掌握“三关” 理解“三会”
——《义务教育数学课程标准(2022年版)》“核心素养构成”读后感

2023-02-18 01:29余继光

中学教研(数学) 2023年2期

余继光

(柯桥中学,浙江绍兴 312030)

1995年数学应用问题走进高考数学命题，2003年新的数学课程改革将实际问题中的现实情境大量地进入数学教材，《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《课标》)把数学应用的两大支柱(数学建模、数据处理)作为数学学科的核心素养，“三会”的理念成为数学基础教育落实的现实需要．学习《课标》后，2019年4月笔者在《数学教学》杂志上发表的《“用数学的眼光看世界”的思考》，描述“用数学的眼光看世界”教育理念的内涵与外延．2022年4月，重新修订的《义务教育数学课程标准(2022年版)》出版，教育与教材专家再次审视“三会”的教育理念，在《课标》中提出“三会”(数学课程要培养学生的核心素养，主要包括以下3个方面：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，简称“三会”)基础上，将“三会”作为培养义务教育阶段学生的数学核心素养，目标在于养育学生的实践能力与创新意识．

1 什么是作为数学核心素养的“三会”

为什么数学教育要提出“三会”？一是站在世界数学基础教育的视野里思考；二是站在现代科技人工智能大数据的视野里思考；三是站在学生数学核心素养的视野里思考；四是掌握核心科学技术的必然要求；五是养育数学探究的实践能力和创新意识的急切要求，这是社会人基本素养的时代要求[1].

《义务教育数学课程标准(2022年版)》中，“三会”具体表现为数学应用意识(用数学知识解决现实问题的意识)、数学建模意识(深入剖析现实情境中数学模型的意识)与能力等方面.要掌握“三会”，必须进行“三关”训练，即事理关，明白问题中现实情境说了一件什么事，学会建模分析；文理关，即阅读理解关，一般现实情境的文字阅读量都比较大，通过阅读找出关键词和关键句，并理解其意义；数理关，对建立的数学模型，会用恰当的数学方法去解．这一数学学科核心素养从义务教育阶段开始，与高中数学教育无缝衔接[2]．

《课标)》中指出，“提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界；促进学生数学思维能力、实践能力和创新意识的发展”，《义务教育数学课程标准(2022年版)》中提出的“三会”是《课标》中“三会”的子集，因为“现实世界”是“世界”的子集；也是针对义务教育阶段学生的认知水平确定的，表述更加科学、准确、具体、全面．

“三会”的教学目标要求落实数学教学的“五性”：

1)基础性.“数学的眼光”在于用数学的概念、方法去观察和理解现实世界中的一些现象；“数学的思维”在于先学好数学基础知识与思维方法；“数学的语言”在于初步掌握数学的文字语言、图形语言、符号语言，这是前提，是基础.义务教育阶段的数学教学离不开这一根本，一线讲台上数学教学不能本末倒置，没有数学的知识与方法无法建立起数学的眼光．

2)实践性.很多学生学习数学不知道干什么？从实践意义上说，“三会”告诉人们：数学可以帮助或提升用数学的思想方法去观察、思考、表达现实世界.从古至今，无数的案例说明了这一点，数学的知识与方法来自现实世界，学习者掌握数学方法后，还是要用数学思想解决现实情境问题，回到现实问题中去．

3)科学性.“三会”必须建立在科学的基础上，符合科学性即现实世界中具有数理逻辑的现实情境可以挖掘、表述，用数学的文字语言、符号语言、图形语言进行表达，不论是观察，还是思考，语言表达都必须建立在符合数学逻辑思维的前提下．

4)创新性.数学知识、方法与思想是创新的“物质基础”，人工智能的创新算法离不开数学的“三会”；现实情境中的数学问题离不开创新解法；数学应用题的求解离不开创新思维.

5)人文性.数学教育的功能体现在两大方面，除了知识还有情感.“三会”所掌握的数学思想与方法，充分体现了学生运用数学知识分析问题、解决问题能力的检验功能.与此同时，密切结合我国社会主义市场经济的背景和有关人口、土地、资源、环保等问题情境编制的数学应用题，通过数学解题对学生进行国情教育，充分体现应用题的教育功能，渗透数学建模思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、最优化思想等[2]．

2 小学生或初中生能进行“三会”吗

案例1在电子游戏中养育儿童的“数感”.

