理解数学运算对象 培养数学运算素养

许光英

[摘  要] 文章以解析几何教学为例，着重从理解数学运算对象这个环节入手，利用数形结合思想多角度去分析和理解运算对象，利用函数方程思想去优化代数运算过程，通过模式识别促进学生理解数学运算方法，培养数学运算素养.

[关键词] 运算素养;运算对象;运算思路;优化运算

引言

在新课改背景下，如何贯彻落实《普通高中数学课程标准（2017年版）》[1]对学生素养的要求以及对应的《中国高考评价体系》[2]对学生关键能力的重点考查内容，是我们教师面临的教育教学重要课题.由于《普通高中数学课程标准（2017年版）》对每个教学主题单元的学科素养要求侧重点不一样，如对人教A版选择性必修主题二“几何与代数”的要求是“重点提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养”[1]，所以在这个主题单元教学中，笔者着重以培养数学运算素养为出发点，融合贯穿对其他素养的培养.

“运算几乎渗透到数学的每一个角落，是贯穿数学的基本脉络，是贯穿数学课程的主线.”[3]

“数学运算素养对其他数学素养的发展具有基础性、全局性的影响. 强化数学运算教育有助于学生更好地把握数学的发展脉络、基本结构与基本原理，有助于为学生其他数学素养的发展奠定坚实的基础. 基于运算素养培育，明晰运算的逻辑主线，有助于提高数学教学的整体性、深刻性、合理性和有效性.”[4]提升运算能力可以从“理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果”[1]等环节去落实. 在实施这几个环节时，我们可以根据教学内容的侧重点着重强调其中几个环节的落实，突破运算的难点.

解析几何教学中学生数学运算存在的问题

解析几何是“以代数方法研究几何问题”，对运算能力的要求较高.“對学生而言，代数运算是主要拦路虎之一. 解题过程中，许多学生都是因为不能顺利完成代数运算而导致失败.”[5]

“没有一定的运算技能，与之相关的数学思想、数学概念、数学思维只能是无法落到实处的空中楼阁.”[4]

笔者在教学实践中，发现学生在运算上对某些“运算方法”的应用只是停留在表面的模仿，没有抓住“运算方法”的本质，从而造成不能灵活应用的情况.  由于解析几何中的运算是建立在几何背景下的代数运算，所以在教学中提高运算能力不仅要从代数角度入手，还要从理解运算对象入手，利用数形结合思想，“从几何、代数的不同角度去分析，使对问题的条件、结论以及它们的联系和转化方式有了多角度的理解，从而也就可以使条件、结论得到不同形式的表达，形成多样化的解题方法，使得几何直观、代数推理综合地发挥作用，这就是解析几何中解决问题的方法总是不唯一，且有方法的难易、代数运算的繁简之分的原因.”[5]

因此，笔者在解析几何教学中从多角度、多层次去引导学生理解运算对象，得到不同的表达形式，选择合适的运算方法，优化运算程序，提高模型识别能力，提高运算能力. 采用“问题情境+变式题组+模式提炼”的设计思路，通过变换运算对象，落实运算环节，使教学活动有层次地推进，逐步突破运算难点，培养和提升学生的直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理等数学素养. 正如顾泠沅先生指出的，“通过对问题的多层次的变式构造，使学生对问题解决过程及问题本身的结构有一个清晰的认识，是学生积累活动经验、提高问题解决能力的一条有效途径.”[6]

教学片段

为了让学生能理解并掌握解析几何运算，常用两种代数化简方法——“点乘双根法”和“构造齐次式法”. 这两种代数化简方法的实质是代数运算中应用韦达定理时对烦琐的运算程序的简化，也是对运算方法的优化，所以教学中着重从“理解运算对象”“探究运算思路”“选择运算方法”这三个运算环节去理解这两种“方法”之间的联系. 再利用一题多解、一题多变的设计策略，构造相同问题情境，变换运算对象，加强分析运算方法适用的条件，达到举一反三的目的，提高学生的逻辑推理能力和数学建模能力. 由于研究对象是几何图形，所以教学中较重视“几何要素的分析”这一环节[5]，培养学生的直观想象能力.

1. 构造问题情境

2. 设计运算对象

问题1：过点M（4，0）的直线l交椭圆C：x2+4y2=4于A，B两个不同的点，且λ=MA·MB，求λ的取值范围.

（1）转化运算对象（形数转化）.

（2）运算思路及方法（利用韦达定理化简）.

（3）优化运算方法（利用函数方程思想进行优化）.

识别模式1：

高考链接：

（1）求C的方程;

3. 变换运算对象

（1）转化运算对象（形数转化）.

（2）运算思路及方法（利用“点乘双根法”化简）.

识别模式2：

4. 再次变换运算对象

（1）转化运算对象（形数转化）.

（2）运算思路及方法（利用方程思想优化）.

识别模式3：

高考链接：

（1）求C的方程;

反思

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]  教育部考试中心. 中国高考评价体系及说明[S]. 北京：人民教育出版社，2019.

[3]  王尚志，高定量. 普通高中数学课程分析与实施策略[M]. 北京：北京师范大学出版社，2010.

[4]  李昌官. 数学运算素养及其培养[J]. 数学通讯，2019（09）：1-5.

[5]  章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究[M]. 上海：华东师范大学出版社，2021.

[6]  鲍建生，黄荣金，易凌峰，顾泠沅. 变式教学研究（续）[J]. 数学教学，2003（02）：6-11.