以“问题解决”为主导的高中数学教学探究

王 磊

(江苏省东台市安丰中学，江苏东台，224221)

基于新课程改革标准下，高中数学教学目标应分为过程性目标和最终目标，让学生在过程中可以收获更多知识、技能、意识、方法等，逐渐汇总完成最终目标.著名数学家哈尔莫斯曾说：“问题是数学的心脏，在问题和求解中学习数学”，而问题解决就是建立在这一观点上，构建以学生为主体的问题情景，这不仅能够改善传统课堂中单调、功利性强的教学模式，学生更有兴趣，教师教学效果自然大有提升.

1 以问题解决为主导的数学教学实质

数学教学中的问题是非常重要的媒介，合乎逻辑的教学也应建立在问题的基础上，以“问题解决”为主导与传统数学课堂上先讲解理论知识再解决问题恰恰相反，前者是将问题在前，理论在后，学生在分析和解决问题的过程中逐渐摸索到数学知识点的原理和概念，这种探究性的教学方式不仅能够充分调动学生思维，而且也能使学生对新知识的理解更为透彻.除此之外，高中数学内容越来越抽象，相应的，学生需要掌握的技能也趋于系统化，在此背景下数学本身所含有的原始问题和情景被大大弱化，高中数学课堂上几乎很难看到生成数学知识的背景和发展历程.这一教学模式，甚至可以说是教学惯性，并不利于学生掌握数学知识的本质，故此，探究以问题解决为主导的数学课堂也是为有效解决传统数学教学存在的弊端，也能使学生从问题中感受数学知识点形成的过程，掌握学习思路和方法，培养其建模、逻辑分析、解决问题以及学以致用等能力.[1]

2 问题解决为主导的高中数学教学应遵循的原则

构建问题解决为主导的数学课堂，并不是教师简单的提出问题，让学生思考、探究即可，而是要遵循以下四点基本原则：

2.1 主动性原则

思想学家托尔斯泰曾说：“不通过强制学生被动学习就能有效激发其学习欲望，这也在很大程度上决定了教师教学的有效性”，主动性原则亦是如此，遵循这一原则主要目的在于激发学生潜在的探索欲，使其成为知识的探索者、发现者，而不是被动学习者，教师和学生之间的关系也会更加和谐.因此，教师要懂得先转变传统思想，思考所设计的问题情景是否符合学生学习所需以及能否提升其学习积极性，教师站在帮助学生构建知识框架的角度，而不是统领所有的角度.

2.2 适度性原则

教师在设计数学问题时要把握好“度”，问题不宜过难或过于简单，太难容易使学生产生畏惧、抵触等不良情绪，不容易后续教学进度，太简单虽然能够达到活跃课堂氛围的效果，但学生思考时多是依靠自身储备的知识进行思考，难以达到发散思维，突破认知的效果.基于此，教师应根据学生认知能力来设计“问题链”，从简单到复杂，层层递进，促使问题与问题之间有联系，同时也降低数学问题的复杂性和抽象性，开发学生潜能，使其在无形中突破重难点知识.[2]

2.3 层次性原则

层次性原则是基于学生差异性，学生由于学习能力、学习习惯等方面不同，在学习新知识，接受新东西时的情况也大有不同.作为数学教师应了解并重视学生之间的差异性，严格遵守层次性原则，或是以层次划分，或是以分组的方式展开教学活动，以此来使学生在数学课堂上找到归属感，并获得成就感，真正参与其中，才能有效增强数学教学实效性.

2.4 延伸性原则

学生学习任何知识都是由易再到难，教师在设计问题时应遵循这一规律，借用问题不断延伸，让学生整个学习过程逐渐完整，最终形成系统性的知识链，这样才能彻底吃透和掌握新知识.除了教学过程中的延伸，还包括课外延伸，教师在教学后应留下一些让学生思考和回味的问题，形成“完而未完，意味无穷”的情况，激发学生顺着教师所给出的线索继续探索的兴趣，使其从畏惧，过渡到会学，最后到乐学.

3 问题解决为主导的高中数学教学应具备的特点

教师应注重问题趣味性、激励性、完整性等特点.趣味性是指教师设计的问题应当是能够激发起学生学习兴趣的，在实际教学中往往会以结合实际生活或是游戏、竞赛等方式达到这一效果；激励性是指教师应基于学生好胜心，分析能够调动起积极性的问题，使其在解决问题的同时，自尊心、自信心也能得到满足；完整性是指教师所设计的问题应当是一个闭环，学生整个思考过程是完整的，形成系统性的知识链.

可见，构建以“问题解决”为主导的数学课堂并不简单，作为教师应从数学教学内容入手，结合学生学习特点，思考设计问题情景的原则和特点，在此基础上再去设计问题，能够更好地帮助学生突破学习障碍.

4 以问题解决为主导的高中数学教学案例分析

4.1 圆锥曲线中的定比弦问题

笔者以圆锥曲线中的定比弦问题为例，首先分析定比弦基础概念：一条直线与椭圆C相交于A、B两点，在弦AB上存在点M，将弦AB分为固定的两段，MA和MB的比值为λ，那么AB便叫做C的定比弦，λ为1时，定比弦即是中心弦(如图1所示).

图1

4.2 教学思路

关于圆锥曲线中的定比弦问题，首先教师要做的是让学生明确定比弦的概念和原理.首先，分析圆锥曲线这一章所研究的图形，包括三种不同的曲线，分别为椭圆、双曲线和抛物线.课程内容相对抽象，教师梳理教学思路后，可以结合学生实际学习情况，设计大问题，以大问题统领整个单元教学，再分设不同的子问题，以子问题来逐步引导学生学习新知识，同时留出学生自主学习、讨论、探究、汇报的时间，在问题情景下融入小组学习、自主学习、项目式学习等，激发学生学习主动性，强化数学课堂教学效果.

