高中数学概念教学中的“育人”实践

[摘  要] 数学学科育人是对学生关键能力和必备品格的培育，在数学知识的建构过程中引导学生经历深度思考的学习过程，在数学探究过程中感悟数学的发展规律，培养良好的习惯和品格. 文章以苏教版（2019年版）“函数的概念和图像”教学为例，在课堂实践中找准育人的附着点、停靠点、生长点，设计有高度、有宽度、有深度、有温度的数学问题，探索高中数学概念教学中情境育人、实践育人、思维育人的方法和策略.

[关键词] 高中数学;学科育人;概念教学

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》对高中数学学科育人的目标做了进一步的阐述：“提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力;树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神;不断提高实践能力，提升创新意识;认识数学的科学价值、应用价值、文化价值、审美价值.”[1]我们要发挥数学课堂的主渠道作用，将学科育人寓于数学知识的传授过程. 有意识地做好教材的深度研究，挖掘教材和课堂中蕴含的不同种类的育人素材，以巧妙的教学方法实现两者之间的高度融合. 既使学生能在课堂教学中习得数学知识，构建完整的脉络框架;又能形成良好习惯，培育数学理性精神;还能接受思想政治熏陶，树立正确的价值观和人生观，最终达到智慧增长、情感丰富、精神涵养的目的. 下面以笔者参加江苏省青年高中数学教师优课评比活动中执教的“函数的概念和图像”为例，探索高中数学概念教学中的育人路径.

教学过程及设计意图

1. 创设情境，铺垫引入

课程首语：华罗庚名言“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用到数学”.

思考1：请你带着数学的眼光观看视频《老师的一天》，你能发现哪些数学问题？

播放视频：《老师的一天》（节选自《学习强国》）.

师生交流、提炼：

（1）情境1：学习小组6名学生的学号与数学考试成绩.

（2）情境2：军训队伍行进路程与时间的关系S=0.8t.

（3）情境3：某天24小时内的气温变化图.

设计意图：本节课的教学目标：通过学习，使学生养成用运动变化的观点、函数的眼光去认识世界的思维习惯. 课程首语选用华罗庚名言及视频《老师的一天》，都是为了让学生体会数学源于生活，生活处处有数学.在单元整体视角下，把本章需要的情境融合典型实例，用一个实际故事创设了课堂教学整体情境，让学生在实际情境中寻找数学问题，学会用数学的眼光观察世界.

思考2：以上情境都和数学中的什么知识有关？为什么？

师生交流：它们都是函数问题，判断依据是初中学习的函数概念.

（1）复习初中学习的函数概念.

问题：在初中，函数的概念是怎样表述的？

生：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.

（2）介绍函数的发展史.

设计意图：人教版教材和苏教版新教材的章首语都设置了具体问题，通过激发学生的认知冲突，强调高中要继续学习函数概念的必要性. 但函数概念本身就非常抽象，试教实施过程中发现学生认识函数概念有很大困难.改用数学史的简单介绍，让学生体会函数概念随着数学的发展在不断完善，集合概念的出现使函数概念又得到了进一步发展，人们用“集合”和“对应”来定义函数，可以更加深入地理解函数的本质，也是我们为什么要再认识函数概念的依据.

2. 归纳概括，建构概念

问题1：怎样进一步认识函数的概念？

情境1：某学习小组6名学生的学号与数学考试成绩（如表1所示）.

在教师的引导下，师生共同分析发现：学生的学号与数学考试成绩之间的对应关系→数与数的对应→集合与集合的对应. 即

情境2：队列训练中，方阵以0.8 m/s的速度匀速行进2分钟，这段时间内，方阵行进的路程S（单位：m）与行进时间t（单位：s）的关系可以表示为S=0.8t.

师：这个函数能不能理解为两个集合的“对应”呢？如果是，又是哪两个集合的“对应”？

学生在情境1的分析的基础上，通过相互交流发现：

情境3：图2为某天24小时内的气温变化图.

师：这个函数又可以看作是哪两个集合的“对应”呢？

学生在前面两个情境的分析的基础上，可以很快发现：

设计意图：通过三个情境的分析，引导学生完成三个层次的抽象：第一层次是由“生活数学”到“数学问题”的抽象;第二层次是由“变量（数）与变量（数）的对应”到“集合与集合的对应”的抽象;第三层次是对函数本质认识的抽象.为函数概念的形成奠定了基础.三个情境分析的活动方式也有所变化，这完全符合学生的一般认知规律.

