深度学习觅因果，数形结合探本质——以函数奇偶性为例

浙江省象山县第二中学 (315731) 林 琪

深度学习是学生发挥主观能动性，通过体验多样的活动，有效建构知识，锻炼思维，发展多种能力的数学活动.相对于传统教学，深度教学可以深入知识本质，建立知识体系，提高自主学习能力，形成数学核心素养.数学思想是数学学习的精髓，也是深度教学的前提.数学思想的掌握和运用可以使学生学习数学知识事半功倍.而高中阶段主要涉及数形结合、分类讨论、函数与方程、转化与化归等思想.本文以函数奇偶性为案例，采用“问题串”教学的形式，论述“数形结合”思想在深度学习中的运用.

1 深度的情境创设

兴趣是影响学生课堂表现的重要因素，教学实践表明，在引入新课阶段创设合适的情境，可以激发学生的学习兴趣，有利于学生后续主动融入课堂，体现学生主体地位，更有利于学生深度理解概念.

问题1：观察图1、图2两张图片，在结构上有什么共同特征？

图1 图2

问题2：生活中还有哪些常见的轴对称图形？

问题3：这种对称性在数学中是否有体现？我们已经学过哪些函数的图像也具有轴对称性？

设计意图：《普通高中数学课程标准(2020修订版)》明确指出课程目标是：通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及为了发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.而数学活动经验的获得要求我们教师在创设情景时，源于生活，紧随时代，贴近学生生活经验.问题1到问题3，让学生从生活实际出发，体会数学来源于生活，激发学生学习兴趣.同时，从图形直观感受引出偶函数的几何特征，锻炼学生数学抽象能力.

2 深度的过程体验

问题4：观察函数f(x)=x2和g(x)=2-|x|的图像如图3，图4，从“形”上观察，有什么共同特征？

图3 图4

问题5：从“数”上观察，有什么共同特征？

f(x)=x2

x…-3-2-10123…f(x)=x2…9410149…

g(x)=2-|x|

x…-3-2-10123…g(x)=2-|x|…-101210-1…

设计意图：问题4从函数图像中观察出对称性，这是函数奇偶性的“定性”刻画.而问题5则从具体的数值中体现对称性，这是函数奇偶性的“定量”刻画.从定性到定量，体现了数学的严谨性.从问题4到问题5，从“数”与“形”两个角度，探讨偶函数的特征.为之后偶函数概念的引入作铺垫，引导学生体会“数形结合”思想，经历数学概念形成的过程，深度研究数学概念，知其然，体现深度学习，培养学生数学抽象的数学核心素养.

问题6：你能否证明上述结论？

设计意图：多样的教学方式是深度学习的关键.问题6可引导学生利用剪纸、几何画板、代数验证三种方法验证结论.从直观感受到理性验证，从动手操作到运用现代信息技术，丰富数学教学方式，培养学生逻辑推理的数学核心素养，有利于引导学生深度学习.

引入偶函数的定义，并通过类比得到奇函数的定义.

问题7：奇偶函数有何共同点和不同点？

偶函数奇函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.代数特征f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)几何特征图像关于y轴对称图像关于原点对称前提条件定义域关于原点对称

设计意图：问题7通过比较奇偶函数的共同点和不同点，进一步理解概念.同时，以图表形式给出，体现数学的简洁性，也是数形结合的一种体现.

3 深度的学以致用

深度学习不仅包括“深度的学”，更包括“深度的思和行”，学生不仅要经历奇偶函数概念的形成过程，更要在此过程中，动手操作，自主研究，得出结论.

问题8：已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，试将图5,图6补充完整.

图5 图6

设计意图：让学生动手操作，体会奇、偶函数的几何特征，符合新课标引导学生独立思考、动手实践的要求.而对于g(x)图像的补充，会发现缺少x=0处的函数值，引起认知冲突，从而引起学生思考.根据图像关于原点对称，得到g(x)过原点，再根据奇函数的代数特征g(-x)=-g(x)，可得g(0)=0.从“数”和“形”两个角度加以证明，深入理解奇函数的特征.再从特殊到一般，得出结论：对于任意一个奇函数，若x=0在定义域内，则g(0)=0，即奇函数图像过原点.

问题9：是否存在一个函数既是奇函数，又是偶函数？这样的函数唯一吗？

设计意图：问题9是课后思考题，数学课后活动是学生深度学习的重要载体.问题9是对函数奇偶性概念掌握情况的检测，也是本节课深入学习的评价.这题具有开放性，有利于培养学生发散思维，在思考中，学生可利用“数”与“形”两个思路展开.

4 深度的反思提炼

深度学习要求我们教师深入研究数学教材，除了研究数学知识外，更要研究其中蕴含的数学文化，与其他知识点、其他学科间的联系.例如，在函数奇偶性中，在课堂结尾处除了增加知识点的总结，还可增加德育内容，以学生发展为本，落实立德树人根本任务.

问题10：我国著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，因此，我们在平时的学习中要注重“数形结合”思想.另外，这也说明从不同角度分析，会得到不同的结果，这就要求我们用发现的眼光看世界.

设计意图：以华罗庚先生的诗作为结尾，将数学文化融入数学课堂，开拓学生数学视野，激发学生学习兴趣.同时，了解中国优秀数学家，也可增强学生民族自豪感.而蕴含的“从不同角度分析，会得到不同的结果”这一哲学理论，亦体现了数学和其他学科的联系.

总之，高中数学教师应在课堂教学中引导学生深入挖掘数学本质，理解数学概念，注重数学活动，积累数学经验，掌握数学技能，构建数学体系，提高课堂效率，深度学习数学.教学中，我们也应重视深度教学，丰富学科知识，开展多元的教学方式，促进学生数学思想方法的形成.