检验——解题中不可忽视的环节

江苏省苏州实验中学 (215100) 张文海

匈牙利著名数学家G·波利亚有一句名言:“掌握数学就是意味着善于解题.”在平时的数学学习中，学生教师每日都离不开解题，但如何正确地解答数学问题成为当下师生关心的共同话题.每次考完试，总会听到学生感叹，这个题目我就差一步——检验就正确了，常常为此懊悔不已.G·波利亚在《怎样解题》一书中对解题的过程归纳为四步：弄清题意、拟定计划、实现计划和回顾，其中在“实现计划”和“回顾”这两步中都强调要“检验每一步骤”，并指出:“如果学生在实行其计划的过程中检查就可以避免许多错误.如果学生不去重新检查或重新考虑已完成的解答，则有可能跌倒在成功的大门口”.因此，数学教学中，通过检验环节，使学生深刻反思解题的思维过程，鉴别是非，纠正错误，缜密思考，预防错误，对培养学生良好的思维品质，提高学生对错误的“免疫力”和解题的正确率具有十分重要的现实意义.笔者梳理了高中知识版块中需要检验而易于忽略检验的常见问题，供大家参考.

一、集合

集合是学生进入高中后接触到的第一个章节，高中数学与初中数学相比，更加抽象化、符号化，知识的综合性进一步加强，需要学生具备独立思考问题、分析问题的能力，对数学问题的思考要考虑完备性.

例1 已知集合A={a+2,2a2+a}，3∈A，求实数a的值.

原因分析：集合元素具有确定性、无序性和互异性的性质，在解决集合问题时，要注意验证是否满足元素的互异性.当出现多解时，要检验是否都能符合要求.

二、方程

增根这个概念首先出现在解方程的问题中，高中遇到的方程有三角方程、根式方程、对数方程等，在解决问题时，要注意方程中所含变量隐含的限制条件.

例2 已知sinα，cosα是方程8x2+6mx+2m+1=0的两个实根，求实数m的值.

原因分析：一元二次方程有实根的前提条件是判别式△≥0.学生进入高中后，数系从实数向复数进行了扩充，而两个虚数的和与积也可以是一个实数，从而求出参数的值后要回代方程，检验是否满足判别式△≥0.

三、解三角形

解三角形是三角中的一个典型问题，主要利用正弦定理、余弦定理结合诱导公式、和差角的三角公式，研究三角形中的两个要素“边”“角”之间的关系.

例3 若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

四、三角函数的性质

三角函数是函数大类中的一个典型函数，它和很多生活实际问题都有关联，命题时很受到大家的青睐.三角函数的单调性、周期性、对称性是三大重要性质，在高考中经常出现它们的身影.

五、导数

导数引入高中课程以后，利用导数可以快捷方便地研究函数的单调性、极值、最值等问题．导数作为研究函数性质极其重要而有力的工具，为我们解决许多函数问题提供了一种更简单易行的方法和途径，极大地丰富了数学思想方法.

例5 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a+b的值.

原因分析：函数在x=x0取得极值与f′(x0)=0并不等价.如函数f(x)=|x|在x=0取得极小值，但f′(0)不存在；函数f(x)=x3满足f′(0)=0，但在x=0处取不到极值.可导函数f(x)在x=x0取得极值满足f′(x0)=0；反之f′(x0)=0，需要确定导数f′(x)在x=x0两侧的符号才能确定是否取到极值.

六、解析几何

解析几何是高中数学的重点和热点内容之一，字母运算的繁杂、平几性质的应用和解题路径的选择对学生提出了较高的能力要求.在解决这一类问题时要通观全局，局部入手，整体思维.即从宏观上去把握，从微观上去突破，在解题思路的整体设计和解题细节上下功夫，才能突破解题中的道道难关.

七、数列

数列是定义在正整数集上的一类特殊的函数.自变量n的取值从1到+∞，给人的感觉是“无穷无尽”，容易造成难解题的错觉.在处理数列问题时，要有将一般问题特殊化的思维，便能快速找到解题的通道.

例8 已知数列{an}满足(n-1)an+1=nan-a1，n∈N*.

(1)证明：数列{an}为等差数列；

八、向量

向量是近代数学中重要的基本概念之一.由于它具有几何形式与代数形式的“双重特征”，使数学中的“数”与“形”完美的结合在一起，更进一步发展和完善了中学数学知识结构体系，拓宽了研究和解决问题的思维通道.

数学解题之所以会产生增根，主要因为在化简变形过程中，使用的是必要条件而非充分条件，导致转化不等价，这就需要我们有严谨的思维，理性地去认识问题的本质.引导学生在解答完数学问题后，回顾一下解题过程，反思其中的一些关键环节，对答案进行有效地检验，养成检验的习惯，它不仅能提高解题的正确性，而且还有助于学生思维的锻炼和解题能力的提升.