曹彬
1 问题的提出
在涉及椭圆、双曲线、抛物线方程与性质的题中,直线与圆锥曲线的位置关系题是高考的热门考点之一,一般会出现在解析几何题的第(2)问.分析近五年全国高考数学理科试题I、Ⅱ、Ⅲ卷,从2016年到2018年,这种题的常规解题过程都是设直线方程,再设直线与圆锥曲线交点,联立直线与圆锥曲线方程,于是根据根与系数的关系得出交点的坐标关系式,再将结论转化成上述关系式求解,这就是用“设而不求”思想的解题过程,整个过程需要高强度的计算和清晰的逻辑思维为支撑.正因如此高三师生更愿意将这个过程程序化,而后在复习备考阶段,将大量的精力放在研究“设而不求”的程序上,并希望借此程序写得更多,走得更远,
近5年的高考试题统计表明,2016年至2018年的解析几何试题的考查的确较为关注“设而不求”解题思想的直接运用.但是从2019年开始,“设而不求”解题思想悄然发生变化,尤其理科I、Ⅱ卷的解析几何题的第(2)问不仅要设点的坐标,而且要表示或解出点的坐标,淡化二次方程根与系数的关系应用,考查重点由过去的逻辑推理转变为数学运算素养,2020年全国高考数学理科试题I、II、III卷更是如此.命题趋势的变化必然带来学习方式的转变,下面以2020年高考全国III卷理科20题为例,谈谈这类题的分析和解答过程.
为验证满足条件的点P是否存在,利用几何画板软件,动态展示图象变化过程,最终猜想满足条件的点P有几个.
建立坐标系,任作一个焦点在x轴上的椭圆,在椭圆外的x轴上任取一个点,过该点作x轴的垂线,在垂线上任取一点Q,设椭圆与x轴的左右交点分别为A,B,以点B为圆心,线段BQ为半径作圆,设圆与椭圆的一个交点为点P,度量∠QBP的大小,此时只是保证BP= BQ,需要使?∠QBP= 90°的点P才满足条件,
应该注意到,上述的求解思路将“设而不求”演化成了“设而求出”.
4 结论
基于上述分析可以看出,求解第(2)问时,需要把各点坐标都解出具体数值的有力证据就是同时满足|BP|=|BQ|和BP⊥BQ的点P,Q只能是四种情况.在加强考察学生计算能力,培养学生数学运算素养背景下,高考解析几何题的考查方向在悄然发生变化,延续多年的“设而不求”过程穿插着“设而求出”,韦达定理的应用不再是高考解析几何题的唯一解题出路.这意味着,平时教学(尤其是高三復习),应加强训练多元方程组的求解,迎接高考题的这些变化.
参考文献
[1]杨玉明,高考数学解析几何命题的探究[J].新i果程,2020 (33):237