单元整体教学视角下的复习课教学探究——以“二次函数的图象和性质”为例

裴 姣

(江苏省宜兴外国语学校，江苏无锡，214200)

单元复习课中知识以何种形式呈现，能让概念复习不再是枯燥的无效重复，能让学生思维在巩固中落实提升？课前教师有必要把单元内容进行整体规划，优化整合，在情境中把问题联系结合起来，通过情景式问题串带领学生回忆相关知识，让学生在一个个问题的关联中感受数学的整体性，感悟知识点之间的相互联系，让知识生长起来.通过学生自我整理、归纳知识，构建知识体系，达成学生对于知识的理解更透彻，达成学生思维能力和数学素养有效提升.下面，笔者以苏科版九年级下册第五章“二次函数”的单元复习教学为例，谈谈基于整体教学视角下，单元复习教学的实践与思考.

1 教材内容分析

1.1 内容分析

二次函数是初中数学“数与代数”部分的内容，教科书把“代数式—方程—不等式—函数”作为这部分课程内容的主干[1]，它们自成体系，都沿用了“由实际问题到数学模型—研究数学问题(图象、性质)—解决实际问题”的学习思路，“数与代数”学法是相通的.从函数板块分析，二次函数是学生在学习一次函数、反比例函数后又一次接触到的重要模型，放最后出现，从知识和思维层面，都表明它对学生能力要求更高，综合性更强，在各地中考试卷中，二次函数常以压轴题的形式出现.二次函数的相关知识结构如图1所示.

图1

1.2 复习目标

(1) 通过对二次函数知识的回忆和梳理，巩固二次函数的概念、函数表达式、待定系数法、图象和性质，由抛物线和抛物线上的点，感悟确定的数量与图形直观间的紧密联系.

(2) 通过从函数的视角看一元二次方程(不等式)，明确二次函数与一元二次方程(不等式)、一次函数的关系，能用二次函数模型解决简单的实际生活问题，提高数学抽象思维能力.

(3) 引导学生在归纳整理知识和探究问题的过程中，体会函数学习的方法，感悟模型思想、数形结合思想.

1.3 复习重点、难点

重点：二次函数的表达式、图象和性质.

难点：结合图象解题，应用二次函数性质解决问题.

1.4 教学准备

复习二次函数相关知识点，重难点，列出存在的问题，把知识点整理成文字、表格、结构图或思维导图，小组成员开展互评，在课前展示优秀作业.

2 由点入手，“对称”指路

例1见表1，已知二次函数图象上部分点的横坐标x和纵坐标y对应的值，

问题1：观察表1，你能获得哪些信息?

表1

鼓励学生仔细观察数值特征，大胆发表看法.经过充分观察和思考后，结合学生的回答和教师引导，完成表2的问题.

思路启发:因为x=-2和x=0时函数值相等都是-3，根据二次函数的对称性，确定对称轴是直线x=-1，表格数据知(-1，-4)即为顶点坐标.再由对称性知点(1，0)关于直线x=-1的对称点(-3，0)为图象与x轴的另一交点.随着x的值从左到右逐渐增大，对应的函数值y先减小后增大，确定开口向上，当x=-1时，函数值最小是-4.

问题2：已知点(-2.5，y1)，(-0.5，y2)，(2，y3)是表1中对应抛物线图象上的三个点，则y1、y2、y3之间的大小关系是.

思路启发:如图2，把(-2.5，y1)转化为它关于对称轴的对称点(0.5，y1)，这样三个点都在对称轴的右侧，根据增减性知y随x的增大而增大，因为-0.5<0.5<2，所以y2

图2

设计意图：抛物线是轴对称图形，它不仅充盈和谐之美，还显露数学的灵活与精巧.运用对称的思想来观察点、转化点，灵活捕捉、落实对称，不仅简化大量复杂的运算，还能开辟出新的解题路径.

问题3：请你求出表1对应的函数表达式.你有几种方法？

让学生动笔写下过程，再一起交流方法.

