适度拓展，深入挖掘，高效聚合

王一平

[摘  要] 高三教学以复习课为主，首考冲击下的数学教学，更要注重课堂的有序组织，通过教学环节的优化设计，每节课都应该让学生有所收获、有全新的认知，让学生对数学课堂充满期待，对数学作业留有余味. 文章从三个案例出发，通过“一题多解，拓展思路，在比较感悟中建构新知”“一题多变，挖掘本质，在层层递进中提高效率”“多题一解，聚合思维，在反复摸索中寻求共性”三个角度进行相关策略研究，以期让首考冲击下的高三数学教学发挥最大功效，让学生对数学学习始终保持“惯性”与“热度”.

[关键词] 首考冲击;数学教学;复习课;策略研究

问题提出

浙江省实施新高考以来，“七选三”和外语共有两次考试机会，取两次考试中成绩高的一次. 高三第一学期，尤其是后半学期，学校对高三的教学侧重点就是外语和“七选三”的首考，对语文、数学两门课的冲击比较大.

据了解，多数学校在首考前的一两个月内，为了更好地应对首考，对语文和数学两门学科采取减少课时或限制作业量的措施为首考赢得更多的复习时间;而到了首考前半个月左右，有些学校甚至采取停课和不得布置作业的措施，这在很大程度上对语文和数学两门学科的教学带来了困难. 同学生平时的交谈中不难发现，学生在高三第一个学期的重心都放在首考上，对数学学习可以说是“不温不火”;到了高三后期，学生在思想上对数学学习肯定有很大的放松，课后在数学学习上几乎不花时间.

综上，不管是學校对高三教学的侧重方向还是学生的思想认识态度上，作为一线数学教师，我们必须主动出击，改变以往的教学方式，让学生始终保持对数学的“激情”，即使在首考前的几天里，也能在复习首考的高强度下的休息时间里想起还有“数学”这门学科，在复习累的时候能够拿起数学题目“调节”一下紧张的学习状态. 因此，我们必须研究首考前的数学课堂，让学生在课堂上保持高效的学习状态.

高三教学以复习课为主，首考冲击下的数学教学，更要注重课堂的有序组织，通过教学环节的优化设计，每节课都应该让学生有所收获、有全新的认知，让学生对数学课堂充满期待，对数学作业留有余味，真正在心底里爱上数学，变被动学习为主动学习. 首考冲击下的高三数学教学，如何发挥其最大功效，是我们每个数学教师值得思考的主题.

研究实践

1. 一题多解，拓展思路，在比较感悟中建构新知

数学作为高中阶段最为重要的一门学科，是培养学生逻辑思维能力的重要途径. 在具体的高中数学课堂教学中，通过一题多解的教学模式，引导学生从多个角度进行思考，并借助于发散思维利用不同的解题方法进行解题，进而促使学生在学习的过程中，拓展解题思路，促进学生全面发展[1]. 一题多解作为数学教学的一种手段，发挥着强有力的作用. 对于一道典型例题，在一节课上仅仅呈现它的多种解法，虽然在一定程度上能开阔学生的视野，但是这些停留在表面上的方法如果不加深入，课堂就变成了多种解法的堆砌，犹如蜻蜓点水，对学生的帮助并不大. 因此，笔者并不赞同在高三教学中对同一道试题呈现五种及以上的解法，解法并不是讲得越多越好，而是要恰到好处，适度拓展，让每个学生都有不同的收获. 在首考冲击下的高三数学教学中实施一题多解，在拓展学生思路的前提下，可以让学生在感悟中构建新知，在完善认知的过程中体会数学不同的情境美、结构美、语言美.

案例1 求2x-2+2x-5的最小值.

这是笔者在高三复习“绝对值不等式”一节课给出的一道例题，整节课以这道例题为主线，让学生从不同视角思考解答，并引导学生深度思考.

视角1（函数图像）：画出函数y=2x-2+2x-5的图像，图像最低点的纵坐标即所求的最小值.

思考1：解不等式2x-2+2x-5<5.

思考3：函数图像法的直观优越性不言而喻，如何更进一步，快速地画出函数y=ax+b±cx+d（a≠0，c≠0，bc≠ad）的图像？

学生体会：函数图像法是解决最值问题以及求解不等式问题最直观的武器，充分体现了数形结合和等价转化等思想.

视角2（绝对值的几何意义）：令t=2x，则2x-2+2x-5=t-2+t-5，其几何意义是数轴上表示为t的点到2的距离与到5的距离之和，易知当t在2与5之间运动时（包括端点），其距离之和为定值3，且为最小值.

思考4：（1）求t+1+t-2+t-5的最小值.

（2）求t+2+t+1+t-2+t-5的最小值.

（3）求t+4+t+2+t+1+t-2+t-5的最小值.

思考5：你能利用绝对值的几何意义求2x-2+2x-5的最小值吗？

练习：若函数f（x）=x+1+2x+a的最小值为3，则实数a的值为______.

