培养学生整理数学知识能力的策略研究

施燕芬

(萧山区高桥初级中学，浙江 杭州 311201)

1 问题的提出

笔者细细品读《怦然心动的人生整理魔法》，深受启发：人通过整理找回人生决断力，找到最初的梦想，找到怦然心动的幸福人生.一个生活井然有序的人，一定也拥有良好的学习习惯.著名教育学家叶圣陶先生曾说：“什么是教育？”一句话，教育就是培养习惯.在数学学习过程中，及时有效地整理数学知识就是一个好的习惯.整理自己，让自己更整洁；整理人生，让人更出彩；整理知识，让我们更优秀！

在数学学习过程中，整理知识是一种有效的学习方法.所谓的整理，显然并不是纯粹的“记”笔记，而是重在“理”与“通”.所谓“理”，就是将已经学习过的知识进行系统化、结构化、整体化整理，让知识点形成一个相互联系的网络.所谓“通”，就是融会贯通，明确知识的由来和去处，并积极展开反思，敢于质疑.

然而，现实是很少有学生会主动去整理数学知识，有的学生甚至从不整理数学知识.纵观当下，学生所整理的数学知识，无非是对教师上课所讲述的内容(概念、定理、公式、解题方法、技巧、思想)的简单记录.所谓的“整理”已退化成简单而机械的“记”“摘”“抄”，学生俨然成了“记录员”[1].为此，在课堂教学中教给学生整理数学知识的方法，培养学生整理数学知识的能力，已成为教师的紧迫任务.

2 有效的策略

在数学课堂中，学生是学习的主体，教师是学生学习的引导者.因此，对数学知识的整理，同样也应该是以学生为主.学生掌握整理知识的主动权，教师则只需适时的引导.为了在教学中有效地培养学生整理数学知识的能力，笔者认为应该从以下3个方面努力：

2.1 把握整体，构建知识结构图

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”[2]由此可见，在数学学习中，离不开对“数”与“形”的研究.因此，数形结合不仅仅是一种重要的数学思想方法，更应是一种重要的整理知识的方法.在知识的整理过程中，不提倡仅有文字、符号，而提倡图形、表格等方式有效结合将所学数学知识呈现出来.

案例1在浙教版《数学》八年级上册第二章“特殊的三角形”复习课结束后，笔者布置了整理该章节知识结构图的作业.第二天，学生的作业不禁让笔者大为“惊”“喜”.不得不惊叹学生的创意，学生整理的结构图各式各样，有知识树、表格、框架图、鱼骨图，还有一些图文并茂的结构图等.他们以独特的理解方式、浅显易懂的图示及极富个性的创意，展示了自己富有艺术性、观赏性的“劳动”成果.于是，笔者将计就计，将当天的数学课改为了作业交流课，以小组为单位派代表展示组内认为最好的结构图，其余小组成员作为评委，发表看法.

师：同学们，这是我们班其中一位同学的作品(如图1).请大家谈谈自己的想法.

图1

生1：我认为这棵知识树所展现的内容太少了，而且有点凌乱.

师：嗯，那你能否帮我们整理一下？

生1：本章我们主要学习了等腰三角形、等边三角形、直角三角形这3种特殊的三角形.

师：能具体说说吗？

生1：主要有定义、性质和判定.

师：那我们能否将知识点整理成这3个方面的内容？

学生们恍然大悟，很快小组成员之间讨论起来.“这边还少了直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半的性质.”“还有勾股定理的逆定理，几组常用的勾股数.”……

生2：老师，我认为在逆定理处还应补充角平分线的性质定理的逆定理.

师：为什么？

生2：虽然它出现在第2.8节“直角三角形全等的判定”这一课时中，但它也属于逆定理这一知识点.

师:你的思考很全面，出现在不同课时或章节的同一知识点我们也要把它串联起来.

随着展示的进行，不时有学生举手、发表新的看法、提出自己的质疑、补充遗漏的知识.学生的学习热情瞬间被激活，课堂上闪烁着智慧的光芒.这是一堂既有“温度”又有“深度”的数学课.很快，通过班级学生的共同努力完成了一幅“完美”的作品(如图2).

图2

学生在构建知识结构图时，需要对知识进行梳理、筛选、整合、修正、完善.在动脑思考、动手操作、小组合作交流中，学生不仅理解了知识的由来和去处，经历了知识的有序生长、关联与承接的过程，更提高了思维层次，激发了内在潜能，培养了团队精神.同时教师也可以通过观察学生制作知识结构图的具体情况来深入了解学生的学习情况，并对自身的教学予以反思，积极改进教学方式，有效提升教学效果.

2.2 突破关键点，绘制图表比较

俗话说：“要区别就要有比较，有比较才会有鉴别.”的确，掌握知识不仅要整体构建有效的知识结构框架，同时还要明确各个知识点的联系和区别.对于关键点可应用比较法.

