用先进思想促进高中生数学解题能力的发展

摘要：数形结合是带动学生思维发散的有价值思想，它既可以帮助学生产生独立思考的能力，又能够在结合传统数学知识后，彰显出不一样的解题思维，确保了学生学习期间的趣味性和生动性，是实用性极强的一种先进的数学思想.现从数形结合思想的重要性出发，指出它在课堂教学期间带动高中生数学解题能力发展的基本原则、方向，以及具体实施策略.

关键词：高中数学;数形结合;解题;策略

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）15-0035-03

收稿日期：2022-02-25

作者简介：王莉（1986.10-），女，本科，中学二级教师，从事高中数学教学研究.

数形结合可以说一方面属于一种数学思想，而又是一种比较典型的、有突出实用价值的解题方法，它可以让学生在解题期间，比较自然地拥有抽象与形象思维，并使二者有机结合.在针对高中生的解决数学问题指导期间，教师需要有意识地使用数形结合思想，则可使之依附于具体的问题，实现学生解题效率提升的目标.

1 数形结合思想的解题能力发展重要性

1.1 保持学生的解题热情

高中数学问题有时本身过于枯燥，其抽象性与逻辑性特征，让相当一部分学生出现手足无措之感.然而正所谓万变不离其宗，只要使学生了解数、形这两种数学基本概念，并使其对立与统一的关系被灵活应用，则不但解题时的瓶颈被突破，而且还可以让学生更加轻松与高效地应对问题处理任务，从而让学生体会到问题中的数学知识呈现之灵活性，并以生动有趣的视角，将这种灵活性在解题过程中还原出来.

1.2 发展学生的解题能力

高中代数问题之中，“形”的建立有越来越广阔的应用空间，而几何问题之中，“数”的运算也有越来越深入的应用机会，二者的有机结合，实际上给学生的数学应用能力提出了更为严格的要求.教师借此机会，进行数和形快速、合理转化思想的尝试，以及构建更为直观数量关系的思考，可对发展学生解题能力提供平台支持.学生将在转化数量关系期间，同步感受到“数”的运算功能与“形”的直观功能，让二者的完美结合更好地服务于自我解题时的推理、演算、总结及归纳工作，从而保证数学问题的完美解决.

1.3 拓展学生的思维能力

高中数学课程改革所提要求中，涉及到教师教学时需持续进行学生发散思维能力开发的努力，关注学生创造思维能力等方面的内容，以及对学生数学核心素养加以培养的内容.若教师忽略数学思维方面的训练，只注意问题解决及考试技巧，那么解题指导过程难免会陷入于不利的境地，使学生的创造性与创新性思维被局限.为此，教师需要意识到引入数形结合观念的价值，使之在解题期间，因生动和灵活等特点，为学生带来全新的思维体验，受此影响，学生会掌握数与形的构建，还有融抽象数学问题于形象化处理情境的有效策略，从而激发自身数学学习的大量潜在能力.

2 数形结合思想促进解题能力发展的原则

在面对比较具体的数学问题时，若学生达到对于问题题干的合理分析要求后，便可以以直接或者间接的方式，将数学知识朝图形角度转化与调整，并使这种转化过程变为问题解决的途径，而教师在此期间则应将数形结合观念渗入工作做好，以确保学生得以更顺利地整合形和数的关系，实现高效解题的目标.在此过程中，师生应当共同遵守如下几个原则.

2.1 等价原则

所谓等价原则，即运用数形结合思想时，需要保证题目之中的条件和关系，在利用外形呈现时，不会出现背离和偏差，始终以精细化的态度加以处理.如果违背这一原则，学生将有可能在赋形时，变化题目条件内容，如扩大或者缩小定义域、值域等，从而导致结果的失之毫厘，谬以千里.

2.2 双向原则

双向原则即在应用数形结合思想时，应当始终保持以形助学，用数解形的基本态度.一般来讲，即需要学生从两个角度关注问题，而并不是仅于单一方面展开努力，从而防止在解题时误入错误渠道.对于相当一部分高中数学题目来讲，它们通常都有复杂化和综合化的倾向，这便要求学生要利用图形和运算的同步认知来带动题目的处理.

2.3 簡化原则

数形结合思想的应用，从本质上讲，其宗旨在于让数学问题变得更加简单.若以数形结合思想为指导，并对具体操作模式进行调整后，未能让数学题变得更简单，甚至出现了趋于复杂化的倾向，那定然是解题出现了问题.例如在方程求解时有漏洞，或者图形展示时有不足，这种非但不能解决问题反而制造了新问题的做法是不可取的.

