2n+1维Heisenberg李代数自同构群的分解

周春莹，任 斌

（苏州科技大学 数学科学学院，江苏 苏州 215009）

自同构是李代数结构理论研究的重要部分，这方面已有了许多研究成果[1-15]。Heisenberg李代数是一类重要的幂零李代数，但长期以来其自同构的研究进展缓慢。2007年张海山等在文献[8]中针对Heisenberg李代数的两种定义形式，分别讨论了在定义1形式下自同构的充要条件，在定义2形式下自同构群的结构。在此基础上，文献[15]中作者用矩阵的表达方式对定义1形式下的Heisenberg李代数自同构群的结构做了进一步探讨，得到了5维Heisenberg李代数自同构群的分解结构。笔者巧妙利用分块矩阵的初等变换，对定义1形式下2n+1维Heisenberg李代数的自同构进行了研究，刻画出了自同构群的分解结构。

文中所讨论的Heisenberg李代数都是复数域上的。

1 基本概念和性质

定义1[9]设N是域F上的李代数。若φ为N到自身的可逆线性变换，且满足

则称φ为N的自同构。N的所有自同构构成一个群，称为N的自同构群，记作Aut（N）。

定义2[8]设N是以e1，e2，…，en，en+1，en+2，…，e2n；c为基底的复向量空间，在N中定义李运算[ei，en+k]=δikc，其他基底元素的李运算为0，线性扩充后，则N关于所定义运算作成一个李代数，称为Heisenberg李代数。

对于Heisenberg李代数N，记[ei，ej]=aijc，1≤i，j≤2n，有

这里，I2n表示2n级单位矩阵。记E=（aij）2n×2n，显然

设φ是Heisenberg李代数N上的一个线性变换，则有

引理1[15]Heisenberg李代数N的一个线性变换φ是自同构的充要条件是W矩阵满足以下条件：

2 自同构群的结构

下面将利用引理1中所述充要条件来研究2n+1维Heisenberg李代数N的自同构群的分解结构。

设φ是N上的一个自同构，且φ（e1，e2，…，e2n；c）=（e1，e2，…，e2n；c）W，注意到分块矩阵的如下分解

这里，Ai表示n级矩阵，Bj表示1行n列矩阵。有如下定理：

定理1Aut（N）=GAG1，|GA∩G1|=1，其中GA，G1是Aut（N）的子群，且

证明由引理1易知GA是Aut（N）的子群。

对∀α1，α2∈G1，有

所以α1α2∈G1，易知α1α2=α2α1。又由于

即β=α1-1∈G1。故G1是Aut（N）的交换子群。

显然G1的结构比较简单，而GA的结构比较复杂，下面着重研究子群GA。

为了讨论GA的结构，需要下面的引理。设

引理2[15]G2，G3，G4，G5是Aut（N）的子群。

由引理1中条件（2），即ATEA=kE，有

于是有下列等式

对于子群GA，有如下分解定理。

定理2GA=G5G3G4G2G3G4G5G2。

证明 情形1（|A1|≠0）

由A1TA3＝A3TA1知，A3A1-1=（A1T）-1A3T＝（A3A1-1）T，有

由于自同构的乘积仍是自同构，所以C1＝A4－A3A1-1A2可逆。

由C1TA2＝A2TC1知，A2C1-1＝（C1T）-1A2T＝（A2C1-1）T，有

故此时存在φ3∈G3，ϕ4∈G4，φ5∈G5，使得φ4φ3ϕ=φ5，从而ϕ∈G3G4G5。

情形2|A1|=0，而A2，A3，A4中有一个是可逆的。

此时可分为三种情况，均可通过分块矩阵的初等变换归结到情形1。

当|A4|≠0，由于

等式右端属于情形1。故存在φ2∈G2，使得φ2ϕφ2∈G3G4G5，从而ϕ∈G2G3G4G5G2。

当|A2|≠0或|A3|≠0时，同理可证。

情形3A1，A2，A3，A4均不可逆。

易知Ai≠0，i=1，2，3，4。设A1的秩为r（1≤r≤n-1），则存在可逆矩阵P1，T1使得，有

由B1TB3=B3TB1得

所以有F1=F1T，F2=0，即

从而有

又进行如下变换

注意到故 等 式 右 端 属 于 情 形1。 因 而 存 在φ3∈G3，φ4∈G4，φ5，ψ5∈G5， 使 得φ4φ3φ5ϕψ5∈G3G4G5， 从 而 有ϕ∈G5G3G4G3G4G5。

综上可知GA=G5G3G4G2G3G4G5G2。

3 结语

文献[15]讨论了5维Heisenberg李代数时GA的分解，有GA=G5G4G2G3G4G5G2，可见5维与2n+1维的分解是有差异的。那么此差异的原因从证明过程不难看到5维时的分解过程比大于5维时的分解少一个步骤，由此也清楚了5维情形特殊之处。