波利亚解题思想在初中几何命题教学中的实践研究——以“三角形的内角和定理”为例

陈 静

(南京市第二十九中学初中部，江苏 南京 210029)

1 波利亚解题思想与初中几何命题教学

1.1 波利亚的“怎样解题表”

20世纪以来，问题解决成为心理学与教育学研究的重点，许多数学家与教育家研究了数学问题解决方面的理论，提出了新的问题解决模型，其中以波利亚的解题理论最为人们所推崇，其著名代表作《怎样解题》对中学数学教育产生了极大的影响.他的解题思想的精髓就是“怎样解题表”，解题有4个步骤：弄清问题、拟定计划、执行计划、回顾反思，表中提供了一系列典型问题与建议.这为我们提供了一整套程序化的解题教学系统和一个启发式的解题过程分析方法，揭示了解题过程的思维训练全貌.正如波利亚在《怎样解题》中所述：“我们的表实际上是一个在解题中典型有用的智力活动表.”

1.2 初中几何命题教学

几何命题是指对几何图形进行判断的句子.初中几何命题包括基本事实和几何定理，解题中表现为几何证明题和几何解答题.几何定理证明和几何证明题需要根据已知条件，画出或结合图形，运用推理论证的方法进行探索和证明，得到结论.几何解答题是几何命题的应用，在已知条件下，运用所学定理、基本事实进行推理，并辅之以计算，求解问题.几何定理证明可能是学生对经过观察、实验和探究得出的结论进行证明，也可能是直接由已有的结论进行推理论证得到新的结论，如由圆周角定理可以推出“直径所对的圆周角是90°，圆内接四边形的对角互补”.初中几何命题是初中几何教学的重点和难点,更是中学生数学能力发展水平的关键转折点.随着几何学习难度增大,许多学生感到困难，对数学学习产生畏难情绪.在几何命题教学中，要教给学生规范的推理论证方法，帮助其逐步提高逻辑思维能力和分析解决问题的能力.这个过程也是一种解题教学，波利亚解题理论为几何命题教学奠定了理论基础，也为教师指导学生有效地解决几何问题提供了指明灯.

2 波利亚解题思想在初中几何命题教学中的实践

解决问题的本质就是不断地改变问题.波利亚的“怎样解题表”是一个完整的问题解决教学计划，具有通识性，表中的问题和建议自然、简单、通俗易懂，像是在和读者对话.教师可以借助“怎样解题表”中的问题不断创设问题情境，指导学生将现有问题转换为类似的或更具体的问题，借助情境不断激发学生的思维.

几何命题的证明也是解题，因此在几何命题教学中，笔者尝试借助波利亚的解题理论，根据几何命题教学中关注的要点在4个阶段分别设置“适当”的问题，从而总结在“几何命题教学”领域的“怎样解题表”.下面以“三角形的内角和定理”为例，探索如何借助波利亚解题理论中的问题指导学生分析问题、解决问题，从而发展推理能力.三角形是最简单的直线型封闭图形，“三角形的内角和”是三角形的重要内容，是许多角度计算问题的重要依据.在小学阶段，教师通过引导学生把一个三角形的3个角拼在一起，发现了“三角形的内角和是180°”的结论.进入初中后，教师需要引导学生观察、实践、交流与思考，用说理的方式说明，帮助学生对“三角形的内角和”的认识从感性提升到理性阶段，这标志着学生的几何学习从实验几何迈向论证几何.

2.1 理解命题

这是波利亚解题理论的第一步，即弄清问题，要求学生明确已知量和未知量，抓住题中的关键信息.波利亚把“弄清问题”分为两个阶段：“熟悉问题”和“深入理解问题”.为了实现“熟悉问题”，可以要求学生重新叙述问题，也可以指导学生圈画题中关键信息，并在图上标注出已知条件，从而将题中提供的文字、符号、图形等信息整理清楚.为了实现“深入理解问题”，学生应联想与问题有关的所有内容，仔细地从各个方面剖析问题的主要部分，再将它们组合考虑，并把每个细节联系起来，把每个细节与整个问题联系起来，为寻找解题思路打下基础.