电脑中有“搞怪碰碰球”软件，五颜六色，每串起同色的5个球后，分数栏会增加10分；串起同色6个球，会增加15分；串起同色7个球，会增加20分；串起同色8个球，会增加25分；串起同色9个球，会增加30分.幼儿园中班的儿童在玩“搞怪碰碰球”时，每串起一串同色球，根据所连一串球的个数，能够说出分数栏中将要显示的数字，可见儿童在用数学眼光观察游戏时，已经将数字加法应用其中了．

2.1 义务教育数学教材中的现实案例能说明

在教与学中，数学教科书中的现实情境是数学概念与原理的来源之地、应用之地，教师通过“教”的程序——现实情境中的问题，抽象出数学概念与方法；学生通过“学”的路径——阅读问题的现实情境，了解数学概念的源，理解数学概念的内涵与外延，学会用数学的眼光、思维去思考问题．

案例2以函数概念教学为例.

首先给出5个不同的问题情境，突出问题中的变化过程，关注其中的一些变量的变化规律，突出分析变量及变量的关系，一步步抽象出“函数”概念的变量说.实际教学中在“三会”理念引领学生突破三关：

1)事理关.首先阅读教科书第94页的5个问题情境，了解每个问题情境中的变量是什么、变化过程是什么．

2)文理关.通过阅读，发现每个问题情境中的关键词有哪些？它们之间的联系如何？

3)数理关.在变化过程中，当一个变量取值后，按照这种联系或者依赖关系，另一个变量的取值可以唯一确定，每一组变量间的变化规律可以用变量式子来表达．

学生通过这三关的梳理，在脑海中初步形成一个概念，即变量x与变量y之间具有某种依赖关系，这个关系可以用一个式子来表达，此时给出函数定义的描述就水到渠成了．

2.2 中考数学命题中的“数学应用题”能说明

在测与评中，中考数学命题中的“数学应用题”已成为“必打卡”，题量足，创新足，而且数学问题情境贴近现实，贴近科学，贴近学生的认知发展区，这些说明初中数学教学已经非常重视培养学生的数学应用意识，于是新课标“三会”自然融入，水到渠成．

案例3以2021年浙江省绍兴市数学中考试卷为例.

例1Ⅰ号无人机从海拔10 m处出发，以10 m/min的速度匀速上升，Ⅱ号无人机从海拔30 m处出发，以a(m/min)的速度匀速上升，经过5 min两架无人机位于同一海拔高度b(m)，无人机海拔高度y(m)与时间x(min)的关系如图1，两架无人机都上升了15 min.

图1

1)求b的值及Ⅱ号无人机海拔高度y(m)与时间x(min)的关系式；

2)问无人机上升了多少时间，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28 m．

(2021年浙江省绍兴市数学中考试题第19题)

三关训练解析：

1)事理关:首先要快速阅读150字加一幅图，知道问题背景在说些什么，至少要知道“海拔高度”“飞行速度”“匀速上升”等文字的含义.虽然情境贴近现实，但如果平时没有接触或学习，没有应用意识，那么这一关难过.

2)文理关：在阅读中，必须理解文字“海拔高度”“飞行速度”“匀速上升”等的数学意义与关系，抓住与数量关系有联系的关键词，如果抓不住或抓漏了，那么这一关也难过.

3)数理关:数学应用问题的关键是其内涵的数学模型，即各关键量之间的数量关系，尤其是看懂给定的函数图像.此题是一次函数模型，涉及两个一次函数，且含有参数，如果不能把握“海拔高度”“飞行速度”“时间”之间的数量关系，那么这一关也很难通过．

经过数学应用意识的养育，大多数学生已经储备了三会的意识与能力，过三关能力逐步提高，此问题的得分率也会比较高．

又如，第20题以智能操作机器人为背景，用数学眼光观察其几何图形，挖掘其几何特征，研究其性质：

例2拓展小组研制的智能操作机器人，如图2，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50 cm，连杆BC的长度为70 cm，手臂CD的长度为60 cm，点B，C是转动点，且AB，BC，CD始终在同一平面内.

图2 图3

1)转动边杆BC和手臂CD，使∠ABC=143°，CD∥l，如图3，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长(精确到1 cm，参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6).

2)物品在操作台l上，距离底座A端110 cm的点M处，转动边杆BC，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由.

(2021年浙江省绍兴市数学中考试题第20题)

三关训练解析：

1)事理关：首先要快速阅读180字加两幅图，知道问题背景在说些什么，特别是看懂几何图形.问题前置的背景介绍，主要是智能操作机器人的几何构造.注意到B，C是转动点，具有数学眼光的应试者可通过点B,C快速进入问题的现实情境.

2)文理关：阅读中抓住问题的关键词.如水平操作台——直线、底座——线段AB(固定)、转动边杆——线段BC(可以转动)、手臂——线段CD(可以转动)，它们在同一平面内.这些词必须掌握，这一关才能通过.