4.3 教学目标

本节课程教学重点在于求解曲线标准方程以及不同点在标准位置上的性质，掌握不同中点弦问题的解法，以此为基础，分析“焦点为分点”这一情况的解法，并感受不同解法的通性通法和价值.

4.4 教学方法

4.4.1 创设问题情景，引入数学新课

俗话说“思维从问题惊讶开始”，为激发学生学习兴趣，教师可以创设问题情景，将学生思维带入到形象且丰富的问题情景中，引起学生的好奇心，为之后学习打好基础.[3]

教师向学生分析圆锥曲线定比弦问题之前，可以以生活中有关圆锥曲线的案例为引，如，地球环绕太阳的“椭圆轨迹”运行，太阳则位于“椭圆轨迹”的一个焦点上，人造卫星运转所依据的也是这个原理；实际生活中所用到的探照灯，是依据“圆锥曲线”原理，利用“旋转物面的曲面”制作而成……由此教师提出两个问题：如果用一个平面去截锥面，那么会得到哪些不同的曲线？实际生活中关于圆锥曲线还有哪些应用？提出问题后，教师组织学生进行实践，用纸张折叠成圆锥曲线，通过画图，思考不同情况下所得到的曲线.待学生整理汇报后，教师可以通过三维模型帮助学生更加直观地看到不同角度所截得的曲线，使其初步了解圆锥曲线中的定比弦问题.课后留出大概5分钟左右的时间让学生思考第二个问题，一方面能够缓解学生紧张的学习过程，另一方面也能发展学生想象能力，提升起学习兴趣.通过导入问题情景，在新课伊始，就使学生留下深刻的印象，后期学习也会更为顺利.

4.4.2 深入探究问题，实现再分析再解决

待学生已经在脑海中构建关于圆锥曲线基本雏形后，教师则可引导学生进一步分析关于圆锥曲线中的定比弦问题，进入到设计子问题部分.教师通过多媒体展示“分点为中点——中心弦”的图形(如图2所示)，并展示不同解法的基础概念.

图2

① 韦达定理法：将直线方程与圆锥曲线的联立，一般消去y，得到x的一元二次方程，韦达定理中有两根之和，中点坐标公式中为二分之两根之和.

② 点差法：设直线与圆锥曲线两个交点为(x1，x2)，(y1，y2)，将其代入到圆锥曲线方程中，因两式形式相同，相减后无常数项，再因式分解，得到直线斜率与中点坐标的一个式子.

教师带领学生分析不同解法的原理后，使其在脑海中对定比弦问题构建知识链雏形，教师再分设问题，让学生根据自己实际情况来选择回答.一是基础层：给予实际例题，让学生用不同的方法进行求解；二是拓展层：推导韦达定理中x1x2、y1y2分别等于多少；三是拔高层：尝试用其他的方式来求解.基础层是所有学生都需要完成的，拓展层、拔高层的问题学生可以尝试解答.教师将学生学习时间分为两个阶段，一是自学时间，二是小组讨论时间，待讨论时间结束后，再以小组为单位进行汇报，师生共同分析学生练习中存在的误区、问题以及出现的错误等，师生沟通构建良好的课堂氛围，同时也能达到拓展的目的.

4.4.3 不同情况再讨论，深入探究新知识

学生学习基本情况，掌握基本算法后，教师开始引导学生深入分析不同的情况，这一部分的教学任务并不轻松，一方面是因为学生在这部分学习的知识点要更难，另一方面在于学生积极性相对减弱.[4]因此，教师在设计问题情景时，需要考虑到学生学习情况，设计能够激发其学习热情的问题.例如，课前导入环节教师展示图2，提出如果以O为原点，向弦AB上画线，可以画多少条？其中那些点比较特殊？问题比较简单，而且沿用学生熟悉的图形，能够在一定程度上减轻学生抵触心理.学生很快便可以分析出除A、B、M点之外，弦AB与x轴存在的焦点也比较特殊，借此教师运用多媒体展示模型，引导学生分析如果焦点为分点时，依然能用韦达定理和点差法来求解直线斜率吗？(图3).

图3

教师所提出的问题也能有效拓展学生解题思路，学生经过分析、画图后，会发现以几何的角度分析会更加直观且简便，达到豁然开朗的效果.通过问题的引入，促使学生仔细感受解题的过程，体会方法的使用条件，发散其思维，最终提升其学习效果.

4.4.4 思维历练，应用强化

学生学习成效最终体现在自主练习、解题方面，从得出结论，到实际应用这一过程教师需要精心引导，从简单的题目开始，学生思考不同结论适用的题型，掌握实际应用技巧，实现活学活用的目的.

例如，学生学习圆锥曲线中的定比弦问题所得到的结论是关于数式之间的关系，在实际求解时需要灵活变式，教师则需引导学生具体问题具体分析，根据实际问题、已知条件等变换关系式，就像针对焦点为分点求解直线斜率时，需构建倾斜角与余弦值的关系，求离心率则需转化为关于离心的关系等.[5]此外，教师也可以此教学模式为基础，拓展圆锥其他曲线(如，双曲线、抛物线等)关于定比弦问题的求解，达到一打三的学习效果.

5 结束语

圆锥曲线中的定比弦问题综合性较强，涉及到位置关系、向量条件以及几何图形等，对学生分析能力、推理能力等有一定要求.教师应以问题为基础，有意识的引导学生从问题中总结知识点，结合探究过程，使学生在猜想、验证中发散思维，突显问题情景的价值，也强化学生学习积极性和有效性.