1)命题是如何产生的？为什么要研究这个命题？

2)你能重新叙述这个命题吗？命题的条件和结论是什么？对于文字命题，你能画出图形，写出已知、求证吗？

4)条件是否充分或者多余？

教学过程三角形是最简单、最基本的几何图形之一，它不仅是研究其他图形的基础，而且在解决问题中有着广泛的应用.探索并掌握三角形的性质对学生更好地认识现实世界、发展空间观念有着重要作用.在认识了三角形的有关概念后，我们研究了其构成元素边、角的性质，得到了三边关系，下面探索3个内角之间的关系，引导学生用说理的方式说明“三角形的内角和是180°”，使学生感悟“图形运动过程中的不变关系”是“图形与几何”学习的重要内容.

首先，学生在小学阶段经历了折叠、剪拼等操作过程，发现了“三角形的内角和为180°”,可以借助图1帮助他们回忆.但是，这只是通过实验得到的猜想，测量会有误差.而且，从命题的形式上来看，它属于全称命题，指出了所有三角形的共性，实验只能对有限个三角形进行，而形状不同的三角形有无数个，需要通过推理进行证明.命题的题设和结论分别是什么？学生尝试进行数学抽象，把文字命题转换成图形语言和符号语言.题设是证明的起点，结合图形将其译为“已知”，命题的结论是证明的终点，将其译为“求证”.已知：在△ABC中.求证：∠A+∠B+∠C=180°.根据式结构，条件是三角形的3个内角求和，结论是和为180°.从条件看，这3个内角分布在3个角落，如何将它们放在一起呢？从结论看，180°可以和我们学过的哪些知识建立联系？180°可以是平角，可以是互补的角，也可以是一对同旁内角.如何实现从式结构向形结构转化呢？学生想到了作辅助线.

图1

2.2 拟定计划

这是波利亚解题理论的第二步，是解题的关键环节，也是学生最困惑的环节.从弄清问题到想出一个计划，其过程可能是漫长而曲折的，教师要通过比较自然的帮助，促使学生自己想出解决问题的思路.教师可以帮助学生回想起一个与当前问题密切相关的已经解决的问题，借助它的研究方法解决问题.如果没有，那么可以转化、变换或修改该问题，如通过一般化、特殊化、应用类比等途径提出辅助问题.也可以引导学生画思维导图，找到已知量与已获取的信息之间的关系，进行数学化设计，使整个解题过程具有方向性.由已知想可知，学生需要有丰富的联想，由未知想须知，学生要具备一定的分析能力.通过分析，将未知与已知、可知与须知建立联系，搭建桥梁，找到解决问题的思路.在引导的过程中，教师要鼓励学生畅所欲言，不批评结果，不限制学生的思维，只要是经过自己思考的，不论对错，都可以表达.教师要舍得将课堂还给学生，只需作为引导者，不断地设问启发学生，促使学生产生更多的想法.在这个环节，学生学会独立思考，体会类比、转化、数形结合等数学思想方法，发展空间观念、几何直观、推理能力等核心素养.

1)你能想到与之有关的其他命题吗？它与已知命题有什么联系？能否利用它的研究方法？

2)观察图形，是否需要添辅助线？

3)能不能从特殊的情形出发？

据有关统计表明，项目投入资金的总量为876.459万元，包含783.643万元的营林人工费用以及232.432万元的工程材料费用等。

4)根据已知条件，我们能够得到什么？为了证明结论，我们还需要做什么？

5)如果从正面证明这个命题有困难，那么我们可以从反面考虑吗？

教学过程借助对180°的联想和小学阶段的操作，学生找到了探究目标与已有知识储备之间的连接点，于是有了将实验操作和推理证明联系起来的解题思路：过顶点作平行线.如图2和图3，过点A作平行线，将∠B和∠C转移至点A处，构成平角.如图4，将∠C转移至∠3处，从而构成一对同旁内角.从控制变量的角度看，就是保持一个角或两个角的位置不变，转移剩下的角，从而组成平角或一对同旁内角，得到180°.

