关于解三角形的结构不良问题的探讨

江苏省苏州市苏苑高级中学 (215128) 顾晶晶

“问题解决的过程是培养学生能力、发展数学学科核心素养的过程.”新课程标准对数学课程和教学有新的指导,同时也赋予了新高考许多新的意义和要求.新高考数学在题型和试卷结构上有了创新性改革,其中题型的变化之一是引入了结构不良问题.

所谓结构不良问题是相对于结构良好问题而言的,结构良好指的是条件清晰明确,结论统一.但是,实际生活中我们遇到的问题往往结构并不良好,可能是缺少解决问题的必要条件或者某个条件存在变数,也可能是结论具有多样性,甚至在某些特定条件下问题是无解的,而且问题的解决过程更是千差万别[1].结构不良问题以创新的呈现方式和开放的设问方式,引导学生发现问题、提出问题,全方位考查学生的探究意识和发散性思维,把对数学素养的考查与问题的解决融为一体,对数学学习和数学教学的启示也是积极的、深刻的.本文将针对与解三角形有关的结构不良问题,浅谈对此新题型的解决策略与技巧的启发与思考.

1.问题呈现

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

分析：本题开门见山要求学生补充一个条件,说明本题属于条件或数据缺失的结构不良问题.题目看似给了考生选择的自由,但实际上选择也在试题考查的范畴.不同的选择可能导致不同的结论,难度与用时也会有所区别.所以,在选择条件之前应先分析、简化已有条件或选项条件，结合问题，有方向性地选择有利于高效解题的条件.

解：选择条件③.

点评：这道结构不良问题条件是外显的开放,结论是隐晦的开放,三角形存在与否是个不确定但可以作为“结果”的结论.而且,在这题中“三角形不存在”这看似不那么“完美”的结果,在考试中却是“完美”解答.

问题:是否存在钝角△ABC,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=a+1,c=a+2,?

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

分析：本题同样是属于条件或数据缺失的结构不良问题,首先分析已有条件.本题的已有条件比较简单,b=a+1,c=a+2给出了三角形三边之间的关系,再补充一个条件即可求出三边的具体数值,所以,在选择条件时只需重点考虑计算量.若选择条件①,ac=8与c=a+2联立消元,通过解关于a或c的二次方程求出三边.若选择条件②,由正弦定理,2sinC=3sinA等价于2c=3a,再与c=a+2联立消元,得到关于a或c的一次方程进而求出三边.同样是解方程组,显然选择条件②更简捷.若选择条件③,可利用余弦定理,依托角A的余弦值构造关于a的方程求解.这里,角A余弦值的正负要有必要的判断说明.简要分析之后，显然选条件②求解三角形较为简单.

本题的问题表述与例1很相似,但本题还多了“钝角”这样一个限制条件,所以求出三边后还需验证是否为钝角三角形.

解：选择条件②.

三角形存在与否是不确定的,但“钝角三角形” 这一要求是明确的,所以这是解决问题的一个突破口.由b=a+1,c=a+2可得c>b>a,所以在本题中,借助化归思想,“△ABC为钝角三角形”等价于“角C为钝角”,从而可以利用余弦定理建立关于a的不等式,确定a的范围.本题中还有一个容易忽视的隐含条件：三角形两边之和大于第三边,由此还需建立不等式c>b+a,限制a的范围.

点评：在试题考查中,结构不良问题大多以条件缺失的形式呈现.有时初步审题后会感到无从下手,此时需要找到题目中的关键信息(可能在条件中,也可能在问题中),确定问题的本质,进而解决问题.题型只是问题呈现的一种表现方式,问题的解决最终还是依托于基本数学思想和基本数学方法,扎实的认知基础才能保证思维的准确性与有序性.

2.解法探究

结构不良问题,初始状态、中间状态、目标状态至少有一个不明确,需要学生根据具体条件,从多个角度考虑,分析不同可能,寻找可行的、较为简便的解决方法,以考查学生思维的系统性、灵活性、深刻性、创造性.

常见的与解三角形有关的结构不良问题主要类型有: 条件部分缺失、问题呈现开放等,其中,最常见的是条件部分缺失型结构不良问题.这一类问题也会遇到几种不同情况: 不同条件对应相同结果、不同条件对应不同结果、条件之间不可共存或者条件本身与既定事实矛盾.较之传统结构良好的解三角形问题方法,可采取以下几点策略应对相关的结构不良问题:

第一,分析固有信息,构建问题空间.由于结构不良问题可以表现为多个不同的问题,所以建构一个合适的问题空间是解决这类问题最基础、最核心的步骤.“构建问题空间的前提是搜索、评价和选择关键信息[2].”因此,在解题时应当细审题目,抓住题目中确定的信息,心中明确: 已知量是什么,处理已知量常用的数学方法,已知量与未知量之间的关系等解题因素.审题阶段要尽量地从错综复杂的问题表述中探求到合适的问题空间,为接下来解决问题确立一个大致方向.

第三,立足基础知识,突破问题防线.从试题的内容来看,结构不良只是问题呈现的一种方式,真正考查的仍然是解三角形知识.除了正弦定理、余弦定理、划归思想、方程思想等高中频繁接触的基础知识和基本思想之外,三角形的性质等平面几何的相关性质定理在思考问题时也需要注意留心.比如例1中,考生极容易忽视“三角形两边之和大于第三边”这一性质而导致多解.

第四,监控解题过程,调整处理策略.在解题过程中,要有监控和评价解题过程的意识,留心是否有被忽视的细节,或者,是否有更优化的解决途径.

第五,保持平和心态,稳定解题情绪.心理学学者Sinnott发现,情绪和与任务无关的信念会影响目标的选择[3].结构不良问题具有开放性,虽然前期作了思维铺垫,但仍有可能遇到思维障碍.如果遇到卡顿或与预期不一样的结果,要能够及时调整状态和方案.

3.策略应用举例

例3 在①bcosA-c=0,②acosB=bcosA,③acosC+b=0这三个条件中选择符合题意的一个条件,补充在下面问题中,并求解.

分析：同样是条件缺失的结构不良问题,这一题与例2还是有所区别的.本题的问题是明确的(求角A),这意味着选择条件有一个最基本的前提——三角形存在.

点评：本题中“三角形存在”是个隐性的必要条件,“无解”不再是“完美”结果,甚至不能作为结果.这给选择带来了限制，可能并不是所有的选项条件都可以充当解决问题的补充工具.此时,若还是不假思索盲目选择，也许会事倍功半,由此可见解答之前分析已知条件,构建问题空间的重要性.

图1

分析：同样是条件缺失的结构不良问题,这一题与例3还是有所区别的.例3的问题是明确的(求角A),这意味着选择条件有一个最基本的前提——三角形存在.而本题是需判断在不同条件下的确定△ABD的个数，并且个数唯一时求出BD的长，求解是理应将AD不同情况逐一判断.

图2

4.结语

结构不良问题具有条件不确定、方法不固定、结果不唯一等特点,其解决过程具有探究性,有利于促进学生数学素养的养成和数学能力的提升.结构不良试题的命制,要求学生的思维从知识的习得与记忆更多的转向问题的解决、策略的选择,使得数学应用在思维层面真正发生.所以,教师在数学教学过程中应当引导学生从传统知识的接受者转为主动的问题解决者; 学生在解题训练中应当有意识地思考条件和问题的本质内涵,把握已知与未知的实质联系,逐渐养成良好的思维习惯.