微探究 微创新 彰素养 促教改

郑丽生

《教育部关于加强初中学业水平考试命题工作的意见（2019年版）》[1]提出，试题命制一是要考查学生基础知识以及基本技能的掌握情况，二是要检验学生是否具备良好的思维过程、是否拥有创新的意识，以及学生是否掌握了分析和解决问题的能力.2020年福建省中考数学试卷考虑到今年突发疫情对教育方方面面都产生了影响，因此试题素材的选择和试卷难度进行合理选择和科学控制;同时，试卷命制既需要兼具基础性和合格性，又注重创新性、综合性以及应用性.2020年中考第16题主要特点：微探究，微创新，彰素养，促教改.

1试题特点分析

1.1原题呈现

（2020年中考福建卷.16）设A，B，C，D是反比例函数y=k/x图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD可以是平行四边形;②四边形ABCD可以是菱形;③四边形ABCD不可能是矩形;④四边形ABCD不可能是正方形.其中正确的是____.（写出所有正确结论的序号）

1.2 试题取材和立意

试题源于福建中考统一命题的前三年第16题的反比例函数和平行四边形的综合问题.2020年的试题核心点和方法相对稳定，试题进行微探究，首次出现不定项选择，体现了创新性、发展性、导向性，促进教学改革.

1.3 试题分析

本题是典型的反比例函数与特殊四边形综合问题填空压轴题，以函数为情境几何存在性探究拓展题.题目给出反比例函数图象上的任意四点A，B，C，D，要求探究四边形ABCD可以是哪些特殊四边形;四个选项层层递进，又有一定的联系.

从知识层面来看，本题核心知识主要有两块：反比例函数和平行四边形，为几何图形叠加反比例.考查了以下几个点：（I）反比例函数性质、图象的认识.（Ⅱ）特殊平行四边形判定、对称性的掌握，对特殊四边形包含关系（如图1）的理解.（Ⅲ）命题与否命题的理解.（Ⅳ）直线和反比例函数图象的交点应用.（V）初、高中的数学知识及思维的衔接.

从试题结构呈现上看，本题共有四问，四问之间有一定的逻辑关系（如图2），演绎归纳，注重螺旋式上升.第①问判断四边形ABCD是否为平行四边形，难度小，入口宽，通过学生最熟悉的基本试题图形，应用反比例函数图象与平行四边形的中心对称性，当对称中心重合时，可得结论成立.目的在于检测学生是否很好掌握了平行四边形判定.第①问在于启发，其定位是通过应用四边形对角线关系引导考生进行判断，挖掘其蕴含的基本结论寻找解题思路.反思2017年第16题，本题的第③问是2017年福建中考第16题的一个发展，解题的突破口也是对称性.第①和③问着眼基础图形，关注通性通法，给了学生亲切感，增强了解题信心.第②和④问可作图直观判断或者反例法.

从数学思想能力上看，本题的呈现形式从一般到特殊的变化过程，发现反比例函数与平行四边形之间的特殊关系，提出问题.整个过程体现了归纳、理解、应用、拓展的探究型学习过程.试题着眼学生的演绎推理、合情推理、类比归纳推理能力，关注化归、数形结合、转化、集合思想，关注动手能力.除此之外，要求学生具备应用和创新的意识，

从数学核心素养上看，本题旨在引导学生应用数学的视角思考教材的延伸问题，关注对学生分析和解决问题的能力评价.试题设置学生已有的知识情境，指引考生在关联的情境中抽象出未知的性质，接着引导探究特殊四边形存在性的过程，从多个角度理解反比例函数性质，并用数学思维来分析和解决问题，这体现了对数学运算、论证素养的考查.这题优秀之处在于：以学生未来成长为立足点;关心数学的本质;考查学生自身数学的学科核心素养的高低;解决试题需要综合运用多种数学素养.

