课程思政元素融入线性代数的教学研究

张林丽 张晶晶 刘德兵 原乃冬

【摘要】逆矩阵是线性代数中一个重要的数学概念，本文基于加密电文的破解问题，运用问题驱动法和类比法构造出逆矩阵概念，激发学生的爱国热情，培养学生的创新能力;利用研究式、类比式和启发式的教学方法推导出矩阵可逆的充要条件和可逆矩阵的性质，培养学生科学严谨的态度，引导学生树立正确的人生观，提高学生提出、分析、解决问题的能力以及在学习中发现规律和总结规律的能力;运用启发式教学，探讨逆矩阵在求解矩阵方程和在保密通信中的应用，引导学生行事做人要遵纪守法，提高学生学习的兴趣和应用知识解决实际问题的能力.本案例将课程思政元素与线性代数知识相结合，实现了在教学中立德树人的任务.

【关键词】 线性代数;逆矩阵;课程思政元素

【基金项目】本文系海南大学教育教学改革研究项目（项目编号：hdjy2150，hdjy2074，hdjy2106）;海南省高等学校教育教学改革研究项目（项目编号：Hnjg2021ZD-7）;海南大学应用科技学院教育教学改革研究项目（项目编号：HDYKJG202001，HDYKJG202005）.

线性代数是非数学类专业本科生学习的一门公共基础课程，具有内容抽象、知识点多和逻辑严密等特点.为了提高学生的学习兴趣，许多学者围绕线性代数教学设计进行了研究[1-4].2016 年，习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上提出了“各类课程与思想政治理论课要同向同行，形成育才育人协同效应”之后，各高校纷纷开展关于课程思政的研究.教师在线性代数课程教学中恰到好处地增加一些思政元素，通过课程教学的精心组织和实施，既可以向学生渗透数学概念、公式、定理的形成和发展脉络，培养学生严谨务实的认识论和科学观，又可以从知识点中发掘哲学思想与元素，将一些理论内容与折射出的科学精神相融合，帮助学生树立正确的人生观、价值观和世界观，成为全面发展的高素质应用型人才.目前，一些研究者在这一领域进行了部分探究，指出了课程思政元素融入线性代数的必要性和重要意义[5-7].但是目前对课程思政元素融入线性代数的研究大都着眼于理论研究层面，如何将课程思政元素融入线性代数课堂教学中，如何将课程思政落到实处仍需要进一步探索[8].以學生为中心的教学设计，强调的是学生的主体地位，将以“教”为中心变以“学”为中心，可以提高学生学习的积极性和课堂学习效果.本文以逆矩阵这一节教学内容的讲授为例，以学生为中心进行教学模型的合理设计，实现了线性代数教学中思政元素的融入，达到了于润物无声中立德树人的教学目标.

一、课题引入

播放电视剧《永不消失的电波》中解密电文的一个片段，视频播放完后，教师讲解到：

为了保密起见，我们在发送电文时需要对电文加密，接收方再对其解密就能知道原电文的意思.以密码学中的希尔密码为例，其加密方式为：26个英文字母“A-Z”一一对应于自然数“1-26”.比如：我们要发送一份内容为“A B C”的明文电文，一般先使用列矩阵X=（1，2，3）T来表示它，X称为明文矩阵;加密的方法是在X的左侧乘以矩阵A，A称为加密矩阵.设加密矩阵A=111011101，则B=AX=6，5，4T就是收到的密文矩阵.很显然，已知加密矩阵A和密文矩阵B，要解密得到明文矩阵X就是求解矩阵方程AX=B.今天，老师也给同学们发来一封密信：B=988565775580160119145，秘钥是：ABC BBA CDC，请猜猜老师想对同学们说什么呢？想成为密码大师吗？就让我们一起来学习如何利用逆矩阵破解加密电文.

设计意图：教师采用问题驱动法，将如何破解加密电文的问题作为引入，激发学生的学习兴趣.《永不消逝的电波》是一部战争题材的影视剧，电视剧片段的播放能激发学生的爱国热情，我们现在的幸福生活是无数烈士用生命和鲜血换来的，从而勉励学生“不忘初心，牢记使命”，为祖国的繁荣昌盛而努力奋斗.

二、逆矩阵的定义

上一节的知识内容利用待定系数法求矩阵方程AX=B的解时很麻烦，我们是否可以借鉴一下代数方程ax=b求解的思想方法呢？在代数方程ax=b中，当a≠0时，因为a·a-1=a-1·a=1，其解为x=a-1b.在矩阵的运算中，单位矩阵E相当于数的乘法运算中的1，因此，为了求解矩阵方程AX=B和XA=B，希望能找到一个矩阵A-1，满足AA-1=A-1A=E，使得AX=B的解为X=A-1B，以及XA=B的解为X=BA-1.所以有如下定义：

定义 [9]对于n阶矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=E，则称A为可逆矩阵，简称矩阵A可逆;并称矩阵B为A的逆矩阵，记作：A-1，即B=A-1，于是有AA-1=A-1A=E.

