分式形式的函数求极限方法小结

黄玉兰

摘 要：本文从分子分母的极限特点出发，总结了不同特点的分式形式的函数求极限的方法，并举例进行了说明.

关键词：分式；函数；极限

一、引言

极限是《高等数学》教材的一个重要知识点，分式形式的函数求极限是极限知识中的一个重点也是一个难点问题，在分式形式各异时，求极限的方法也不近一致，很多学生在遇到求分式形式的函数极限时，不知该用哪种方法来解答，甚至不知如何动手。本文从分子分母的极限特点出发，对分式形式的函数求极限方法进行了分类和总结。

二、方法分类

若 f（x）=A， g（x）=B （A，B为常数或） ，下面根据A，B的取值特点对分式 在x→x0时极限常见情况进行分类讨论.

（1）当A，B均为常数，且B≠0时，由极限的运算法则有：

= = （B≠0）

（2）当A，B均为常数，且B=0而A≠0时，则有： =∞分析：由于分母为无穷小，分子极限为不等于0的常数，则无穷小的倒数为无穷大。

分析：分子极限为3，分母极限为0.

（3）当A=B=0时， 为 “ ”型的未定式，求极限方法还可细分：1） 当分子，分母可以因式分解约分化简时，则考虑约分.例3、求 解： = = =6。2）当分子，分母中有根式时，则考虑有理化.例4、求 解： =lim = =。3）当分子上有与sinx联系的三角函数且形式较简单时，则考虑与第一个重要极限 =1的联系，利用结论 =1求解.例5、求 解： = ×2=2。4）当分子分母满足罗比达法则的三个条件时，则采用罗比达法则求解.例6、求 解： = = = （2+ ）

（4）当分子分母为无穷大时：1）满足罗比达法则的三个条件时，考虑用罗比达法则求解.例7、求 解： = = = =0。2）分子，分母为x的多项式时，考虑用以下结论.一般地，当a0≠0，b0≠0，m和n为非负整数时，有 =

三、结语

对于形式为分式的函数求极限，一定要具体问题具体分析，根据分子，分母极限取值情况的特点来选择合适的方法，应多练习以求熟能生巧，更应注重方法和方法的结合.

参考文献：

[1] 同济大学数学系.高等数学[M].高等教育出版社，2007：23-31.

[2] 周志燕，程黄金.高等数学[M].东北大学出版社，2014：11-15.