主从Cucker-Smale模型的有限时间群体运动行为

黄贤明，周 浩，王 俊，茹立宁*

（1.苏州科技大学 数学科学学院，江苏 苏州 215009；2.江苏科技大学 理学院，江苏 镇江 212003）

近年来，多个体系统的群体运动受到生物学家、物理学家、控制学家以及数学家越来越多的关注[1-8]。笼统来说，群体运动行为描述如下现象：自驱动粒子群只使用有限的环境信息和简单的规则，就可以实现同步运动。在众多一致性和群体运动模型中，笔者着重研究由Cucker教授和Smale教授提出的模型[9-10]。在该模型中，每个个体通过自身以及其他个体的速度差来调整该个体的速度。在对称Cucker-Smale（简称C-S）模型中，存在一个特别重要的参数β来刻画群体运动行为的发生：当0≤β＜1/2时，无条件群体运动行为发生；当β≥1/2时，条件群体运动行为发生，且条件只与初始位移和速度有关。在文献[11-12]中，对于连续C-S模型以及离散C-S模型，研究者分别证明了当0≤β≤1/2时，无条件群体运动行为发生。该模型有广泛的应用价值，例如Perea等人[13]把该模型作为系统的控制项，应用于达尔文计划中的各种航天器飞行编队。

C-S模型一经提出，就受到众多研究者的关注，比如，Ha等人[14-15]研究了在加性噪声和乘性噪声下C-S模型发生群体运动行为；Dalma等人[16-18]研究了随机故障下的离散C-S模型。Shen[19]首先把等级结构引入C-S模型。在等级C-S模型中，个体之间的相互作用是有方向的，即等级高的个体只对等级低的个体有影响。随后，Li等人[20]研究了具有自由意志的等级C-S模型的群体运动行为。在文献[21]中，Li和Xue通过（sp）矩阵研究了具有根结构的离散C-S模型，该模型是等级C-S模型的推广。Dong和Qiu[22]研究了具有生成树的一般有向图下的C-S模型，它是具有根结构的离散C-S模型的推广。在文献[23-24]中，学者研究了全连通C-S模型以及consensus模型在有限时间内发生群体运动行为。受上述文献的启发，刘友权等人[24]研究了主从C-S模型的有限时间群体运动行为。在该论文中，作者假设影响函数有正的下界，也就是说相对位移是一致有界的，然后构造Lyapunov泛函，得到一维主从C-S模型在有限时间内发生群体运动行为的条件。然而对于C-S模型而言，关键之处是速度的演化依赖于实时位置，确定相对位移的一致有界性是该模型的研究困难所在，文献[25]在一定程度上简化了研究问题的难度。那么，在什么初始条件下，未加限制的影响函数有下界？基于此，文中研究多维主从C-S模型的有限时间群体运动行为问题，该模型是一维模型的推广，利用误差模型，证明相对位移有一致的上界，最后证明该模型在有限时间内发生群体运动行为。

1 模型建立及预备知识

受文献[20，25]的启发，文中研究如下修正的Cucker-Smale模型：考虑由N+1个个体组成的系统，其中个体0是领导者。对于剩余的每个个体来说，它不仅受个体0的影响，还受其余N个个体影响，具体模型为

在系统（1）中，xi，vi∈Rd分别表示个体i的位移和速度，α＞0是一个常数。影响函数ψ（s）=1/（1+s2）β，β≥0，是一个非负非增函数，且||·||是l2-范数，即对于y=（y1，y2，…，yd）T∈Rd，有这里，

其中0<θ<1，sgn:R→{-1，0，1}为符号函数。

注在文献[25]中，作者研究的模型的影响函数是有下界的，简化了计算难度。在文献[20]中，Li等人考虑了主从模型的渐近群体运动行为，其中仅有一个领导。受此启发，笔者修改了文献[20，25]的模型，研究模型（1）在有限时间内发生群体运动行为。对于系统（1）而言，右端项是非Lipschitz的连续函数，可以保证方程的解存在。

主从C-S模型在有限时间内发生群体运动行为的定义。

定义1称系统（1）在有限时间内发生群体运动行为，如果该系统满足如下两个条件：

（1）速度的波动在有限时间内趋于0：对于任意的i，j=0，1，2，…，N，以及t≥T0，有||vi（t）-vj（t）||=0，其中T0＝inf{T:||vi（t）-vj（t）||=0，∀t≥T}被称为收敛时间。