说明：（1）可逆矩阵是方阵;

（2）A，B互为逆矩阵，即A-1=B，B-1=A;

（3）A的逆矩阵记为：A-1，不能写成1A;

（4）A可逆，则|A|≠0;

（5）A的逆矩阵是唯一的;

（6）E-1=E;On不可逆.

设计意图：破解密码即求解矩阵方程，教师带领学生类比代数方程构建出逆矩阵的定义，让学生领悟到数学概念是由求解实际问题的需要而构建出来，而不是凭空产生的，帮助学生弄清逆矩阵概念的来龙去脉，激发学生的创造力，培养学生严谨、务实的认识论和科学观.为了强化学生对逆矩阵概念的理解，我们给出六点说明，培养学生科学严谨的态度.

三、矩阵可逆的充要条件

由E-1=E;On不可逆，说明并不是每一个方阵都可逆.教师提问：

（1）方阵可逆的充要条件是什么呢？我们知道方阵A的行列式是一个数，类比在代数论中，数a“可逆”a≠0，是否有方阵A可逆|A|≠0？

（2）当方阵A可逆时，如何来求方阵A的逆矩阵呢？

教师带领学生回忆上节课所讲的伴随矩阵A*的一个基本性质：AA*=A*A=|A|E，它离我们所求的AA-1=A-1A=E只有一步之遥，这一步是需要条件的，请同学们想一想应该是什么呢？进一步启发学生由AA*=A*A=|A|E推导出：A可逆的必要条件是|A|≠0;又因为A可逆时，一定有|A|≠0，于是得到教材中的定理1：

定理1（可逆矩阵的判别定理）[9]n 阶方阵A可逆的充要条件是|A|≠0，且当A可逆时，有A-1=1|A|A*，其中A*为A的伴随矩阵.

注：利用定理1求逆矩阵的方法称为伴随矩阵法.

设计意图：教师利用研究式和类比式的教学方法，有利于学生理解定理，同时培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力.通过定理的充分条件和必要条件的推导，培养学生严谨的科学态度.由矩阵的可逆与不可逆，引出“对立和统一”的辩证关系，因对立能由此及彼，因统一能相互利用，构成了线性代数丰富的知识体系.

例1 已知A=1958，求A-1.

总结 当abcd≠0时，abcd-1=1ad-bcd-b-ca.

口诀 主对调、次添负、乘行列式分之一.

注意 此口诀只适合于二阶方阵求逆矩阵.

例2 已知A=4-13-2123-10，求A-1.

总结 用伴随矩阵法求逆矩阵的步骤：

（1）计算行列式|A|，当|A|≠0时，方阵A的逆矩阵存在;

（2）求伴随矩阵A*;

（3）利用公式A-1=1|A|A*，求出A-1.

设计意图：让学生由一般方法总结出特殊矩阵的逆的求法公式，使计算简洁的同时又培养了学生在学习知识过程中获得的成就感.将全班分成4组，让每个小组合的学生分别计算行列式|A|、伴随矩阵A*的三行，最后教师带领学生一起算出A-1，目的是减少课内简单计算所用的时间，充分突出教学重点，分散教学难点，还能让学生获得到团队合作的成就感.学生由例2的解题过程可以总结出用伴随矩阵法求逆矩阵的三步骤，在第一章学过行列式的计算，在上节课学过伴随矩阵的求法，这样就达了用旧知识解决新问题的目的.对比例1 和例2的解题过程，可以看出：随着矩阵阶数的增加，用伴随矩阵法求逆矩阵的计算量将会大大增加，于是在第三章我们会介绍求逆矩阵的新方法——初等变换法.

四、抽象矩阵可逆的判定

从前边的研究中可知定义法和伴随矩阵法各有其利弊，我们将其综合起来可否找到一条捷径呢？

带领学生分析：AB=E|A||B|=1|A|≠0，|B|≠0方阵A，B都可逆，且B=EB=（A-1A）B=A-1（AB）=A-1E=A-1，所以只要满足AB=E就能得出A，B互为逆矩阵的结论.于是得到如下推论：

推论 [9]：若同阶方阵A，B满足AB=E （或BA=E），则A-1=B，B-1=A.

此推论说明：如果要验证A是否可逆，且矩阵B是否为A的逆矩阵，那么只要验证AB=E或BA=E中的一个就行，该方法称为验证法.

例3 设方阵A满足A2-A-2E=0，证明A可逆，并求A-1.

设计意图：教师采用启发式教学，利用分析法从结论出发寻求每一步推导的思路，培养学生的逻辑思维能力，并将研究问题和解决问题贯穿教学的始终.

