巧用“两招”突破解三角形的解题障碍点

福建省永春第一中学 (362600) 张隆亿

解三角形问题，能有效考査学生对正弦定理、余弦定理和三角恒等变换等基础知识，常出现在选择题、填空题与解答题之中，备受命题者的青睐.本文结合解三角形试题特点，梳理破解解三角形问题障碍点的两招.

第一招：利用方程思想突破解三角形的解题障碍点

涉及多个三角形的解三角形试题，往往是通过解条件充分的三角形进而求出其他的边角，抓住条件较丰富的两个三角形以及它们公共的边角.常见的解法是运用方程思想设元并根据题中的等量关系(等角、角互补、作平行线、作高、向量关系、面积关系、建立平面直角坐标系等)列方程(组)求解问题.因此，抓住方程思想的本质，提高思想认识,强化方程思维意识是解决这类问题的关键.

例1 (2022·泉州质检二)在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosB=2c-b，△ABC内一点P满足：PB⊥PC，∠APC=120°，且AC=3AB=3，求tan∠ACP.

分析：如图1，涉及∠ACP的三角形ΔAPC中，已知的条件只有AC=3，∠APC=120°，显然条件不够，但与△APC有公共边，与△ABP也有两个条件AB=1，∠APB=150°.因此，应该抓住△APC、△APC这两个三角形找出等量关系，列方程，进行求解.结合正弦定理及三角恒等变换，三角恒等变换即可求A=60°.

图1

例2 (2021·高考卷Ⅰ改编)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知点D在边AC上，b2=ac，AD=2DC，BD=b，求cos∠ABC.

分析：如图2，涉及∠ABC的三角形只有△ABC，但其条件不够.而三角形△ABD、△BCD涉及主要条件AD=2DC，BD=b，所以以退为进,通过△ABD、△BCD、∠ABC三个三角形中的两个三角形，找出a，b，c之间的联系.该题属于爪型三角形模型，常见有以下解法.

图2

图3

图4

图5

图6

例4 (2015·新课标Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°.BC=2，则AB的取值范围是.

分析：如图7，平面四边形ABCD四个角及边BC确定，AD在△BCE内平行滑动，涉及AB的有△ABD，△ABC，但条件仍然不够，且较难整合所有条件，而△ADE却可以.因此抓住△ADE，△BCE这两个三角形找出等量关系，列方程，进行求解.

图7

第二招：利用动态三角形背景突破解三角形的解题障碍点

涉及动态三角形问题直接求解往往比较困难，一般运用化归与转化的数学思想，将动态三角形转化为定的轨迹或位置.常见动态三角形背景如下：

(1)圆：动态三角形中只知道一边及其对角；动态三角形中一边确定另外两边互相垂直；动态三角形所在的四边形对角互补；动态三角形中一边确定另外不等两边满足倍数关系(阿氏圆)；推广的托勒密定理(四边形ABCD中，AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当四边形ABCD为圆内接四边形，等号成立)；题设条件等.

图8

(2)椭圆：动态三角形中一边固定，另外两边和为常数；动态三角形中某两个角的正切之积为(0,1)常数(椭圆第三定义)等.

图9

(4)三角形：动态三角形所在的四边形延长某两边交于一点，所得的三角形不变.

图10

图11

例4另解：如图12，抓住动态四边形ABCD始终在确定的三角形△BCE内平行滑动，运用极限思想可便捷得出答案.

图12

例5 (2022·蚌埠校级模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a+c=4，2sinB=sinA+sinC，则△ABC的面积的最大值为.

图13

变式在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a-c=2，b=4，O为AC，则OB的取值范围为.

析解：由BA-BC=2

简而言之，涉及多个三角形的解三角形问题，正常思路受阻时，可以抓住条件充分的两个或以上三角形，运用函数方程思想突破解题障碍；涉及动态三角形的解三角形问题的解题关键是抓住动点的轨迹，运用轨迹思想、极限思想等方向思考解决问题的方法，化繁为简、化难为易，从而突破解题障碍.