问题2：上述阐述中，包含了函数哪些共同特征？

通过PPT展示（如图3所示）：

特征1：都包含两个非空数集;

特征2：都包含一个对应关系;

特征3：对于数集A中任意元素x，按照对应关系在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应.

问题3：结合特征，请用“集合”与“对应”刻画函数.

教师在学生交流的基础上完善补充，生成函数概念：给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的實数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f（x），x∈A. 其中，x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域（domain）.

设计意图：在三个情境分析和抽象的基础上，对三个情境（数学问题）中函数的共同特征进行归纳概括，使函数概念的生成水到渠成. 让学生在合作探究中既构建了数学知识体系，生成了数学概念，也在实践探索中培养了数学探究能力和数学理性精神，潜移默化中让数学课程和思政教育形成了“协同效应”.FA9076BA-9649-4BF9-B042-1848487C2436

3. 问题辨析，理解概念

思考：情境1中如果4号学生缺考，Y是否为X的函数？

学生根据函数概念辨析如下（师生活动）：若4号学生的成绩记为“缺考”，则Y不是X的函数（如图4所示）;若4号学生缺考而没有记录成绩，则Y不是X的函数（如图5所示）;若4号学生缺考而成绩记为“0”，则Y是X的函数（如图6所示）.

追问：集合A，B与对应关系f如图7、图8所示，f：A→B是否为从集合A到集合B的函数？

y=f（x），x∈A中的f（x）是运算符号，输入一个x值，就有唯一的y值输出，我们把所有输出的值组成的集合称为值域. 比如图9的值域为C={130，142，108，0， 92，113}. 给出函数值域的定义：若A是函数y=f（x）的定义域，则对于A中的每一个x值（输入值），都有唯一一个y值（输出值）与之对应. 我们将所有y值组成的集合{yy=f（x），x∈A}称为函数的值域（range）.

继续追问：（1）图10表示的函数的值域C是什么？

（2）值域C与集合B是什么关系？

对应关系、定义域、值域是函数的三要素，对应关系、定义域、值域都相同的两个函数才能称为同一个函数.

思考：判断下列各组函数是否为同一个函数，并说明理由：

（1）y=2x，x∈（0，2）;y=x2，x∈（0，2）.

（2）y=x2，x∈{0，2};y=x2，x∈[0，2].

（3）y=x2，x∈（0，+∞）;s=t2，x∈（0，+∞）.

设计意图：函数的概念比较抽象，在给出函数概念和初步解读的基础上，针对概念中的几个关键点、易错点、易混点，通过设置具体直观的问题，让学生在问题的辨析过程中进一步理解函数的概念. 在处理方式上，采用的是由具体到抽象的方法，不断强化学生的数学抽象素养. 其中，对函数值域概念的后置处理采用的也是由具体到抽象的方法，显得自然顺畅，同时也有效分解了难点.

4. 典例探究，巩固概念

例1 （多选题）下列对应关系是函数的有（  ）

B. x→y，这里y2=x，x∈N，y∈R

C. x→1，x∈R

D. 当x为有理数时，x→1;当x为无理数时，x→0

例2 根据所给信息完善下表：

探究 （开放题）已知一个函数的解析式为y=x2，它的值域为区间[1，4]，这样的函数有多少个？试写出其中的两个函数.

设计意图：例1运用函数的概念判别对应关系是否为函数，帮助学生进一步理解、巩固概念. 例2让学生在具体的问题背景中理解函数定义域、值域的含义，在问题解决的过程中，感悟简单的函数定义域、值域问题的求解方法，并能用集合规范地表达定义域和值域.最后设计了开放性的探究问题，让学生更加深刻地理解函数三要素之间的关系，培养学生的创新思维.

5.？摇课堂小结，单元引领

课堂小结如图11所示.

设计意图：在课堂小结中，既抓住了本节课的重点，又梳理了初中和高中函数教学的基本框架和路径.其中，用“单元”思想引领学生关注知识的系统性和整体性，促进学生提高数学学习的思想站位.

课堂评析与思考

概念教学不能是“生搬硬套”给出概念、“死记硬背”记忆概念、“习题操练”巩固概念的传统模式，而要从学科育人的视角出发，“重视概念引入，激发学生求知”“突出概念生成，丰富学生活动”“深化概念理解，拓展学生认知”“加强概念应用，训练学生思维”. 由于函数概念高度抽象，难以理解，因此本节课深度融合了函数概念形成的历史文化以及概念建构、辨析、应用中饱含的育人元素，有效依托实际的问题情境，重点关注函数概念特征的抽象过程，引导学生体验函数概念产生的过程，并且结合具体问题对函数概念进行深刻辨析. 既讲清了知识又提升了学生的数学核心素养，丰富了数学文化底蕴，培养了优秀学习品质，达到了学科育人的效果[2].

