函数思想在“从分数到分式”教学设计中的渗透

李晓娜 周子凡 高然

【摘要】在数学教学中，教师可以渗透一些后续学习会用到的数学思想.本文通过在“从分数到分式”的教学设计中创设情境，在分式有意义、分式值为零的条件的求解过程中渗透函数的“变量对应思想”，发展学生合情推理的能力，渗透函数思想，并利用小组合作交流提升学生小组合作的意识.

【关键词】函数思想;分式;教学设计

一、教材分析

分式在整个初中教材中具有承上启下的作用.分式属于有理式范畴，但和整式有本质的区别，是初中代数部分的重要概念.对于本章的教学，教师应主要借助旧知分数来让学生认识分式的内容，运用类比的学习方法让学生承上启下地理解知识之间的联系和区别.分数与分式有一致的形式，有相似的定义方式、性质和运算规律，学生通过类比的学习方式可得出分式的概念，并通过分数的运算方式引入分式的运算.这为后面解分式方程做了铺垫，也为学习反比例函数奠定了基础.

二、学情分析

学生在小学已经学习过分数的概念和基本性质，因此，通过类比分数的知识，学生会较容易理解分式的相关知识.初二的学生已具有数学知识探索能力，分析归纳能力也逐步增强，同时笔者执教班级的学生数学综合能力较强，对于知识的接受能力及数学演绎创造能力较强，故本节课主要以学生主动探究学习为主.

三、目标分析

1.了解分式的概念，掌握分式有意义和值为零时字母的取值范围.

2.类比分数学习，经历分式概念的形成及探索分式有意义条件的过程，从具体到抽象，从特殊到一般，同时渗透函数思想.

3.通过具体问题的解决，进一步培养学生符号语言的严密性，提高学生数学学习的兴趣和自信心.

四、教学环节

【环节一】类比思考，发现分式

数学游戏：请你任意给出两个整数并相除，商有几种结果？

问题1：计算的结果一定是整数吗？

师生：（总结）两个整数的商不一定是整数.

追问：当两个整数相除的结果不是整数时，如5÷2，怎样表示商？它有什么实际意义吗？

师生活动：结合分数52进行说明.

教师总结思路：引入分数的意义是解决商不为整数的这类结果.

追问：请你任意给出两个整式，商有几种结果？

问题2：计算的结果一定是整式吗？

师生：（总结）类比分数的发展，任意两个整式的商的结果如何？如2x2yz÷xyz（结果是整式），y÷（y+2）（结果不为整式）.

追问：不是整式的商如何表示呢？

师生活动：用yy+2表示所得的商.

追问：你能举出两个整式相除的结果不是整式的例子吗？

教师：（总结）商的结果不是整式时，可用類似分数的方法引入整式相除商的表示方式，即：

两个整数相除商不是整数→一般化→引入分数表示商，

两个整式相除商不是整式→一般化→引入新的式子表示商.

【设计意图】抓住数学运算这一核心，类比分数的运算本质，当两个整式相除结果不是整式时引入分式这个新的概念，让学生在分式的引入过程中体会数系扩充的思想，同时为从分数到分式的一般化抽象提供样例.

【环节二】发现新知，总结归纳

问题1：对于新引入的式子，应该研究它的哪些内容？依据什么样的思路展开研究？

追问：在小学我们学习了分数的哪些知识？是按照怎样的思路和方法研究的？

师生活动：教师引导学生回顾分数的学习思路，类比分数的学习方式“分数的定义—分数的基本性质—分数的运算”的思路，进一步学习一般化的式子——分式，同时渗透研究新概念的一般方式.

问题2：你能尝试给分式下个定义吗？

① 这类代数式有哪些特征？

② 如何定义分式？

师生活动：

（发现其共同特征）AB表示两个整式A，B相除得到的商，并通过比较整式得到B中含有字母的特征.

一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫作分式.分式AB中，A叫作分式的分子，B叫作分式的分母.

类似于“整数和分数统称有理数”，我们把整式和分式统称有理式.

【设计意图】类比分数的学习方式建构分式的概念，同时学习研究分式的一般思路.

【环节三】辨析概念，新知应用

例1 下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？

（1）3x+16;（2）2a（a≠0）;（3）3xπ;（4）3x2x.

分析 （1）是整式;（2）是分式;（3）是整式：π是一个数;

（4）是分式：分式是用形式定义的，不能先变形.