（2）位移的波动一致有界：对于任意的i，j=0，1，2，…，N，有

下面给出的两个引理将应用于论文结果的证明中。

引理1[26－27]设a1，a2，…，an是非负实数，若0

引理2[27－28]若可微函数V（t）:[0，+∞）→[0，+∞）满足微分不等式

其中c＞0，0<θ<1，则在[0，t*）内，V（t）≤（V（0）1-θ-c（1-θ）t）1/（1-θ）；且对于t≥t*，V（t）≡0，其中t*≤V（0）1-θ/c（1-θ）。

2 主要结论

为了研究系统（1）的收敛行为，考虑如下的误差系统：令x^i（t）＝xi（t）－x0（t），v^i（t）＝vi（t）－v0（t），则系统（1）转化为

从而，有如下结论：

引理3设是系统（1）的解，则||x（t）||，||v（t）||满足如下不等式

证明对于系统（1）而言，文中定义了在任意时刻的导数，故对于是可导的。又根据欧氏范数的定义以及导数的四则运算法则知，||x^i||，||v^i||是绝对连续的，从而||x（t）||，||v（t）||是绝对连续的，即两者的导数在t∈[0，+∞）上几乎处处存在。

（1）不妨假设当t=t′时，有||x（t′）||=0成立，那么根据||x（t）||的非负性知，||x（t）||在t=t′处取得极小值。若||x（t）||在t=t′处的导数存在，则根据费马引理，有|d||x（t′）||/dt|=0≤||v（t′）||；若||x（t）||在t=t′处的导数不存在，由于||x（t）||是绝对连续的，故||x（t）||的不可导点构成的集合是零测集，因此对于上述的t′而言，集合S={t|||x（t）||的导数不存在且||x（t）||}是不可导点构成的集合的子集，故S是零测集。

下面考虑||x（t）||≠0。一方面，

另一方面，

从而，有

（2）类似于（1），仅需考虑||v（t）||≠0。对||v（t）||2求导，得

类似于I1的推导，对于I2有

又由于0<θ<1，即1<θ+1<2，由引理1知

整理得

所以，代入式（5）

因此

由引理3，可以得到如下结论。

引理4若初始速度和位移满足下式

则系统在有限时间内发生群体运动行为。更进一步说，存在正常数xM使得

证明构造Lyapunov泛函

由引理3可得

故L（t）是单调减函数，从而L（t）≤L（0），即

由已知条件（6）以及ψ的不增性知，存在xM≥||x（0）||，使得

代入式（7）得

进一步，有

由ψ（s）的非负性知

又因为ψ（s）是减函数，代入式（4），有

由引理2知

由定义1知，系统（1）在有限时间内发生群体运动行为。

利用前面的引理，可以得到系统（1）在有限时间内发生群体运动行为。

定理1对于系统（1）来说，若以下条件成立之一：

（1）0≤β≤1/2；

（2）β＞1/2且

则群体运动行为在有限时间内发生。

证明（1）若0≤β≤1/2，有从而满足引理4的条件，故在有限时间内发生群体运动行为。

（2）当β＞1/2时，由条件（8）知初始位移及速度满足引理3，故系统在有限时间内发生群体运动行为。

3 数值仿真

在二维空间中，这节模拟含有7个个体的主从C-S模型，并提供两个关于位移和速度的数值仿真，用以说明定理1的有效性。

对于i=1，2，令Xi=（x0i，x1i，…，x6i）T以及Vi=（v0i，v1i，…，v6i）T。选定初始数据以及参数如下

α=5，β＝0.1，θ＝0.9。由此可知，这些数据满足定理1的条件。

图1描述个体的速度运动轨迹，图2描述||v（t）||和||x（t）||的演变曲线，从这四幅图中，可以得到该系统在有限时间内发生群体运动行为，经过计算发生的有限时间符合定理1的结论。

图1 在t∈[0，0.45]上7个个体的速度（V1，V2）的运动轨迹

图2 在t∈[0，0.45]上||v（t）||和||x（t）||的演变曲线

4 结语

研究了只有一个领导者的主从C-S模型的有限时间群体运动行为问题，在0≤β≤1/2和β>1/2的条件下，分别得到无条件群体运动行为和条件群体运动行为在有限时间内发生，最后用几个仿真示例来说明得到的理论结果的可靠性。对于多领导者的主从C-S模型如何在有限时间内发生群体运动行为将是下一步的研究方向。