3)数理关：目标问题1)就是一个平面几何问题，在前两关通过之下，这一个问题是比较容易越过的；目标问题2)是一个几何探究问题，必须把握点C，D的变化规律，当点B，C，D共线时，手臂伸展最长，利用勾股定理计算最长时的长度，才能判断问题能与否.

此类问题的现实情境还是比较多的，比如幼儿园内幼儿玩的机械玩具、建筑工地的挖掘机等，具有应用意识的学生，才能迅速把握问题情境的数学本质.

3 义务教育数学教学如何发展学生的“三会”素养

3.1 小学阶段数学“三会”突出“数感”“量感”“图感”

“数感”“量感”“图感(平面图与空间图)”等是学生在数学学习从直观到抽象过程中逐步形成的，是数学学习的基础，成为三会的基础部分．

案例4猜一猜骰子(正方体)背面的数字(小学一、二年级).

例3小明从不同的位置观察一个正方体，正方体的6个面上分别标着数字1，2，3，4，5，6，观察结果如图4所示：

图4

请你猜一猜：1的对面数字是______;2的对面数字是______；3的对面数字是______.

具体做法：同桌两位同学，一位同学手持一枚骰子，另一同学眼睛蒙上.从3个不同方向观察，画出正方体直观图，标注所观察到的数字，然后请另一位同学猜一猜每幅直观图中背面的数字.猜数字的同学可能会遇到思维障碍：根据正方体直观图所标数字，缺少推理与破解思路，教师给予引导，给出具体操作方法．

操作步骤(如图5)：

图5

1)画正方体展开图：选一张纸，长∶宽=4∶3，折一折(矩形宽三等份、长四等份);

2)剪一剪(见正方体的展开图)；

3)标一标(根据给定的直观图摆放信息在展开图上标数字)；

4)判一判(对面数字)，然后根据给定的摆放信息，在正方体展开图中标出；

5)看一看，把正方体展开图折成正方体，对照图形就可以判断所问数字对面所对数字是几；

6)猜测结论：1的对面是6，2的对面是4，3的对面是5．

以上案例中三关训练解析：

1)事理关：学生观察阅读直观图，看懂图形中已知的数字信息，知道要做一件什么事；

2)文理关：了解问题需要做什么，猜测正方体背面的数字；

3)数理关：通过动手制作展开图来推测正方体背面的数字．

对照“三会”，对低年级小学生来说，骰子是日常生活中可见的物品，用数学的眼光去观察，提出一个有数学意义的体现“数感与空间感”的数学问题，学生通过动手和动脑完成数学思维，并用数学的语言表示．

3.2 初中阶段数学“三会”突出“变量感”“符号感”“数据感”，提升三会的含金量

“变量感”“符号感”“数据感”等是数学学习的丰富拓展，“三会”是“桥”，不同的“桥”含金量不同，它为高中直至大学的数学学习形成数学建模能力奠定基石．

案例5数字计算中算法的变量意识.

例4计算

(不能用计算器).

观察数字发现每个因子都是x4+64，能构造变量关系式寻找计算途径吗？

首先，次数能降低吗？联想

x3+64=(x+4)(x2-4x+16),

从结构上猜想

x4+64=(x2+4+4)(x2+4+4)，

这显然不等.进一步尝试

x4+64=(x2-4x+4+4)(x2+4x+4+4)，

算法找到了，成功了！

x4+64=[(x-2)2+4][(x+2)2+4]，

于是

34+64=(12+4)(52+4)，

74+64=(52+4)(92+4)，

114+64=(92+4)(132+4)，

154+64=(132+4)(172+4)，

194+64=(172+4)(212+4)，

234+64=(212+4)(252+4)，

274+64=(252+4)(292+4)，

314+64=(292+4)(332+4)，

代入约分，可得

三关训练解析：

1)事理关：观察每一个括号内的数字和结构特征x4+64，明白要做什么事；

2)文理关：阅读思考如何将x4+64进行转化，联想x3+64的公式；

3)数理关：公式探究，由x3+64=(x+4)(x2-4x+16)的结构进行拓展尝试．

这一寻找创新算法的过程，犹如数学研究规律探寻中的“化学”实验，不断改变“配方”查看运算效果．

案例6相似原理的现实情境.

例5小明到上海旅游，站在外滩观看黄浦江对岸的“东方明珠电视塔”.为了估计塔的高度，他用随身携带的135变焦镜头照相机.在第一拍摄点用焦距a拍了一张纵幅照片；然后，他沿着塔的方向前进了c米，在第二拍摄点用焦距b拍了一张横幅照片.若塔顶和塔底正好与照片的上下底边吻合，试确定塔的高度及第一拍摄点与塔的水平距离(135底片尺寸为36 mm×24 mm).

分析如图6，设第一拍摄点与塔的水平距离为L，塔的高度为h,则由相似原理可得