“三局二胜制”获胜概率辨析及拓展猜想

张国坤

转述高中数学人教A版教材选修2-3 P59习题2.2B组第1题如下：“甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？”

教学参考书给出解答如下：

“每局比赛可以看成是相互独立的，所以甲获胜的局数x是随机变量，x服从二项分布.

但在“采用3局2胜制”的实际比赛中，可能甲连胜两局或连输两局就结束比赛，因此怀疑上述“教参”解法不一定正确，按实际比赛情况计算如下：记“采用3局2胜制”的比赛中甲胜为事件A，其中甲通过前2局赢得比赛为事件4，甲通过3局赢得比赛为事件A2，则A1与A2互斥，

两种算法在数值上是相等的，这是偶然还是必然呢？

再看“采用5局3胜制”的比赛，记甲胜为事件B，其中甲通过前3局赢得比赛为事件B1甲通过4局赢得比赛为事件B，甲通过5局最后赢得比赛为事件B3，则B1，B2，B3两两互斥，

从两种局制的两种算法分别相等的结果来看，两种算法内部可能具有必然的本质的“相等”联系.

因此，两种算法结果相等是必然而不是偶然.

考虑一般情况，假设甲、乙两者比赛中甲每局胜的概率均为p，记1-p=q.在甲、乙两者采用“2n+1局n+1胜”赛制的比赛中，求甲胜的概率.

笔者列举了许多特例验证，这个等式都是成立的，但没能从理论上给出严格的逻辑证明，希望读者能够给出证明，

从比赛活動的实际需要分析，如果甲在前n+1局中连胜而赢得了比赛，但出于观赏或训练的需要，后面再进行n局比赛（补足2n+l局）…不管前多少局甲赢得比赛，都安排把局数比足2n+1局，后面补充的比赛并不影响甲获胜的结果（也不影响概率）.对赢得比赛来说，甲胜n+2，n+3，，.，2n+1局都是不必要的，只需胜n+1局即可.这样一来，两种计算方法“合情合理”地要相等，因此猜想肯定是正确的，组合等式.