有限群的局部化HC-子群①

周红，刘建军

西南大学 数学与统计学院，重庆 400715

本文所讨论的群皆为有限群． 许多学者利用子群的广义正规性来研究有限群的结构，并得到了非常有意义的结果[1-2]． 在这方面，文献[3]引入了H-子群：设H是群G的子群，如果Hg∩NG(H)≤H对任意g∈G都成立，则称H是G的H-子群，并通过H-子群对有限群的结构进行了刻画． 文献[4]对这个概念进行了推广，并定义了HC-子群：设H是群G的子群，如果存在G的正规子群T，使得G=HT且Hg∩NT(H)≤H对任意g∈G都成立，则称H是G的HC-子群． 应用此概念，文献[5-8]研究了有限群G的某些素数幂阶子群是HC-子群时有限群的结构，获得了非常丰富的研究成果．

本文是以上研究的延伸，考虑有限群G的Sylowp-子群P的正规化子NG(P)的HC-子群对群G的影响．

引理1[4]设H和K是群G的子群，

(i)如果H≤K且H是G的HC-子群，则H是K的HC-子群；

(ii)如果N◁_G，使得N≤H，则H是G的HC-子群当且仅当H/N是G/N的HC-子群．

引理2[4]设H是群G的HC-子群，且H是G的p-子群． 如果N是G的正规子群且(p，|N|)=1，则HN与HN/N分别是G与G/N的HC-子群．

引理3设N是群G的正规子群，P是G的Sylowp-子群． 假设P的每个极大子群是NG(P)的HC-子群． 当以下条件之一成立时：

(i)N是P的子群；

(ii)(p，|N|)=1．

则PN/N的每个极大子群是NG/N(PN/N)的HC-子群．

证若N≤P，则由引理1直接验证可得．

现在假设(p，|N|)=1． 令M/N是PN/N的极大子群，则

M=N(M∩P)

|(PN/N)∶(M/N)|=|PN∶N(M∩P)|=|P∶M∩P|=p

故P1=M∩P是P的极大子群． 由已知可得P1是NG(P)的HC-子群，则存在NG(P)的正规子群T，使得

NG(P)=P1T(P1)g∩NT(P1)≤P1

对任意g∈NG(P)都成立． 从而

NG(P)N=(P1N)T

对任意g∈NG(P)，n∈N都成立． 于是P1N是NG(P)N的HC-子群． 由引理1可知，P1N/N=M/N是NG/N(PN/N)=NG(P)N/N的HC-子群．

引理4[4]设N是群G的极小正规子群，且H是N的子群． 如果H是G的HC-子群，则H是G的H-子群．

引理5[3]设H是群G的H-子群． 如果H◁_◁_K≤G，则H◁_K．

定理1设p是群G的阶的最小素因子，P是G的Sylowp-子群． 如果P的每个极大子群是NG(P)的HC-子群，且存在H≤G使得H是G的HC-子群，并满足P′≤H≤Φ(P)，则G是p-幂零的．

证假设结论不真，且设G为极小阶反例，分以下几步完成证明：

步骤1Op′(G)=1．

假设Op′(G)≠1． 根据引理2和引理3，G/Op′(G)满足定理1的条件． 由G的极小性，G/Op′(G)是p-幂零的，从而G是p-幂零的，矛盾．

步骤2 若P≤K

因为

NK(P)=NG(P)∩K≤NG(P)

所以由引理1可得，P的每个极大子群都是NK(P)的HC-子群，且存在H≤K，使得H是K的HC-子群，并满足P′≤H≤Φ(P)，因此K满足定理1的假设条件． 由G的极小性知，K是p-幂零的． 如果NG(P)=G，则由文献[3]的引理2.7得到G是p-幂零的． 故NG(P)

步骤3H≠1．

假设H=1，则P′=1，即P是交换p-群． 由步骤2可知，NG(P)是p-幂零的． 设任意的Q∈Sylq(NG(P))，其中q≠p，那么PQ≤NG(P)，因此PQ是p-幂零的且PQ=P×Q，即Q≤CG(P)． 因为P是交换p-群，所以P≤CG(P)． 由q的任意性得NG(P)=CG(P)． 由Burnside定理知，G是p-幂零的，矛盾．