思路启发:二次函数表达式有三种形式，若已知顶点，可设函数表达式为y=a(x+1)2-4(a≠0)；已知三个点，可设函数表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)；已知图象与x轴的交点，可设函数表达式为y=a(x+3)(x-1)(a≠0)，表达式中有几个待定系数，就代入几个已知点求出这个待定系数.三个表达式形式虽不同，但实质是同一个式子.

设计意图：确定一次函数、反比例函数、二次函数的表达式，都是待定系数法，足见待定系数法在求函数表达式中的重要作用.通过观察列出的方程(组)，让学生体会变量和常量的区别，感受方程(组)与函数的内在关联.

问题4：三个点一定能确定二次函数表达式吗？

(1) 已知三点(-2，-3)，(-2，-2)，(0，0)；(2) 已知三点(-2，-2)，(0，0)，(1，1).

思路启发:留出充分观察思考的时间，鼓励学生说出看法.问题4中第一问不能，因为两个点(-2，-3)，(-2，-2)横坐标相同，这与函数概念“两个变量x与y，对于x的每一个值，都有唯一的y的值与它对应”不符；第(2)问也不能，因为三点在一直线上.

设计意图：聚点成线，线的形状如何，要由点的位置和点的变化趋势来决定，在不明确函数类型的情况下，生搬硬套是对函数概念的混淆，碰到这类问题可以按照：描点——观察猜想——连线——写出表达式的步骤处理.

2 观察图象，数形结合

2.1 图形变换

问题5：如图3，是表1中对应的抛物线图象，(1) 如何平移这个抛物线，使其顶点过原点？(2) 如何左右平移这个抛物线，使其图象过原点？(3) 如何平移这个抛物线，使其顶点正好落在坐标轴上？写出函数表达式.

图3

思路启发:确定抛物线平移的方向和距离，抓住平移前后对应点的关系展开，(1)(2)两问终点为坐标原点，只要找出特殊点平移前的位置即可，第(1)问自然是顶点，第(2)问看抛物线与x轴的两个交点，第(3)问要注意x轴和y轴都是坐标轴，分两种情况讨论向右平移1个单位或向上平移4个单位，由于坐标轴上的点有无数个，因此抛物线平移后顶点的位置不能确定，故有无数种平移方式，函数表达式可根据二次项系数a和顶点具体位置来写.

问题6：把如图3的抛物线沿x轴或y轴翻折，分别写出翻折后的抛物线表达式.

问题7：把如图3的抛物线绕原点旋转180°，写出旋转后的抛物线表达式.

思路启发:如图4，图形变换的本质，图形的形状和大小不变，只有位置改变.形状取决于|a|，位置看特殊点与开口方向，通常知道a和顶点就能写出函数表达式.

图4

设计意图：研究抛物线先研究点，由关键的点来确定整体情况，从具体到抽象符合认知规律，抓住图形变换前后变与不变的关系，变化的量变成了什么，让学生先定点再画线，后写出表达式，感悟“以形助数”的数形结合思想.

2.2 二次函数与一元二次方程(不等式)

问题8：如图3，结合图象，(1) 直接写出方程x2+2x-3=0的解；

思路启发:从函数的角度出发，联系一元二次方程与二次函数的关系，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的情况，二次函数与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实数根，观察函数图象知，方程的解为：x1=-3，x2=1.

(2) 写出方程x2+2x-3=-4的解；

思路启发:如图5，从函数角度看这个方程，方程的解的情况是函数y=x2+2x-3与直线y=-4的交点情况，因为抛物线与直线只有唯一交点，所以方程有两个相等实数根.观察函数图象知，方程的解为：x1=x2=-1.

图5

(3) 探究方程x2+2x-3=k(k为常数)的根的情况；

思路启发:如图6，与第(2)问中不同的是等式右边从-4变为k，鉴于k的不确定，直线y=k是一组垂直于y轴的动直线，结合上一题的经验，二次方程的解的情况取决于二次函数和动直线交点的情况，分k<-4，k=-4，k>-4三种情况展开讨论.

