一道中考压轴题的解法探究

赵霞

【摘要】2019年娄底市中考压轴题是一道比较综合且复杂的大题，涉及了函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合等四大数学思想方法，其（2）（3）问还涵盖了动点问题，彰显了题目的开放性与灵活性.本题除了考查学生对基本知识、基本技能的掌握情况，还考查学生分析问题、解决问题的能力.文章主要对此题（1）（2）问进行了多种解法的探究，并对每种解法进行了相应的分析，旨在不局限于常规思维，培养学生思维的发散性.

【关键词】中考压轴题;动态几何;一题多解;解法分析

三、解法分析

（一）第（1）问解法分析

解题思路：因为抛物线参数a，b，c是未知的，所以求得a，b，c便可解得此题.

解法一，抛物线为y=ax2+bx+c，又因为过A，B，D三点，所以可以构造三元一次方程组，用待定系数法去求二次函数的解析式，由三个未知数列三个方程，便可求得a，b，c，从而可以得到抛物线的解析式.

解法二是先根据抛物线对称轴与两根的关系列出等式，解得b=-2a，从而使抛物线解析式变为关于a，c的二元一次方程，即y=ax2-2ax+c（x，y看作常数，b用含a的表达式代替），达到了消元的目的，此时还剩两个未知数a，c，如解法一，继续用待定系数法将B，D两点代入，解关于a，c的二元一次方程组，最终求得解析式.

解法三前面同解法二，再根据抛物线根与系数的关系进一步达到消元的目的，使抛物线解析式变成关于a的一元一次方程.解法一到解法三是方程从三元一次方程到二元一次方程，再到一元一次方程，体现了将方程由难变易、由多元到一元的转化，运用了转化与化归的数学思想方法.

解法四则体现了更深层次的解题思路，因为抛物线过特殊点（零点）A和B，因而可根据“交点式”直接设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），将点D代入，直接得到关于a的一元一次方程，解得a，最终求得抛物线解析式.此解题思路体现了思维的转化，涉及了解题的基本方法，即综合法与分析法.

以上各种解法都有其自身的特点，但都体现了一点，即用待定系数法求其抛物线的解析式.学生碰到此类型题时，不能仅仅局限于解法一与解法四这种常规解法，可尝试应用自己已学的知识，根据已有的知识结构去积累更多的新的解题经验，比如在遇到问题时，可多动脑，勤思考，认真去探索如何才能成功求解，且在解决问题的过程中尝试一题多解，从多个角度去探究，不仅要掌握解题过程的具体步骤，还要能分析出为什么这样做以及其中蘊含的数学思想方法.

（二）第（2）问解法分析

此问涉及动点问题以及分类讨论的思想，主要考查动点与静态点所构成的三角形面积最大值问题，此外，还需确定点在运动变化过程中与图形相关的某些量.解决此题的关键是先找准△POD的底和高，再求出面积最大值.第一步可将重点放在题目的前提条件，因题目强调了点P在直线OD下方，因而可先通过直线OD与抛物线的交点求出点P横坐标的取值范围，为后面最值的讨论提供一定的取值依据，体现出数学的严谨性.第二步找到静态点所构成的静态线段，也可分析静态点与动态点所构成线段，将其作为三角形的底边，再去确定相应底边上的高.基于此，可设出动点P的坐标，根据两点间的距离公式求出△POD静态或动态线段的长度，根据点到直线的距离求出底边上的高，利用三角形面积公式S=12×底×高列出等式，最后探索等式右边满足什么样的条件时S有最大值.

本问因说明点P在直线OD下方，所以第一步应先求出动点P的取值范围，再考虑△POD中线段OD的长度是固定的，因而可将线段OD视为△POD的底边，最后找到底边上高的最大值便可求解.

解法一是从点到直线的距离的定义出发，求点P到直线OD的距离（△POD底边OD上的高）即为点H到直线OD的距离.求得距离是关于m的二次函数，图像为开口向下的抛物线，且顶点横坐标在动点P的取值范围之内，因而顶点纵坐标为距离的最大值，从而求得三角形面积最大值.

解法二是观察法与分析法的结合，分析底边OD上高的最大值，观察图像，将直线OD往下平移至与抛物线相切时，高最大，则△POD面积最大，体现了数形结合的思想方法.

而解法三与解法四主要是分析静态点与动态点所构成线段的关系，把动态点、动态线段当成已知点、已知线段，主要依据是三角形三边都可以作为三角形的底边，再求底边上对应的高，代入三角形面积公式，最后把得到的二次函数进行分析，便可求出△POD面积的最大值.

解法五是根据△POD可以拆分成△POG与△OGD，类似于以上解法可求解，本解法是找到两个三角形共同的底边OG，再分别求相应的高，列式分析即可.

以上五种解法都离不开三角形的面积公式，要想知道面积最大值，相应地要知道底边乘以高的最大值.求解此问题的难点在于如何求解三角形的底边和高，即能否实现几何问题向代数问题的转换.解此题最容易忽视的是确定动点P的横坐标的取值范围，是否能取到最值与是否符合题意息息相关.因此，解决此类题目时，要学会认真审题，分析题目隐含条件，从而把隐含条件展现出来，看是否能为最终的证明提供一定的引导.

（三）第（3）问解法分析

本问考点主要涉及分类讨论、数形结合的思想方法.依据题意，要使△OBE与△ABC相似，则△OBE与△ABC的三个角都对应相等.很显然，∠OBE=∠ABC，则三角形各自剩下的角对应相等有两种情况：①∠BOE=∠BAC，∠OEB=∠ACB，则点O与点A、点B与点B、点E与点C对应，即△OBE∽△ABC;②∠BOE=∠BCA，∠OEB=∠CAB，则点O与点C、点B与点B、点E与点A对应，即△OBE∽△CBA.再根据三角形相似的概念，有对应边对应成比例，根据已知线段求未知线段OE，BE，设出点E的坐标，再根据勾股定理列出方程组，便可求出点E的坐标，从而可以求出直线OE的解析式，而点Q是直线OE与抛物线的交点，联立可得点Q坐标.解决此题的关键是点Q为直线OE与抛物线的交点，要想求得点Q，便要求出直线OE的解析式，进而求出点E的坐标，这里体现了逆推的思想.

四、启示与思考

一题多解主要是培养学生的发散性思维.在教学过程中，教师不应只局限于一种解法，限制学生思维的发展，而应当结合前后知识点强化学生的思维.这样不仅能帮助学生温习旧知，搭建桥梁，建立起新旧知识的联系，同时锻炼了学生的智力，使其体会到解题的快乐.教师在教学过程中也应结合学生的认知发展，重视学生知情意行的培养以及函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合等思想方法的渗透，培养学生良好的数学学习习惯.

【参考文献】

[1]李加禄.抛物线中三角形面积最大值问题的解法攻略[J].数理化学习（初中版），2020（2）：41-44.

[2]任永生.一道中考数学动点问题解析[J].新课程，2020（23）：236.

[3]李玉荣.从一道中考题的解法谈起[J].河北理科教学研究，2019（1）：8-10.