2 解题分析

从代数方向进行解法分析：解决反比例函数问题主要关注[2]：（I）k的几何意义.（Ⅱ）轴对称性（两条对称轴），中心对称（原点是对称中心）.（Ⅲ）与一次函数相关联（解方程组、韦达定理、根的判别式）.应用代数法，借助建立坐标系，把几何问题中需要判断的线段长度，计算角度，通过坐标计算来解决.

（4）因为四边形ABCD不可能为菱形，所以第④问四边形ABCD不可能是正方形正确的.

从几何方向进行解法分析：在应用几何法时多方面思考，不同角度出发作出辅助线帮助解题.根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理的一个共同要素对角线，利用反比例函数的对称性，画好图形，结合反例法.反比例函数的对称性知识是解题的关键.

由图6可知本题考查反比例函数的对称性，要构成平行四边形一定要对角线经过原点，所以平行四边形是有可能的，矩形只要在平行四边形的基础上加上对角线相等即可.如图7，以O为圆心画一个圆，使圆与反比例函数有四个交点.但菱形和正方形的构成还需要对角线互相垂直.所以由图4可知，要四个点都在反比例上，对角线垂直的情况下，一条对角线在一、三象限的话，另一条对角线在二、四象限，如图8，所以菱形和正方形都不可能存在.

3试题拓展延伸

（1）可以把己知改为“纯几何”条件进行探究.将己知条件反比例函数y=k/x图象改为在矩形四条边，已知M，N，P，（分别是任意矩形ABCD四条边上的点（不与端点重合），探究的四个结论不变，那么第①②③结论通过作图直观操作得到结论（如图9-11），第④结论用反证法可得结论.

（2）改变己知条件，同时四个结论可以更深入一步.将己知条件反比例函数y=k/x图象上改为在矩形四条边上，探究结论特殊平行四边形存在性个数问题.解题思路类似.

（3）可以把已知条件反比例函数背景进一步的拓展探究，把己知条件反比例函数拓展为同一条抛物线或者同一个圆，结论特殊平行四边形存在性变为直角梯形存在性.直角梯形ABCD的四个顶点在同一条抛物线上、一个反比例函数的图象上.通过作图操作（如图12，13）观察与函数图象的另外两个交点，发现结论.直角梯形ABCD的四个顶点在同一个圆上.应用反证法，根据圆周角定理（如图14）得四边形ABCD是矩形.

（4）由几何存在性增加平移条件转为代数求解算证探究.例如，已知双曲线y=k/x（k>0）与其中对称轴（直线y=x）直线交于A，B两点（点A在第三象限如图15），将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A;将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于P，Q两点，求PQ的长.应用对称性，探究多种解法.

4 基于核心素养考查，反思教学改革

2020年的这道题是基于“数学核心素养”的微探究试题.近几年备受重视，考出了学的水平，也考出了教的质量.这类试题考查学生对题目的理解、思考解题的能力以及将思路归纳总结为结论的表达能力，最显著特征为创新性，也是数学学习中最有价值的体现.基于试题发展趋势，再结合学生这题出错的原因，反思我们的教学，是不是过多地关注刷题的数量、题型、模式，而不是对知识本质的剖析与运用缺乏对一类问题在思维、方法、思想上的归纳、总结、抽象、概括，“读思达”教学法真正以“核心素养为导向”，将注意力放在学习的过程和关键环节上.在教学实践中尝试开展课题型微探究活动，指引学生实现建构化、合作化和体验化的学习.运用有结构和逻辑的课题型微探究帮助学生逐步养成良好的思维方式和探究问题的能力，与此同时助力学生建立系统化的数学知识、技能，使得学生能够拥有更加成熟的理性思维.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部教育部，教育部关于加强初中学业水平考试命题工作的意见（教基[2019] 15号）[EB/OL].（2019-11-22）.http：∥www.moe.gov.CI“

[2]反比例函數k的几何意义专项练J题[EB/OL].（2019-9-2）.https：//wenku.baidu.com/view/7bfa07f9d5bb fdOa795673 72 .html