绝对值三角不等式：若a，b∈R，则a-b≤a±b≤a+b. 其几何意义就是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

练习：对任意x，y∈R，x-1+x+y-1+-y+2的最小值为______.

思考6：若非零向量a，b满足a+b=b，则（  ）

A. 2a>2a+b

B. 2a<2a+b

C. 2b>a+2b

D. 2b<a+2b

通过上述两个思考题（思考6和思考7），学生能清晰地认识到：绝对值三角不等式同样适用于向量与复数系统，即a-b≤a±b≤a+b;z1-z2≤z1±z2≤z1+z2.

感悟：本节复习课起点低、坡度缓、落脚稳，遵循学生的认知规律（从特殊到一般、从一元到多元、合情推理与类比推理并重），注重数学思想方法的应用和数学核心素养的渗透，通过一道例题的三个视角不断深入，每个视角都力争让学生有所触动. 通过笔者的引导，在拓展思路的过程中构建新知，使复习课有点新授课的味道，从全方位认识一道例题. 同时，在对比三个视角、三个方法的过程中，让学生学会选择，明白每个方法背后蕴含的本质属性.

2. 一题多变，挖掘本质，在层层递进中提高效率

高中数学的逻辑性非常强，其重点不在于知识的传授，而是优化学生的思维. 所以在高中数学教学中教师不能一味提倡“题海战术”，因为高中数学练习题是永远做不完的，反复做某题型的练习题对学生并没有太大用处. 因此，教师需要培养学生举一反三的能力，把原来的一个练习题变换为多种类型的练习题，巩固所学知识[2]. 这就需要教师精心备课，合理设计并深入挖掘，提高课堂教学的有效性. 首考冲击下的高三数学教学，更要关注课堂效率，可以用一个引例串起各种类型的练习题，其中不乏“变”一些新情境、新视角，提供具有一定综合性的练习题，尽可能吸引学生的眼球，让学生的探究热情一直延续下去……

案例2 引例：在平面直角坐标系中，不等式组x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0表示的平面区域的面积是______.

设计意图：引例主要考查二元一次不等式组的几何意义——平面区域，作图可知该平面区域为三角形.

变式1：在平面直角坐标系中，不等式组x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0表示的平面区域内的整点（横坐标、纵坐标均为整数）有______个.

设计意图：变式1在引例的基础上考查整点的个数问题，培养学生分类讨论思想，主要涉及计数原理中的分类加法原理.

变式2：直线kx-y-2k+6=0将不等式组x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0表示的平面区域分成面积相等的两部分，则k=______.

设计意图：变式2在引例的基础上考查动直线过定点问题，主要涉及定比分点（本题为中点）问题和两点斜率公式.

变式3：在平面直角坐标系中，不等式组x+y-a≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0表示的平面区域是三角形，则实数a的取值范围是______.

设计意图：变式3在引例的基础上将条件改为含参不等式组，考查学生的逆向思维.

以上引例和3个变式可以归为一个题组：线性规划中的区域问题.

变式4：设x，y满足约束条件x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0，则z=2x+y的取值范围是______.

设计意图：变式4是最常见的线性规划问题，属于基础题和重点考查题型.

变式5：设x，y满足约束条件x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0，则z=2x+y的取值范围是______.

设计意图：变式5在变式4的基础上加了一个绝对值符号，目标函数从直线y=-2x+z变成折线y=-2x+z，难度略有提升.

课堂教学中一学生提出分类讨论思想，将变式5变成两个最常见的线性规划问题，值得推广.

变式6：设x，y满足约束条件x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0，若目标函数z=ax+y仅在点A（2，6）处取得最大值，则实数a的取值范围是______.

设计意图：变式6在变式4的基础上，将目标函数变成含参函数，考查学生的逆向思维，属于线性规划问题中的中档题.

变式7：设x，y满足约束条件x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0，且有无穷多个点（x，y）使得目标函数z=ax+y取得最大值，则实数a的值是______.

设计意图：变式7在变式6的基础上，将目标函数的最优解由一个变成无穷多个，它也是变式4的逆向问题.

以上4个变式可以归为一个题组：约束条件与目标函数均为线性.

變式8：设x，y满足约束条件x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0，则z=x2+y2的取值范围是______.

设计意图：变式8在变式4的基础上，目标函数从线性改成非线性，x2+y2的几何意义是可行域内的点（x，y）与坐标原点（0，0）之间的距离的平方.

设计意图：变式10在变式9的基础上，考查“双勾函数”在给定区间上的值域问题.

变式11：设实数x，y满足x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0，则z=2xy的最大值为______.

设计意图：变式11在变式4的基础上，将目标函数的“加法运算”改成“乘法运算”，目标函数从线性变成非线性，难度增加不少，考查学生综合应用知识的能力.

以上5个变式可以归为一个题组：约束条件为线性，但目标函数为非线性. 当目标函数为非线性时，关键要理解目标函数的代数结构对应的几何特征. 另外，约束条件为非线性的问题，主要是直线与曲线的位置关系问题，可以放到圆锥曲线中进行讲解.