案例2在学习“图形的轴对称”时，呈现下面问题：

1)如图3，直线l为一条草原河流，一位少年骑马从A地去河边，让马饮水之后再返回B地家中.那么他应该走哪一条路线才可以用最短的路程完成这件事呢？

图3 图4 图5

由于学生已经在科学课上学习了平面镜成像、光的反射等相关知识，解决这类几何最值问题难度

并不大.不一会儿，学生马上利用轴对称变换知识顺利解决了这一问题.于是，笔者又呈现下面两道题：

2)如图4，在小河的两边分别为A地和B地，河岸a,b为两条平行线.在这种情况下要建造和河岸垂直的桥CD，为了让A地到B地的距离最短，该如何选择桥址？

3)如图5，点P为一处牧马营地，每天牧童都会让牧场的马到河边饮水，到草地吃草，再回到营地.试设计出最短的放牧路线.

面对问题2)和问题3)，很多学生无从下手.对于初中生来说，在以前的几何学习中，很少接触最值问题，尤其是具有实际背景的最值问题.因此遇到这类问题，多数学生茫然不知所措.在讲解完这3道题之后，不少学生反映知识点已经混淆，弄不清楚了.于是，笔者引导学生整理出以前碰到过的几何最值问题，将基本图形确定后，一一列出，师生合作整理绘制成一张表格(如表1).不少学生感叹：“总算整理清楚了！”

表1 6类基本图形

2.3 紧扣重难点，以题代理

初中生的学业压力大，课业负担重，这使得学生深陷题海战术.过重的负担、过高的期望，使学生每天疲于应付，完全挤不出时间消化吸收当天所学的内容.如此日积月累，容易把知识学“死”.事实上，知识是静态的，思维是动态的.在数学的学习过程中，教师应当适度放权，给学生自主出题、编题的机会.

案例3已知关于x的一元二次方程mx2-(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围.

师：同学们，根据题目已有的信息，你如何解决这个问题？

生1：由一元二次方程，可以得到二次项系数m≠0；由两个不相等的实数根，可以得到Δ>0.

师：假如现在你是命题者，请你改变题目中下划线的条件，并由同组同学来说说自己的想法.

学生们兴奋极了，你一言我一语地“争论”起来.

生2：我将条件“两个不相等的实数根”改为了“实数根”.

生3：由此可以得到Δ≥0且m≠0.

生4：我将“一元二次方程”改为了“方程”.

生5：此时需满足Δ>0且m≠0.

生6：我改了两个条件，将“一元二次方程”改成了“方程”，将“两个不相等的实数根”改成了“实数根”.

学生们陷入了沉思.

生7：老师，现在要分类讨论了.

师：为什么要分类？

生7：因为现在所给条件中没有明确这个方程是“一元二次方程”，所以要分成“一元一次方程”和“一元二次方程”两类来讨论.

师(追问)：那么在什么情况下，我们能确定该方程是“一元二次方程”呢？

生7：有3种情况：1)m≠0；2)题目明确是一元二次方程；3)题目明确有两个不相等的实数根.

教师放手让学生自主开放地出题，不仅激发了学生的积极性，增强了学生的自信心，提高了自我价值感，更在一定程度上完成了知识点的整理.生1的问题是对一元二次方程判别式和根的个数之间的关系的辨析，生4的问题是对一元二次方程的概念进行辨析，生6的问题是对数学中分类讨论思想的灵活运用.这种教师引导、学生自主出题变题的形式，既能使学生深刻理解知识的本质，更能有效提升学生的分析力、思考力和问题解决能力，可谓一举两得.

3 研究的成效

3.1 习惯得以培养

整理是一种习惯，也是一种能力.通过对班级学生长时间且有意识地培养，多数学生养成了良好的整理习惯.每学完一个章节或到期中、期末复习阶段，学生便会自觉拿出数学笔记本进行相关知识的整理.这些书写工整、语言精练、结构清晰、层次分明的整理成果，无不凝聚着学生的智慧，这是知识和实践的完美结晶，也彰显他们正经历着“由厚到薄”和“由薄到厚”的数学学习过程.

3.2 成绩得以提高

当整理知识变成一种习惯时，笔者也欣喜地看到：学生在一次次检测中，成绩在逐步上升.特别是以前成绩不理想的学生，其进步更是明显.有学生兴奋地和笔者分享：“老师，我通过整理已学的知识，不仅加深了对知识点的理解，还理清了知识之间的联系，更学会了有序地思考问题.”分析学生的试卷发现：对于基础性的知识点错误率下降了，中档题的正确率提高了，难题的得分率稳中有升.

3.3 潜能得以激发

对每一个学生来说，天赋的差异是有限的，但潜能是无限的.因此，教师需要找到合适的途径激发学生的潜能[3].学生在整理数学知识的过程中，往往会回顾、梳理、整合、完善所学知识，努力挖掘出自己与同伴的不同之处.在得到教师的肯定后，学生的学习积极性、主动性、自觉性得到进一步提升.同时学生们在课堂上会更加积极地思考和探索问题，并愿意将自己的观点表达出来，提出的问题也更加有针对性、多样性和创造性.

总之，在全面深化课程改革的今天，教师应当把培养学生整理知识的能力当作重要的任务，让学生认识整理知识的重要性，掌握整理知识的方法，实现对所学知识的灵活应用，提升数学学习的能力.唯有此，才能真正让学生从学会知识走向学会学习，从而成为学习的主人.