图2 图3 图4

在此基础上，教师进一步提出问题：过一个顶点可以，可以过多个顶点作平行线吗？于是，学生通过尝试画出了图5，将∠C分成两个部分，分别转移到了点A和点B处，从而构成了一对同旁内角.教师继续追问，可以过边上的点作平行线吗？如图6，学生尝试过BC边上的点D作另两条边的平行线，∠A通过两次平行线的性质(同位角、内错角)转移到点D处的∠EDF，∠B,∠C也可以转移到∠EDC,∠FDB组成一个平角.

图5 图6 图7

有了再一次成功的经验，学生有了成就感，信心倍增.有学生开始了更大胆的尝试，点在顶点和边上都可以，可以在别的位置吗？比如，将点移到三角形内部呢？经过尝试，如图7所示，也实现了将3个角搬到一起，组成一个平角.此外，学生还成功地将点移到三角形外.在这个过程中，学生经历了充分的探索与思考，接着教师引导学生总结这些做法的本质都是通过作平行线转移角，最后组成平角或同旁内角.实际上，过哪个点作平行线都可以，点可以是任选的，这体现了平等原则.

如图8，在教学中，有学生还想到了过点A作边BC上的高，再过点B，C作垂线，这样将3个内角转化成了两个直角.进一步，又有学生想到过点A和点C作平行线从而补出一个平行四边形(如图9)，利用两组平行线得到四边形的内角和是360°，再除以2.也就是说，180°还可以有新的来源，90°的两倍或360°的一半.在这个层层设问、不断思考的过程中，学生对“三角形的内角和”的认识从感性上升到理性，经历了从毫无头绪到百家争鸣、百花齐放的喜人局面.

图8 图9

2.3 执行计划

这是波利亚解题理论的第三步，即在明确解题方案后，用数学方法求解.这比拟定计划要容易，需要的主要是耐心和严谨思维.在上一阶段，有些学生的解题思路是由教师逐步引导得到的，学生自身的思考是碎片化的、零散的(做“填空题”)，他对自己的推理过程也许并不清晰，或者即使学生明确自己的解题框架，也不一定每一步都正确无误或者逻辑严谨.当让学生独立执行该方案时，学生会将所有的信息整合，完整地思考整个过程(做“解答题”)，进行“直观”或“形式”上的论证，从而对问题的理解更加透彻、清晰.

1)你能用规范、准确且精练的语言表述你的证明过程吗？

2)你能清楚地看出每一步骤吗？你能证明这一步骤吗？

教学过程在书写证明过程时，学生经历了符号语言、文字语言与图形语言之间的相互转化，培养了有条理的表达能力.几何证明是训练逻辑思维的最好载体，所有的推理都要有理有据，每一步推理的条件必须是已知或已证.

2.4 回顾反思

波利亚告诉我们，即使是相当好的学生，当他得到问题的解答，并且干净利落地写下论证后，就会合上书本，找点别的事来干.这样做，他们就错过了解题的一个重要而有教益的方面.在学生完成了他的计划后，仍然有可能出现错误，特别是论证冗长而复杂的时候，因此需要检查.通过检查结果，回顾得出这个结果的过程，可以巩固和发展他们的解题能力.数学解题不求神奇巧妙，只求自然合理，而逻辑思维可以让神奇巧妙变成自然合理.总结思路时，应聚焦“怎么想到的”“为什么要作辅助线”等.有时学生的思路只是灵光一现，通过教师的追问，可以把他们原本的隐性思维显性化、方法与策略明确化，提高对问题本质的理解和更高层次的认识.有时我们还可以通过多种不同的证明方法解决问题、开拓思维.当然，多种方法之后还要反思哪种方法最优，帮助学生优化解题方法.另外，教师还应当引导学生发现数学题目之间、不同方法之间的联系，以期之后能做得更好.学生也可以提出进一步的研究问题，培养他们发现问题、提出问题的能力，掌握研究问题的一般方法.波利亚将这个最容易被人们忽视的阶段作为解题的必要环节固定下来，是一个非常有远见且正确的做法.

1)你能检验你的答案是否正确吗？

2)你能用不同的方法证明吗？你还能想到几种方法？

3)这些方法之间有共性吗？在得出多种解法之后，认识几种方法的本质，思考解题策略的来源.