解 整式：3x+16，3xπ;分式：2aa≠0，3x2x.

归纳总结：分式应具备如下条件：

（1）形如AB，且A，B均为整式;

（2）分母B中含有字母;

（3）分母B≠0.

【设计意图】概括分式的本质属性：两个整式的商，分母中含有字母，且分母不为0.

【环节四】合作探究，深化新知

思考：以分式xx+2为例，说说分式与整式的关系，以及分式与分数之间的联系与区别.

师生活动：教师引导学生说出分式表示两个整式的商，分式与整式的区别在于分母中是否含有字母.

追问：分式xx+2中的字母x可以取哪些值？分式和分数之间有什么关系？分式有意义的条件是什么？分式为零的条件是什么？

填表：

x-2-1012…

x+201234…

xx+2无意义-101312…

问题1：对于任意的x值，都能求出整式x+2的值吗？

问题2：对于任意的x值，都能求出xx+2的值吗？

问题3：分式在什么条件下值为零？

归纳总结：分式是分数的一般化，分数是分式中字母取某些值时得到的具体数.分式的值为零的条件是：分母不为零且分子为零.

【设计意图】通过填写表格，让学生直观理解分式的概念.

列表格的第一个目的是着眼于两个“0”时刻的解读.第一个“0”时刻是当x=-2时x+2=0，类比“分数分母不为零分式分母B≠0-20无意义”，进而得到分式有意义的条件是：分式的分母B≠0.第二个“0”时刻是当x=0时x+2=2，“分子值为零、分母值不为零分式值为零”，从而归纳出分式值为零的条件：分子为零且分母不为零.

第二个目的是对分式与分数关系的一个直观解读，同时渗透函数的“变量对应说”的概念，在取值范围内，当x给定任意值时，分式都有唯一的值與之对应，这个值恰好是分数，总结来说，分式是分数的一般化，分数是分式的具体化.

第三个目的是对分式值进行一个整体的分析，从它的大小变化趋势进一步渗透函数思想.

这个环节渗透了从特殊到一般的研究思想，从分数到分式运用了类比的思想，符合学生的认知水平和认知规律.

例2 当x取什么值时，下列各式有意义？

（1）x-3x+3;（2）2x-5x2 ;（3）x-2x2-4.

例3 当x取什么值时，分式x-4x-4的值等于零？

解 分式|x|-4x-4的值等于零的条件：x-4≠0 ①，|x|-4=0 ②，

由①，得x≠4，

由②，得x=±4.

故当x=-4时，分式|x|-4x-4的值等于零.

注：一般地，称一个式子为分式时，就隐含了分母不等于零的条件.

拓展练习：

1.如果分式63a-5是负数，则a的取值范围是.

2.x取何值时，代数式11+11+x有意义？

3.分式2x+1x2-4x+4中x的取值范围是.

【设计意图】通过例题的讲解使学生进一步理解和掌握分式有意义的条件以及分式为零的条件，同时与上一章因式分解、七年级绝对值内容进行有机融合，提高学生对知识的纵向理解.

【环节五】课堂作业，自我评价

1.下面的式子中，哪些是分式？

3x2-1，3000300-a，27， VS，S32， 2x2+15，45b-c，x2-xy+y22x-1.

2.当x取什么值时，下列各式有意义？

（1）2x-5x-3;（2）xx2-1;（3）2xx2+3.

3.当x取什么值时，下列各式的值等于零？

（1）2x-3x+2;（2）xx-1;（3）x-1x-1.

【环节六】课后反思

“从分数到分式”是人教版八年级上册中的教学内容，初中生在小学已经学习过分数的概念和基本性质，因此，类比分数的知识学生较容易理解分式的相关知识.笔者执教班级的学生数学综合能力较强，已具有数学知识探索能力及分析归纳能力，对于知识的接受能力及数学演绎创造能力较强，故本节课中可以学生为主体，让学生动口、动脑积极思考.通过本节课，无论是在实际教学实践方面，还是教学理论指导方面，都使我受益匪浅.下面，笔者将从备课准备以及授课结束两个方面谈一下自己的感受.

在备课准备的过程中，笔者有以下收获：

1.为了进一步了解学情，了解这一阶段学生的认知规律及特点，笔者精心研读了数学课程标准和皮亚杰的认知规律，进一步了解了学生思维逻辑的发展过程，知道了学生知识形成所经历的过程是从具体运算阶段到形式运算阶段，是从具体的图表演示转变为抽象的思维概括，这些都为笔者本次教学及今后的教学提供了重要的理论指导，知道了如何按照当前学生的心理和认知特点进行教学.