图6

(4) 探究方程x2+2x-3=x-1的根的情况；

思路启发:如图7，一元二次方程的根的情况是函数y=x2+2x-3与直线y=x-1的交点情况，方程的根是两个交点的横坐标，画出函数图象，由图象知，方程的解为：x1=-2，x2=1.

图7

(5) 已知不等式x2+2x-3>x-1，求x的取值范围.

思路启发:从函数角度审视不等式，令y1=x2+2x-3，y2=x-1，即求y1>y2时x的取值范围，要找在x相同情况下，y1的函数值大于y2的函数值，反映在图象上即找出当x为同一数值时，二次函数图象在一次函数图象的上方的部分，结合图象知，x的取值范围为：x<-2或x>1.

设计意图：把一元二次方程(不等式)处理成两个函数间相关问题，体现数学知识相辅相成，相互关联，具有整体结构，也体现数学思维的灵活性，从不同的角度去思考，能收获新的方法.把一元二次方程(不等式)转化为函数问题，观察函数图象，从函数的交点，函数值的比较，自变量(函数值)范围等处去研究，直观明了，实现“化数为形，以形助数”，让学生很好地感悟到数形结合、转化等重要思想方法.

3 知识整合，思维提升

例2如图8，已知抛物线过A(-4，0)，B(1，0)，C(0，-3)，作直线AC，点P是线段AC上一动点(不与点A，C重合)，过点P作x轴的垂线m，与抛物线交于点Q，

图8

问题9：求线段PQ的最大值.

思路启发:点P、Q都是动点，PQ是垂直于x轴的一组动线段，任何位置P、Q的横坐标满足相等，PQ的长度就是两点纵坐标之差的绝对值，结合图象，即PQ=yp-yQ，用代数式表示出PQ的长度，转化为求二次三项式的最值，用配方法或顶点公式求出最值.

设计意图：线段的长度就是两端点之间的距离，我们知道，在平面直角坐标系中，有两点坐标就能算出两点间的距离，结合二次函数和一次函数图象上动点的坐标规律，表示出线段长度的代数式模型，运用函数知识求出最值.引导学生经历运用解析法求最值问题的过程，感受数与形的紧密联系及模型思想.

问题10：如图9，连接AQ，CQ，求△ACQ面积的最大值.

图9

设计意图：割补法是处理面积问题的一般方法，在二次函数中同样适用，可从“割”或“补”的角度去处理图形，把问题中的三角形面积转化为新图形面积的和或差，以此畅通思路，找到可行的解题方法.在平面直角坐标系中，铅垂线段和水平线段是更为特殊的线段，要充分把握住这些线段，表示出三角形的底和高，复杂图形的组成还是基本的点和线，要善于捕捉，用这些特殊作用的点和线去表示题中的未知量.通过分析探究过程，引导学生体会数学转化的作用，培养学生分析问题的能力.

问题11：如图10，作QH⊥AC于点H，垂足为点H，求线段QH的最大值.

图10

设计意图：“斜化直”是平面直角坐标系中转换线段的有效方法，通过相似三角形或锐角三角函数找出线段间的数量关系，把线段转换为铅垂线段和水平线段更易于处理和表示，培养学生大胆构造，缜密思考，灵活运用的思维习惯和能力.

一题多解(一)：由三角形入手，把QH看成△ACQ中AC边上的高，底边AC是定值5，当高最大时，面积最大，把求QH的最大值转化为问题10中求△ACQ面积的最大值.

图11

知识的复习，也要关注“知识链”的产生、生长过程.本复习课例，从创设问题情境入手，把二次函数纷繁零碎的知识点整合到问题串中，通过对问题的探究，帮助学生巩固基础知识，对知识归类整合，把点状知识聚集为块状知识，进而内化建构成知识体系.在知识巩固的过程中，注意对学生思维能力的培养，通过问题串把相近思维点或相同方法的问题放一起，更易于学生掌握数学思想方法，感悟变式题的通性通法，提升思维能力和核心素养.