子群u-覆盖远离性对群结构的影响

陈 秀, 刘 威, 陈 龙, 缪 龙

(扬州大学数学科学学院, 江苏 扬州 225002)

利用子群的正规性刻画群结构是有限群理论中的重要课题之一, 其中关于幂零群有两个经典结果: 1) 有限群G是幂零群当且仅当G的任意极大子群正规[1]; 2) 若有限群G的任意2-极大子群正规, 则G超可解[2]．进一步地, 当|G|的素因子个数大于等于3时,G幂零．围绕子群的正规性, 许多学者对其进行了多角度的推广, 其中子群的覆盖远离性(简称CAP-性质)就是对正规性有意义的推广．称A为有限群G的CAP-子群, 若G的任一主因子H/K满足HA=KA或K∩A=H∩A．该性质首次被Gaschütz[3]研究可解群时提出, 之后, 许多群论学者对其进行了研究, 并得到了许多结果,具体见文献[4-8]．Guo等[9]应用极大子群以及2-极大子群的覆盖远离性, 给出了有限群为可解群的一些特征．众所周知, 超可解群介于幂零群与可解群之间．本文拟在超可解群中引入u-覆盖远离性质(简称CAPu性质), 并应用这一性质用类似刻画可解群的方法有效地刻画p-超可解群以及超可解群．

1 预备知识

定义1设G为群,A≤G．令H/K为G-主因子, 则

i) 若HA=KA,K∩A<·H∩A, 则称Au-覆盖H/K;

ii) 若K∩A=H∩A, 则称A远离H/K;

iii) 若Au-覆盖或远离群G的任一主因子, 则称A为群G的CAPu-子群．

首先通过一些例题进一步说明正规性、CAP-性质以及CAPu-性质之间的关系．由定义1不难看出, CAPu-子群是CAP-子群, 但反之不一定成立．例如: 设G是四次对称群S4．显然,G的主群列为1

另一方面, 由H=K4是S4的正规子群知, 正规子群不一定是CAPu-子群, 同样CAPu-子群也不一定是正规子群．例如: 设G是三次对称群S3．显然G的主群列为1

定义2[10]如果群具有一个不含非平凡块的忠实传递置换表示,那么称为本原群．

定义3[11]若H是群G的某个极大子群M的极大子群, 则H为G的2-极大子群．

引理1(戴德金恒等式)[1]设A、B、C是G的子群, 若A≤C, 则AB∩C=A(B∩C)．

引理2[4]若p是素数,则群G是p-超可解的当且仅当G的任意Sylowp-子群是G的CAPu-子群．

推论1[4]群G是超可解的当且仅当G的任意Sylow子群是G的CAPu-子群．

然而,CAPu-子群不满足引理3中的性质．例如:设G是四次对称群S4．显然G的主群列为1,则LH=A4,通过计算可得,L远离K4/1,Lu覆盖A4/K4,L远离S4/A4, 故L是G的CAPu-子群;A4覆盖但不u-覆盖K4/1,A4u覆盖A4/K4,A4远离S4/A4, 故A4不是G的CAPu-子群．注意到LH/H是G/H的Sylow 3-子群, 由引理2知,LH/H是G/H的CAPu-子群．

证明 设(A/N)/(B/N)是G/N-主因子, 则A/B是G-主因子, 根据L是G的CAPu-子群可知①LA=LB,L∩B<·L∩A或②L∩B=L∩A成立．

由戴德金恒等式, 得(LN/N)∩(A/N)=(LN∩A)/N=(L∩A)N/N．由同构定理, 得(L∩A)N/N≅(L∩A)/N∩(L∩A)=(L∩A)/(L∩N), 故(LN/N)∩(A/N)≅(L∩A)/(L∩N)．

若①成立, 则(LN/N)(A/N)=(LN/N)(B/N)．又(LN/N)∩(A/N)≅(L∩A)/(L∩N),(LN/N)∩(B/N)≅(L∩B)/(L∩N),故(LN/N)∩(B/N)<·(LN/N)∩(A/N)．

若②成立, 则(L∩B)N/N=(L∩A)N/N, 故(LN/N)∩(A/N)=(LN/N)∩(B/N)．

综上可知,LN/N是G/N的CAPu-子群．

引理5[9]有限群G是可解的当且仅当G存在可解的2-极大子群L,且L是CAP-子群．

引理6[9]有限群G是可解的当且仅当G的任意极大子群M是G的CAP-子群．

引理7[9]有限群G是可解的当且仅当G的任意2-极大子群是G的CAP-子群．

引理8[9]有限群G是可解的当且仅当G存在可解的极大子群M, 且M是G的CAP-子群．

引理9[10]若G是本原群,U是G的无核极大子群, 则下列表述之一成立:

i) Soc(G)表示S是G的自中心化交换的极小正规子群, 满足G=US且U∩S=1;

ii) Soc(G)表示S是G的非交换的极小正规子群, 满足G=US, 有CG(S)=1;

iii) Soc(G)=A×B,A和B是G的2个唯一极小正规子群, 满足G=AU=BU且A∩U=B∩U=A∩B=1, 则A=CG(B),B=CG(A),且A、B和AB∩U是非交换的同构群．

引理10(Huppert定理)[11]群G是超可解的当且仅当G的任意极大子群的指数为素数．

引理11设H是群G的2-极大子群．若H=1,则|G|=p2或pq．

证明 设H<·M<·G,因为H=1,故|M|=p．若π(G)=1,则|G|=p2;若π(G)>1,则任意q∈π(G),|Gq|=q(若否,存在q∈π(G),使得|Gq|≥q2, 从而, 存在M1<·G满足Gq≤M1<·G,矛盾)．进而,π(G)=2,若否, 则由阶无素因数平方的群超可解知G可解, 故存在Hallq′-子群H, 满足H≤M2, 其中M2<·G, 这与G的任意2-极大子群为1矛盾,故得|G|=pq．