步骤4G′是p-幂零的．

因为H是G的HC-子群，所以存在G的正规子群T，使得

G=HTHg∩NT(H)≤H

对于任意g∈G都成立． 因为

P=P∩G=P∩HT=P∩T

所以P≤T，从而G=T． 由于P′≤H，且P/P′是交换的，因此H/P′◁_P/P′，故H◁_P． 于是

P∩(P′)g≤P≤NG(H)

又因为P∩(P′)g≤Hg，所以

P∩(P′)g≤Hg∩NG(H)

因此

P∩(P′)g=T∩P∩(P′)g≤T∩Hg∩NG(H)=Hg∩NT(H)≤H≤Φ(P)

由文献[9]的Grün定理，可得

P∩G′=〈P∩(P′)g，P∩(NG(P))′|g∈G〉

根据NG(P)的p-幂零性，可得

P∩G′=〈P∩(P′)g|g∈G〉≤Φ(P)

应用文献[10]的Tate定理，G′是p-幂零的．

步骤5

由步骤4，可以假设B是G′的正规p-补，则B◁_G，这与步骤1的结论矛盾，因此G′≤P． 这时

G′=P∩G′≤Φ(P)

故G′≤Φ(G)，从而G是p-幂零的．

注1

(i)定理1中的假设“H是G的HC-子群”是必不可少的． 例如，令G=S4且P∈Syl2(G)． 因为P=NG(P)，所以P的每个极大子群都是NG(P)的HC-子群，且P′=Φ(P)是HC-子群． 但G不是2-幂零的．

(ii)定理1中的假设“p是|G|的最小素因子”也是必不可少的． 例如，设P是A5的Sylow 3-子群． 显然P的每个极大子群都是NG(P)的HC-子群，且P′=Φ(P)是HC-子群． 但A5不是3-幂零的．

推论1设p是整除群G的阶的素因子． 如果对任意的p，都存在G的Sylowp-子群P，使得P的每个极大子群是NG(P)的HC-子群，且存在H≤G，使得H是G的HC-子群，并满足P′≤H≤Φ(P)，那么G是超可解型的Sylow塔群．

证当p是群G的阶的最小素因子时，G是p-幂零的． 设K是G的正规p-补，显然K满足假设，由归纳法可知K是超可解型的Sylow塔群． 因此G是超可解型的Sylow塔群．

定理2设F是包含超可解群系U的饱和群系，N是群G的正规子群，且G/N∈F． 如果对N的任一Sylowp-子群P，P的每个极大子群是NG(P)的HC-子群，且存在H≤G，使得H是G的HC-子群并满足P′≤H≤Φ(P)，则G∈F．

证假设定理2不真，且设G为极小阶反例． 接下来我们分情况进行讨论：

情形1N是p-群．

假设Φ(N)≠1． 根据

Φ(N)◁_GG/Φ(N)≅(G/Φ(N))/(N/Φ(N))

并应用引理2和引理3，可得G/Φ(N)满足定理2的假设条件． 由G的极小性得G/Φ(N)∈F，故G/Φ(G)∈F，从而G∈F，矛盾． 因此Φ(N)=1．

设L是G包含在N的极小正规子群，容易证得G/L满足定理2的假设条件． 由G的极小性，可得G/L∈F． 不难看出L≤/Φ(G)． 由文献[11]的引理2.6，可以假定

N=L1×L2×…×Ls

这里L1，…，Ls皆是G的极小正规子群． 易证G/Li∈F，其中i∈{1，…，s}． 如果s>1，则

G≅G/(L1∩L2)∈F

因此N=L1是G唯一的极小正规子群． 令N1是N的极大子群，根据假设条件，N1是NG(N)=G的HC-子群． 由引理4可知，N1是G的H-子群． 再应用引理5，可得N1◁_G． 由N的极小正规性得N1=1，故N是p阶循环群． 应用文献[12]的引理2.16，可以得出G∈F，矛盾．

情形2N不是素数幂阶群．

由推论1可得，N是一个超可解型的Sylow塔群． 令q是N的阶的最大素因子，Q是N的Sylowq-子群，则

Q◁_G(G/Q)/(N/Q)≅G/N∈F

显然G/Q对其正规子群N/Q满足定理2的假设条件． 由G的极小性得G/Q∈F，根据情形1可得G∈F． 定理2得证．

推论2对于群G的任一Sylowp-子群P． 如果P的每个极大子群是NG(P)的HC-子群，且存在H≤G，使得H是G的HC-子群并满足P′≤H≤Φ(P)，则G是超可解群．