2022年数学新高考Ⅰ卷第21题赏析*

福建教育学院数学研修部 (350025) 蔡海涛

一、试题呈现

(1)求l的斜率；

本题以双曲线为载体，考查直线的方程、双曲线的标准方程及其简单几何性质、三角形的面积等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，直观想象能力及创新能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性、综合性与创新性.

二、解法赏析

评析：把点A的坐标代入，易得双曲线的方程，由直线与双曲线联立，设而不求把直线AP，AQ的斜率之和用变量k，m表示，根据斜率之和为0，得直线l的斜率的值.

评析：根据双曲线的参数方程，把P，Q两点的坐标用参数表示，进而用参数表示直线AP，AQ的斜率之和，求得t1t2的值，整体代入得直线l的斜率的值.

评析：涉及角的问题，考虑利用两直线的到角公式切入，求得直线AP，AQ的斜率，得直线AP，AQ的方程，与双曲线方程联立求得P，Q两点坐标.

三、解后反思

1.求圆锥曲线方程一般用待定系数法，涉及直线与圆锥曲线位置关系问题一般是联立，设而不求，再利用根与系数的关系整体代入.

四、跟踪训练

(1)求双曲线C的标准方程与离心率；

(1)求该双曲线的标准方程；

(2)设NA1和MA2交点为P，则△PF1F2的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由.