2.4 实用原则

数形结合思想在解题时的使用，目的在于解题，所以无论教师还是学生，在启用本思想时，需要保证实用性原则的自始至终贯彻，也就是只有在满足实践需求的指引下，才能使数和形相结合，所以，在难度不是特别大，或者内容不适宜的情况下，应当避免该思想及对应方法的使用.

3 数形结合思想促进解题能力发展的方向

3.1 集合问题

当面对集合问题时，借鉴数形结合思想，具有内容和方法上的便利性.例如下题：已知集合A={x|x-5x+6>0}，B={x|（x+1）（x-5）≤0}，试求A∩B.针对这个问题，学生可先化简集合，再于数轴内把集合A、B所表示的区域绘制出来，接下来找到公共区域值，得出A∩B={x|-1≤x<2或3<x≤5}.本例实际上已经能够非常生动地展示出数形结合先进思想的解题促进作用.

3.2 统计问题

在进行统计相关知识教学时，高中数学教师时常需要让学生依据实际给出的数据，判断各变量间的实际联系，而学生若面对计算量极大的数据时，采用逐个展开计算的办法，很显然会影响到解题效果，同时使其畏难、抵触心理升温.这时教师如果借助数形结合的思想，则能够助力学生产生对于本类问题的高效、优质处理意识.

3.3 向量问题

在进行高中数学教学时，向量是不可忽略的关键性内容，它的自身本来已经显现出较为显著的几何意义，也就是可以依靠向量展开对于几何对象的描述，像：a·b=0的几何意义为向量a、b拥有彼此垂直的关系，此外，a· a可以表达为向量|a|的平方.在解决问题时，教师利用数形结合思想应用的策略，会在具体的向量教学活动期间，有效引导学生完成向量数量积的认识，以及向量几何意义的把握任务，以此突破向量代数性质的难点.

3.4 函数问题

函数在高中数学课程体系中的作用可谓举足轻重，既属于考试必选题目，又会在学生数学思维能力检测方面发挥出独特价值.而在相当多的函数解题中，也均会应用函数图像，使之成为复杂问题简单化的载体形式.但同时，函数知识并非常见生活体验范畴，学生学习并理解函数问题出现困难是一种比较常见的现象，此时高中数学教师可以把数轴、坐标轴等看作学习者深刻感受函数方程式的必要工具，用构建图形的做法，形象化地展现出数字意义，防止学生理解困难问题的不易化解.

4 数形结合思想促进解题能力发展的策略

4.1 数与形的直接结合

高中数学学习期间，部分数学问题在数量关系上是比较抽象的，这一点人所共知，这在实际操作中，确实给学生的求解实际问题增加了难度，此时便应当做好针对问题条件的充分分析与有效理解.例如教师提示学生：是否能够探索到其中的明显几何意义，若是可以利用数形结合的策略来解决最好.在教师的提示下，学生便可以直接利用画图的形式，从已知条件出发，完成对于数量关系的重新审视，并依题目所给数量关系、限制条件突破解决障碍，这种策略在前述集合问题中，有比较生动的体现.

4.2 数与形的转化结合

高中数学学习时，将面对很多的数学问题，此类数学问题无法直接看到其中所具有的几何意义，因此可采取先变形再数形结合的方式，将题目之中的数量关系向与图形相结合的角度转化，确保抽象问题变得具象化，使题目拥有顺利求解的可能性.关于这一点，直线斜率模式比较具有代表性，对于此类型数学问题的解决，如果可以把所求问题转化成（a+d）/（b+c）的形式，便能够更加接近于直線斜率公式，依斜率几何解释完成规律变化的探索，从而突破解题的瓶颈.

4.3 数与形的联想结合

这里所说的联想，是在对题目信息中的数形结合可能性进行挖掘过程中，增加类比环节，通过类比的形式，找到隐含的数形结合关键点，在此之后通过转化数学图形模型的形式，对数学问题加以解决.此种类比联想形式能够让原本复杂的解题步骤被简化，同时也将便利于高中生的问题思考过程.例如问题：已如0<a<1，a|x|=|lgx|，试问方程实根个数是多少？这种综合化程度较高的问题，可以做适当变化，在联想后基于有关函数图象，绘出对数函数、指数函数等的图象，再从已学习过的知识出发，使根的数目转化为图象交点数目.

数与形是数学学科内的两项比较古老和基本的研究对象，它们能够于一定情况下做到相互转化.在高中数学教学期间，利用它们的这种转化可能性，以及由此体现出来的数学思想，将让学生在课堂上拥有更大的收获.正是由于数形结合思想意义突出，因此需要教师在未来工作中投入更多关注目光.

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[责任编辑：李璟]