1. 在铺垫导入中突出情境育人

数学情境的有效创设，可以树立学生的学习信心、激发学生学习数学的兴趣、调动学生的积极思维. 充分挖掘教学内容和学生实际生活的“切入点”设置情境，可以自然地导入数学概念，让学生形成感性认识，在真实的情境中获得知识和技能;将数学中的“境”与生活中的“境”融合统一，让学生感受到数学的“真”，体悟到数学的“美”，促使学生“知、情、意、行”全面发展. 本节课在铺垫导入环节中，充分挖掘隐性素材并加工创新，巧妙地赋予思政元素，节选自《学习强国》视频故事中老师一天忙碌的工作，弘扬尊师重教的优良传统，突出课堂的德育功能.在感知函数概念继续学习的必要性时，回避学生理解中的难点，选择从函数发展的历史过程切入主题，“寥寥几句”既推广数学文化又不冲淡本节课的教学重点，更能起到春风化雨、润物无声的育人功效.

2. 在建构概念中彰显实践育人

在建构概念的过程中，需要积极引导学生进行自主探究、合作交流、总结提炼，让学生主动概括形成概念，通过师生之间互动厘清概念的脉络，对概念的重难点进行辨析理解，深度挖掘概念的内涵和外延[3]. 比如：情境1是在教师的引导下，通过师生共同分析，直观呈现了“学号与数学考试成绩的对应关系”到“数与数的对应关系”再到“集合与集合的对应关系”的抽象过程;然后组织学生合作探究、类比归纳情境2中是哪两个集合的“对应”;基于前面活动的经验，学生能自觉发现情境3中集合的对应关系;最终在类比归纳中找到它们的共性特征，建构集合对应视角下的函数概念.概念建构中的探究实践活动给学生提供了提出问题、分析问题和解决问题的机会，帮助学生理解数学知识、探究内部规律、解决实际问题，有利于增强批判质疑的意识、提高理性思维能力、培养勇于探究的精神. 学生相互合作、分享经验，可以展示自我、活跃思维，有利于增强学生学习数学的兴趣，改善学生的学习体验，培养乐学、善学、勤思的优良学习品格.

3. 在辨析、应用中体现思维育人

数学是思维的体操，数学为思维而教，强化思维育人贯穿数学课堂的始终.数学概念课中，为了架构完整的概念体系，让学生透彻理解数学概念，可以精设问题开展辨析，在探究交流中激活学生的思维;也可以在概念生成、辨析清楚后，运用刚学的数学概念解答精选的典型试题，并从中总结解题的一般规律、细化解题方法、梳理易错环节，有效实现知识的迁移. 让学生领略数学价值时，培养他们主动参与活动的意识，提升问题解决能力，养成良好的数学思维习惯. 本节课在概念辨析环节中，针对函数概念中的“每一个”“唯一”等关键字词，和相关的易错点、易混点，设置了三组具体、直观的问题让学生辨析，激发学生的思维，使学生深度理解函数概念. 在例题探究、概念巩固的环节中，笔者结合高考新题改编了课本中的例题，以多选题、开放题等多种形式命题，组织学生讨论、板演、评价、修正，强化学生的求真意识、审美意识、反思意识，促进数学理性思维的形成，催生灵动、智慧的数学课堂.

【注】该课例系2021年江苏省青年教师优秀课评比一等奖，并作为B组第一名进行大会展示.

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]  王海燕. 深耕课堂，促進数学学科“育人价值”实现[J]. 数学教学通讯，2021（10）：13-14.

[3]  江妙浩. 高中数学概念课育人的教学策略——以《函数的奇偶性》教学为例[J]. 中学教学参考，2021（35）：1-3.

基金项目：江苏省“十四五”重点规划课题“‘课程思政视域下高中数学教学设计与实施研究”（编号：C-b/2021/02/28）;江苏省前瞻性教学改革项目《支持差异化学习的数学学习空间的建构》（编号：2020JSQZ0135）.

作者简介：祝维男（1983—），中学高级教师，南通市学科带头人，曾获江苏省青年教师优秀课评比一等奖、江苏省基础教育成果一等奖.FA9076BA-9649-4BF9-B042-1848487C2436