2 主要成果

定理1群G是超可解的当且仅当G的任意极大子群M是G的CAPu-子群．

证明 ⟹:设A/B是G-主因子．由G超可解可知,A/B是素数阶循环群, 不妨设|A/B|=p(p为素数), 则仅须证明: i)AM=BM,B∩M<·A∩M或ii)B∩M=A∩M成立．以下分B≤M和B≤/M两种情况分别讨论．

情形2B≤/M．必然有A≤/M, 则G=AM=BM, |A∩M∶B∩M|=|A∶B|=p, 故B∩M<·A∩M．

综上可知,M是G的CAPu-子群．

⟸: 假设结论不真且设G是极小阶反例．由引理6可知G可解．

ii) 最后的矛盾．断言Φ(G)=1, 若否, 则L≤Φ(G)．由i) 知G/L超可解, 从而G超可解, 矛盾．此时存在G的极大子群M2, 使得L≤/M2, 进而G=LM2．又L唯一, 故(M2)G=1, 由定义2知G为本原群, 由G可解及引理9知L∩M2=1, 故对于M2的任意极大子群H, 都有L∩H=1．由同构定理知HL/L≅H/H∩L<·M2/H∩L=M2/M2∩L=M2L/L≅G/L, 故HL<·G, 进而HL是G的CAPu-子群, 从而有①HLL=HL,HL∩1<·HL∩L或②HL∩L=HL∩1=1成立．若②成立, 则与L的极小性矛盾; 若① 成立, 则1<·L, 从而L是素数阶循环群, 又G/L超可解, 故G超可解,矛盾．

Guo等[9]证明了G可解当且仅当G存在可解的极大子群M, 且M是G的CAP-子群, 自然可猜想: 若G存在超可解的极大子群M, 且M是G的CAPu-子群, 能否得到G超可解? 若G为四次对称群S4, 则取S4的极大子群S3, 显然S3超可解, 且S3为S4的CAPu-子群, 但S4非超可解, 故上述猜想不成立．

定理2设G是群,P∈Sylp(G)．若G存在p-超可解的极大子群M, 满足P≤M且M是G的CAPu-子群,则G是p-超可解的．

证明 假设结论不真且设G是极小阶反例, 以下分MG≠1和MG=1两种情况进行讨论:

情形2MG=1．由定义2知G为本原群, 由引理9知G=LM, 则G/L=ML/L≅M/M∩L．又M是G的CAPu-子群, 故①ML=M,M∩1<·M∩L或②M∩L=M∩1成立．显然,①不成立．由②得M∩L=1．由P≤M, 知P∩L=M∩L=1, 故Lp=1, 即L为p′-群．又Mp-超可解, 故G/Lp-超可解, 从而Gp-超可解．

注由引理3中例证可知P≤M不可省略．事实上, Syl2(S4)≤/S3且S3为2-超可解群, 但S4非2-超可解．

推论2群G是超可解的当且仅当G存在超可解的极大子群M, 满足|G∶M|为素数且M是G的CAPu-子群．

证明 由引理10可知, 对于G的任意极大子群M有|G∶M|为素数．再由定理1可知,M是G的CAPu-子群．

假设结论不真且设G是极小阶反例．由引理8知G可解, 不妨设|G∶M|=p,p为素数．以下分MG≠1和MG=1两种情况进行讨论:

综上可知G超可解．

定理3群G是超可解的当且仅当G的任意2-极大子群H是G的CAPu-子群．

证明 ⟹: 由G超可解知, 任意G-主因子A/B均有|A/B|=p, 其中p为素数．由戴德金恒等式知A∩HB=(A∩H)B, 再由B在A中的极大性知A∩HB=(A∩H)B=B或A．若A∩HB=(A∩H)B=B, 则A∩H≤B, 进而A∩H=B∩H;若A∩HB=A,则A≤BH, 进而AH=BH, 故|A∩H∶B∩H|=|A∶B|=p, 即得B∩H<·A∩H．综上可知,G的2-极大子群H是G的CAPu-子群．

⟸: 假设结论不真并设G是极小阶反例．显然,G存在非平凡的2-极大子群．若否, 则由引理11可知G超可解, 矛盾．由引理7知G可解．

ii) 最后的矛盾．若Φ(G)≠1, 则G/Φ(G)超可解, 由超可解群系为饱和群系知G超可解, 矛盾．因此只须考虑Φ(G)=1的情形, 即存在M<·G, 使得L≤/M, 由M的极大性知G=LM．由L的唯一性知(M)G=1, 且由定义2知G为本原群．由G可解以及引理9可知L∩M=1, 故G/L=LM/L≅M/L∩M=M, 而G/L超可解, 知M超可解．设M1≤G,M2≤G, 且满足M2<·M1<·M<·G．由G/L=LM/L≅M/L∩M,LM1/L≅M1/L∩M1以及L∩M1=L∩M=1,得G/L≅M/L∩M1．因M1<·M, 故M1/L∩M1<·M/L∩M1, 由此可知LM1/L<·G/L, 进而LM1<·G．同理LM2<·LM1, 得LM2<·LM1<·LM=G．由已知条件LM2是G的CAPu-子群, 得①LM2L=LM2,LM2∩1<·LM2∩L或②LM2∩1=LM2∩L成立．若① 成立, 则1<·L, 得L是素数阶循环群, 因G/L超可解, 故G超可解, 矛盾; 若② 成立, 则L=1,矛盾．