生证明此式,可得sin(A+B)sin(A-B)=sin(C+A)sin(C-A),从而sin2A-sin2B=sin2C-sin2A,再利用正弦定理“化角为边”也可得到目标等式.

设计意图教师引导学生通过多种方法来解决问题,开拓学生的思维,提高学生分析问题、解决问题的能力,发展学生数学抽象、逻辑推理和数学运算等学科素养.通过让学生独立写出完整的解题过程,培养学生独立思考、自主学习的意识.

3.2 建立方程求解周长

问题4如何求△ABC的周长？能分别求出b和c的值吗？

教师引导学生分析：要求△ABC的周长,只需要分别求出b和c即可,也就需要得到一个关于b,c的方程组.

于是△ABC的周长为a+b+c=14.

设计意图通性通法是解决高考试题的主要方法和基本要求,一味追求解题技巧是不值得提倡的.设计此问题,旨在引导学生重视方程思想在求未知量的普适作用.

问题5对于求△ABC的周长,不需要分别求出b和c的长度,只需要求出b+c的值即可.此题能直接求出b+c的值吗？

设计意图旨在引导学生在数学运算时要有整体性思想,这对简化运算过程、提高运算速度非常重要.另外,引导学生通过逆向思维、带着问题找答案、寻找解决问题办法的方式,能够培养学生数学逻辑推理能力.

4 教学思考

4.1 注重基础知识的掌握

巧妇难为无米之炊.对于数学学习者来说,首要任务是要理解并牢记数学基础知识,在此基础上练就基础技能,领会基本思想,积累基本活动经验.纵观近几年的高考试题,不难发现,高考在考查综合性、应用性、创新性的同时,更加强调并考查数学的基础性.基础知识来源于课本,这就要求教师在教学中要回归课本、回顾知识,加深学生对数学基本概念的发现、发生与发展的理解,深入研究教材中例题和习题的题型与解法,让学生领会每一个数学基础知识的作用和价值.另外,教师还可以运用思维导图或结构框图帮助学生对基础知识进行梳理,形成完整的知识网络体系,帮助学生更好地理解知识,体会知识之间的联系.

4.2 注重学生思维的训练

如果说基础知识是“硬件”的话,那么解题思维就是“软件”,掌握了基础知识,还必须要学会灵活应用基础知识分析和解决问题.《新课标》中提出“把握数学核心概念的本质,明晰什么是数学的通性通法”.为此,教师要向学生强调数学问题解决的基本方法即通性通法在解题中的重要性.在开展问题教学的过程中,建议教师注重学生思维上的训练,以问题为导向,采取启发式、互动式或探究式的教学方法,引导学生思考交流,指导学生总结解决每一类问题的基本方法和策略.与此同时,还要重视培养学生多角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力,加强一题多解、多题一解、一题多变、多点归纳的教学.

4.3 注重学生解题的规范

《新课标》中提出：在教学过程中,引导学生会用数学的眼光观察现象、发现问题,使用恰当的数学语言描述问题.因此,教师要加强对学生数学语言表达能力的训练,尤其是书面表达能力.高考中经常会出现考生在答题时审题不仔细、考虑问题不全面、对基础知识应用不熟练、过程表述不严谨、书写格式不工整等现象,造成一些不必要的丢分.在课堂教学中,教师一方面要做好解答过程书写的板书示范,另一方面要做好学生的规范解题过程的指导和训练,要向学生强调高考规范答题的重要性,教育学生在解题过程中语言表达要条理清晰、语句简洁、自然流畅,要有较强的逻辑性、严谨性、规范性.