4)这个结论可以推广到其他图形吗？

教学过程解决问题的过程就是不断转化问题的过程.学生通过这个定理的证明过程，感悟到了转化思想.回顾解题过程，定理证明一开始是有困难的，但在教师的引导和启发后，学生发现了很多证明方法，但它们本质上都是利用平行线将不在一起的角搬到一起，组成一个平角或一对同旁内角，从而实现180°.在证明时，先有对“数”的联想，再有“形”的构造，自然产生作平行线、作垂线等辅助线.“三角形的内角和定理”中蕴涵着“变中不变”的哲学思想，不论三角形的形状如何，内角多少，其内角和始终是不变的.“多边形的外角和是360°”与之类似，证明时，可以类比“三角形的内角和是180°”，通过作平行线将外角转移，从而组成一个周角，即可实现360°.这一思想在学习圆周角时也有所体现，虽然圆周角的位置在改变，但只要所对的弧不变，其度数就不变.

3 教学反思与感悟

波利亚认为，中学数学教育的根本目的是“教会中学生思考”.教师不仅是知识的传播者，还是学生学习的引导者，几何命题教学的过程中尤其要重视培养学生的良好的数学思维.几何命题是培养学生思维能力的优质素材，教师在几何命题教学时，不仅要讲透方法，还要注重数形结合、类比、转化等数学思想的渗透，进而优化解题思维，形成核心素养.

在探索和说明“三角形的内角和是180°”的过程中，侧重于“拟定计划”这个阶段.实际上，初中几何中的命题有很多，命题的结构类型也有很多种，不同的命题在教学的4个阶段的侧重是有所不同的.对于一些结构不是很明显的命题，如“两直线平行，内错角相等”，需要先将命题改述成“两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等”，才能分清题设和结论，从而在“理解命题”上就要费一番工夫.又如，在证明矩形和菱形的性质时，应类比平行四边形的性质的探索过程；在经历了性质定理的发现和证明之后，又应将这三者进行类比，找到它们之间的联系，因此对命题证明的认识不应只局限于解题，还应关注到命题本身之间的逻辑联系，“回顾反思”尤为重要，这样才能从整体上构建对命题的认识，建立完善的命题系统.我们可以引导学生搭建几何定理的逻辑结构图，理解它们的逻辑联系.

波利亚解题理论之所以可以指导命题教学，是因为它提供了每个阶段思考的方向，还带给我们诸多启发.在“理解题意”阶段，教师需要帮助学生理解命题的产生和背景，或基于实验操作产生的猜想，或基于数学内部逻辑发展的需要，一定要建立合理的逻辑结构.在“拟定计划”阶段，为了帮助学生具备“联想”能力，教师可适当安排统领课，帮助学生在统领课中见全局.数学知识有很强的系统性，只有注重数学知识的整体性，理解和领会数学知识之间的联系，才能真正把握数学知识的本质.在“执行计划”阶段，要让学生学会独立思考，整合之前的思路，形成自己的推理能力.在“回顾反思”阶段，要找到自己思考的障碍和突破口，更重要的是总结经验，积累题型、方法和基本思想.在日常教学中，教师要有意识地要求学生养成完成答题后回顾的习惯，并且尝试用多种方法、从多个角度去反思.例如，几何中有很多重要的基本图形，复杂图形往往是由基本图形组成的，教学中教师可以引导学生观察、总结、抽象出基本图形，将复杂图形简单化.教师要注重对学生闭环思维的培养，在毫无头绪时学生可以自己用“表”中的问题启发思维，从而找到思考方向，建构起自己的解题策略.

实践是检验真理的唯一标准.一套解题的模型只有能顺利地应用于实践，为人所用，使学生和教师都受益才能称之为好的模型.波利亚的解题思想既适合于几何命题教学，推而广之，它也适合于初中几何题，更适合于一般的数学题，甚至适合于生活中的情境，它教会我们如何在解决问题时环环相扣、有章有法.我们需要继续探索波利亚解题思想的深刻内涵，在专业的引领下，帮助学生摆脱“题海教学”，为学生创设思维空间，将思维能力的培养自然融合到教师的教学行为中，真正教会学生关注到命题的“探索与证明”.