2.对于数学教学本质的理解：通过磨课、研课，笔者看到了数学是思维发展的呈现，上课的过程既是学生思维发展训练的过程，也是教师进一步理解知识本质、不断成长的过程.本次课程打磨的过程使笔者从数学更高的层面看到了数学教学应该具备的要点：重在思维，把握本质，突出重点，突破难点，由易到难，层层深入.

3.对于情感与态度方面的理解：笔者渐渐理解了数学教学不仅仅是知识和技能、过程与方法的教学，更体现在情感、态度上，适时地对学生的表现给出表扬和赞赏，会让学生体验到数学学习的乐趣，体会到成功.我们不仅要在课堂上落实学科知识，更要发挥学科的育人功能，落实学科素养对于数学学习的更高要求.

4.对于板书设计的理解：板书是课堂内容的精髓，是课堂重难点及课堂逻辑思维的展现.在板书设计方面，笔者深刻领悟到了板书示范作用的重要性，慢慢学习到了如何通过板书展示本节课的重难点，以及如何有效利用板书展现整节课的逻辑思维过程.但是笔者的板书还有待加强，字迹的工整程度还需要练习.

四、总 结

本节课的教学设计通过实际的检验，成功及不足之处有以下几点.

1.在课堂引入方面，类比分数引入本节课的主要内容“分式”，调动了学生的积极性，学生已有认知得到了充分体现，并自主总结，从而引出了本节课的主题“分式”.

2.教学时通过几个问题展示分式概念生成的过程，它类比分数的引入、数域的扩充对本节课的知识进行生成，对学生进行提问、追问，并引导学生成功解决了问题，让学生初步体会了概念学习的一般规律以及对新事物学习的一般思路.我们学习的过程是：定义—基本性质—运算，而本节课只需完成第一步概念的学习.在完成例1的过程中，学生如预设的一样出现了障碍，对于3x2x是否为分式出现了分歧，说明学生在思维和认知上还存在差距.笔者趁机引导，进一步强调定义中“分母中含有字母”这一特点，同时完善定义，对在定义教学过程中设置的“障碍”进行处理.在质疑、讨论到完善认知的过程中，学生慢慢学会了自己提出问题并解决问题，得出了完整的分式的概念以及判断分式的方法.在此过程中，学生体会了从“特殊到一般再到特殊”的数学思想，也锻炼了学生提出问题能力、解决问题能力及基本的表达能力.

3.在分式的值为零的条件的探究中，笔者主要设置了三个问题，这个环节是本节课至关重要的一环，这里利用表格数据的填写计算辅助学生完成问题的解答.在这一过程中，学生探究了分式值为零的条件及相关延伸，并突出对分式与分数关系的一个直观解读，同时渗透了函数的“变量对应说”的概念，在取值范围内，当x给定任意值时，分式都有唯一的值与之对应，这个值恰好是分数，也就是分式是分数的一般化，分数是分式的具体化.

4.在例2、例3的学习中，学生能运用思考环节得出的结论进行例题的解决，但笔者也从做题的过程中发现了学生的薄弱环节，动脑不动手，过程不够严谨，大部分学生直接写出答案，没有知识生成的过程，同时由于没有手写的过程出现了计算上的失误.

5.本课的课堂小结不仅体现了知识层面的收获，更注重了数学思维方法的渗透，最后由学生通过做题来检验自己本节课的学习成果，对自己的学习进行评价.在自评中，学生体验到了数学学习的乐趣和主人翁地位，很好地体现了新课程标准对于情感、态度与价值观的展现，使数学课堂不仅仅是教师的课堂，而成为学生思维的主战场.最后教师对整堂课给予客观评价，激励学生学习的信心，让学生看到自己思维的价值.

6.分数到分式的教学过程，让学生站到了主人翁的地位.随着教师的引导，学生逐渐理解了数学学习的方式方法，即数学学习实际上有一条暗线——知识的逻辑生成过程以及旧知的铺垫，从学习中体会到了学习的乐趣，获得了丰富的果实.

【参考文献】

[1]钱佩玲.中学数学思想方法[M].北京：北京师范大学出版社，2008.

[2]波利亚.怎样解题[M].阎育苏，译.北京：科学出版社，1982.