一道高等数学求极限习题的不同解法背后所蕴含的数学知识与原理

摘要：本文研究了普通高等学校少数民族预科教程（修订版）《高等数学配套练习册》中的一个求极限练习题的不同解法，引出一类分式（分子和分母至少有一个为几个式子的代数和）是否能直接利用等价无穷小代换求极限的两种情形的问题.情形一，分子或分母只有其中一个可化简成乘积的形式，而另一个不能;情形二，分子和分母都不能化简成乘积的形式.结合例题，本文进一步分析，分别讨论了在这两种情形下，如何利用等价无穷小代换求极限的方法，回答了教学过程中学生的一系列相关疑问.

关键词：极限;无穷小;等价代换;四则运算

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）15-0062-03

收稿日期：2022-02-25

作者简介：李霞（1985.10-），女，云南省楚雄人，硕士，从事数学教学研究.

1 由一题多解引发的疑问

普通高等学校少数民族预科教程（修订版）《高等数学配套练习册》（人民出版社）第一章函数与极限中，第8页的一个练习题.此题属于“0/0”型，在学生还未学习洛必达法则求极限时，有以下几种解法：

利用等价无穷小代换求极限可以使得计算简化，从以上几种方法比较来看，方法三与四应该是所有解法中较简单的，但是却很少有甚至没有同学用这两种方法做.

在讲课本第一章第3节无穷大与无穷小，利用无穷小量进行等价代换求极限时，我们通常对学生强调，可以对分式的整个分子或分母进行等价代换，也可以代换分子或分母中的因式，但分子或分母为多个式子的代数和的时候，一般不能代替其中的一项，否则就易出错.为什么不能代换，很多书上避而不谈，可为什么如上问题结论又是对的，那样做到底对不对，这或许就是很多同学迷惑的原因.

2 解决疑问有妙招：极限四则运算法则来帮忙

例1利用等价无穷小求极限的问题，可以归结为分式中分子或分母只有其中一个可直接等价代换或只有其中一个可化简成乘积的形式进行代换的情形，怎么求极限呢，我们可以结合极限的四则运算法则来解决.

总之，使用等价无穷小代换，是求函数极限常用的一种方法之一，在一定条件下，恰当地利用等价无穷小代换求极限，可以很大程度上简化极限的计算.当然，等学生学习了第二章导数及第三章微分中值定理以后，对于这种“0/0”型的极限计算，也可以考虑用洛必达法则求极限.

参考文献：

[1] 罗守山.普通高等学校少数民族预科教材（修订版）高等数学[M].北京：人民出版社，2006.

[2] 罗守山.普通高等学校少数民族预科教程（修订版）高等数学配套练习册[M].北京：人民出版社，2006.

[3] 祝微，楊春艳.等价无穷小代换定理的拓展[J].长春师范学院学报（自然科学版），2010，29（1）：12-14.[责任编辑：李璟]B847C921-F4F9-4BE3-B4E4-9109C39FC643