笔者让学生课后对例题再进行变式，得到了很多意想不到的收获. 以下呈现部分学生想到的比较好的变式题.

生1：在平面直角坐标系中，不等式组x+y-a≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0表示的平面区域的面积是6，则实数a=______.

生2：直线kx-y-2k+6=0将不等式组x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0表示的平面区域分成面积之比为1∶2的两部分，则k=______.

生3：设x，y满足约束条件x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0，则z=x+y-6的取值范围是______.

生4：设x，y满足约束条件x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0，则z=x2+4y2的取值范围是______.

感悟：利用一题多变的手段，既节约上课时间，提高课堂效率，充分彰显了例题的功效，又让学生在变式题中感悟到“变”的本质、规律与方向. 在变式中循序渐进，在变式中寻找精彩，在变式中挖掘本质，让学生有跃跃欲试的冲动. 这样的课堂正是首考冲击下最需要的，让学生带着浓厚的兴趣一直延续到课后，对数学学习始终保持思考的状态. 给学生一个舞台，学生定能翩翩起舞.

3. 多题一解，聚合思维，在反复摸索中寻求共性

在课改的背景下，在素质教育的引领下，减轻学生的学习负担，增强学生的数学能力成为数学教师在教学过程中要完成的任务. 多题一解，能很好地减轻学生的学习负担，对普通高中学生学习数学起着很关键的作用. 所谓多题一解，主要指对不同类型的题目，用同一种思维去解题. 可能解题过程中用到的概念、公式或定理不一样，但是整个解题思维是一致的，这样的解题方法称为多题一解[3]. 首考冲击下的数学教学，时间紧，任务重，要想在同一时间内获取最大的学习效果，则需要呈现共性试题，达到多题一个思路、一个解法的目的，高效聚合，不失为一种行之有效的教学策略.

案例3 一节课中呈现如下7个试题：

（3）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=（cosA，cosB），n=（a，2c-b），且m∥n. ①求角A的大小;②若a=4，求△ABC面积的最大值.

（4）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=（b+c，a2+bc），n=（b+c，-1），且m⊥n. ①求角A的大小;②若a=3，求△ABC周长的最大值.

（6）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinB，c=2，求边AB上中线长的最大值.

引导学生观察试题的共性，回想解决问题的常用方法，先选择其中的两道试题进行解答，然后再快速解决剩下的试题（未完成的当作课后作业）.

思维过程1：先用余弦定理得到三边的关系，然后根据题目中的二元目标函数，利用基本不等式求最值.

思维过程2：先根据正弦定理求出三角形外接圆的直径2R，再利用正弦定理将边化成角，综合运用三角形内角和定理、三角公式转化成Asin（ωx+φ）+b的形式求解.

感悟：实践证明，引导学生对典型例题解法的总结、回味与提炼，能使学生变“重”解题的数量为“重”解题的质量和解题后的反思，力求做到吃透一道题，掌握一类题，悟出一些方法、道理，让学生从“题海”中解脱出来. 因此，要引导学生加强多题一解的训练，寻求一类题的常规解法，重视“通性通法”，淡化“特殊技巧”. 同时，强调学生要注意归纳、掌握大众化的解题方法，这样不仅能达到触类旁通、举一反三的效果，而且在考试中用常规方法即使解不到底也有利于得分[4]. 可以说，这是首考冲击下的一种有意义的数学活动，在多次的训练中，学生的聚合思维也能得到一定的提升.

實践反思

数学教学中，为了帮助学生理解、掌握和巩固所学的知识，主要采用解题教学这一手段，与此同时，解题教学还可以用来培养学生的思维能力，提高学生自身解决问题的能力. 因此教师要善于选编一些试题，在教学中注意一题多解、一题多变、多题一解，总结解题经验，引导学生从“变换”的思维角度去联想、开拓，纵向挖掘、横向延伸[5]. 首考冲击下的高三数学教学，更应该深刻领会一题多解、一题多变、多题一解这三种策略的价值所在. 当然，这三种策略并不是孤立存在的，它们可以交织在一起，让课堂变得更加绚丽多彩. 作为一线数学教师，我们要研究教材，研究高考，更要研究学生，积极打造“性价比”较高的课堂，让学生对数学学习始终保持“惯性”与“热度”，让学生每天都盼望着数学课，这样才能降低首考对高三数学教学的冲击，甚至不产生影响.

参考文献：

[1]  宋梅. 基于高中数学一题多解的学习研究[J]. 中学课程辅导（教师通讯），2020（07）：60-61.

[2]  刘霞. 高中数学教学中“一题多变”的有效运用[J]. 新课程（中学），2015（08）：53.

[3]  陈绪进. 浅谈高中数学多题一解[J]. 中学数学，2011（21）：38-40.

[4]  张永平. 一题多变与多题一解在高中数学教学中的运用[J]. 中学数学，2012（01）：42.

[5]  徐学福，房慧. 让学生做自己的老师——名师讲述如何提升学生自主学习能力[M]. 重庆：西南师范大学出版社，2007.