五、逆矩阵的运算性质

教师让学生利用推论验证：若矩阵A，B可逆，常数k≠0，则A-1，kA，AB，AT是否可逆？并验证：（A-1）-1=A，（kA）1kA-1=E，（AB）-1（B-1A-1）=E，（AT）（A-1）T=E，|A-1||A|-1=1.进而得出教材中逆矩阵的5条运算性质[9]：

（1）若矩阵A可逆，则A-1也可逆，且（A-1）-1=A;

（2）若矩阵A可逆，数k≠0，则（kA）-1=1kA-1;

（3）两个同阶可逆矩阵A，B的乘积是可逆矩阵，且（AB）-1=B-1A-1;

注：此性质可推广到任意有限个同阶可逆矩阵的情形，即若A1，A2，…，An均是n阶可逆矩阵，则A1A2…An也可逆，且（A1A2…An）-1=A-1n…A-12A-11.

（4）若矩阵A可逆，则AT也可逆，且有（AT）-1=（A-1）T;

（5）若矩阵A可逆，则|A-1|=|A|-1.

例4 若三阶方阵A的伴随矩阵为A*，已知|A|=12，求|（3A）-1-2A*|.

设计意图：教师采用启发式教学法，让学生利用推论得出逆矩阵的5条性质，提高学生在学习中发现规律和总结规律的能力，同时培养学生缜密的思维习惯和严谨求实的科学态度.设计例4的目的是锻炼学生利用性质进行计算的能力.

六、逆矩陣的应用

（一） 逆矩阵在解矩阵方程中的应用

含有未知矩阵X的方程称为矩阵方程，有如下三种标准形式的矩阵方程[9]：

（1）矩阵方程AX=B，其中A为n阶可逆方阵，则AX=B有唯一解：X=A-1B;

（2）矩阵方程XA=B，其中A为n阶可逆方阵，则XA=B有唯一解：X=BA-1;

（3）矩阵方程AXB=C，其中A为n阶可逆方阵，B为m阶可逆方阵，则AXB=C有唯一解：X=A-1CB-1.

例5 利用逆矩阵求解线性方程组4x1-x2+3x3=2-2x1-x2+3x3=03x1-x2=1.

设计意图：与引入相呼应，强调有了逆矩阵相当于矩阵有了类似于数的除法运算.解释之所以有三种标准形式的矩阵方程，是因为矩阵乘法不满足交换律，即空间位置不能变，但时间次序可以变.教师可顺势引导学生行事做人要遵纪守法.例5的求解过程用到例2的结果，设计的目的是减少课堂上计算的时间，将授课重点放在掌握解决问题的方法和数学的思维方法上.例5讲解完后，

教师提问：用逆矩阵求解矩阵方程的条件和Gramer法则的条件是否相同呢？条件是相同的，因为方阵A可逆的充要条件是|A|≠0.教师继续提问：矩阵的乘法一般不满足消去律，两个非零矩阵的乘积也可能是零矩阵，即A，B，C是同阶方阵，由AB=AC不一定能推出B=C，由AB=O不一定能推出A=O或B=O.今天学习了逆矩阵之后，请同学们思考一下，要使得推导关系成立，需要加什么条件呢？当方阵A可逆时，在等式AB=AC两边左乘逆矩阵A-1则可得到B=C.在等式AB=O两边左乘逆矩阵A-1则可得到B=O.该提问的设计有利于培养学生“立体、全面地学”的学习习惯，以及构建前后知识的关联.

（二）逆矩阵在保密通信中的应用

已知加密矩阵A和密文矩阵B，要解密得到明文矩阵X就是求解矩阵方程AX=B，而当加密矩阵A是可逆矩阵时，可得明文矩阵X=A-1B.所以，双方只需要事先约定好加密矩阵A，当接收方收到加密电文时，利用逆矩阵A-1即可进行解密.

还记得前文老师发来的密信吗？它的答案是：I LOVE YOU.教师进一步提问：是否有其他加密方式呢？因为矩阵方程有三种标准形式，解密的过程就是求解矩阵方程的过程，所以还可以用加密矩阵A右乘明文矩阵X，也可以寻找两个可逆矩阵A和A1，分别左乘和右乘加密AXA1.接着，教师布置今天的一道作业题：请同学们利用今天所学的知识，尝试给老师或者同学发一封有趣的密信.

七、小结

思政元素的融入既要不失时机，又要润物无声.逆矩阵的定义、性质和定理中，研究的主体都是互逆矩阵A和B，其实单位矩阵看似可有可无，但其可承载前所未有的重任，如AA-1=A-1A=E，承担着连接两个互逆矩阵的重要桥梁作用;在“已知A2-A-2E=0，证明A可逆，并求A-1”的解题过程中，等位矩阵E也是哪里需要哪里搬.教师也要引导学生树立正确的人生观，我们要做那个“E”，低调做人，认真做事，时刻准备着，哪里需要哪里去;做一名有思想、有抱负的人才，在祖国和人民需要的时候，做出应有的贡献.

【参考文献】

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[4] 涂正文，吴艳秋，彭扬.线性代数课程中“逆矩阵”的教学设计与思考[J].亚太教育，2015（10）： 91.

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[6]张敬华，林玉蕊，赖尾英，等.“课程思政”在《线性代数》课程教学改革中的研究与探索[J].中文科技期刊数据库（全文版）教育科学，2019（12）：350-351.

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[9]工程数学：线性代数（第6版）[M].北京：高等教育出版社.2014.