基于元认知理论的数学解题教学探究

黄少伟

【摘 要】 波利亚说，“学习数学就是学习解题”.单墫教授认为，“解题是一门实践性的学问”.中学数学教学的首要任务是加强解题的训练，学生在教师的引导下，面对具有挑战性的数学问题，展开持续性地探索，获得学习数学的兴趣和解题的成就感，通过解决问题让学生成为学会学习、主动学习的人，

【关键词】 元认知理论;数学解题;课堂教学

1 解题教学现状与原因剖析

很多学生都认为数学“难，数学知识抽象难懂.学生在解决数学问题时，也面临读不懂、不会做等问题.因此，解题教学显得尤为重要.结合教学实践，笔者认为学生的解题困境有以下几点原因：

1.1 新课教学时间缩短

教师为赶进度而加快上课节奏，违背学生的认知发展规律，对于大部分初中生来说，短时间内吸收不了大量抽象的数学知识，解题能力自然下降.

1.2 概念教学一笔带过

概念课是每个知识点的起始，学生解题错误主要源于概念不清.例如，求解含参数的一元二次方程的取值范围问题，需要考虑二次项系数a≠0的情况，学生会忽略而导致结果出错;又如题目中呈现“作点A关于直线l的对称点B"，学生往往只会作图，但不会运用轴对称的性质得出l是AB的垂直平分线，进而难以解决后续问题.

1.3 “运算能力”和“推理能力”差

数学学习的基本任务是学会运算和推理.运算要正确、合理和迅速，推理要符合逻辑规则，分析好解题思路能大大加快解题的速度.

1.4 没有预留充足时间给学生审题

课堂观察发现，很多老师在解题教学时，学生没有读完题目就问“你有什么想法？”，学生一时答不上来，就说“看来大家暂时没有想法，下面我来讲！教师急于求成的行为，久而久之会影响学生的解题和思考习惯. 2 元认知理论 元认知的概念最早由美国心理学家Flavell提出，他将元认知定义为：反映或调节认知活动的任一方面的知识或者认知活动.简言之，元认知就是对认知的认知.元认知分为元认知知识、元认知体验和元认知监控三个要素.

在解题教学中，元认知知识指个体在解决问题时，调动通过学习或生活经验积累的一般性知识.个体间对元认知知识的反应存在差异，如在解决几何的最值问题时，有些学生喜欢利用几何直观转化求最值，而有一些学生喜欢通过建立坐标系、构造函数求最值.元认知体验指个体在解题时产生认知和情感的体验.如在解题时，通过启发式问题，“题目的已知条件是什么？”“要求解的问题是什么？”“通过条件，可以得到什么小结论？”“为后续解决问题，有何帮助？”等帮助自己解题，元认知监控则是指主体在解题时，对自己的解题活动进行积极而自觉地监视、控制和调节的过程，

波利亚提出在解决数学问题时，可以利用启发式自我提问法，主要包括四个步骤：理解问题、拟定计划、执行计划与回顾[1];喻平教授认为解题历程分为问题表征阶段、问题解决过程、解题后反思[2].笔者结合理论与教学实践，将解题教学整理为以下5个过程：审清题意，理解问题;联想问题，找到突破口;设计方案;执行方案;回顾与反思.

3 例谈元认知在解题教学中的应用

通过上述分析，笔者将以具体的解题教学实例阐述元认知理论在解题教学中的应用.

案例 人教版教材九年级上册P87例4改编

如图l，圆O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交圆O于点D，求CD的长.

3.1 审清题意，理解问题

在解题前，一定要给学生留足时间思考.解题教学中，培养学生认真审题的好习惯.在这个阶段，学生充分理解题意，圈画关键词，几何图形标记相等线段、相等角等.这里要引导学生，理清题目条件（包括显性条件和隐形条件）是什么？目标是什么？能画一个草图或使用其他记号简化问题吗？

3.2 联想问题，找到突破口

通过条件梳理，教师利用启发式问题帮助学生联想，找到解题的突破口，如：之前见过这个类型的问题吗？你能发现一个用得上的定理吗？可以从哪一个条件出发？

求CD前的准备：利用勾股定理和等腰直角三角形可以求得BC=8 ，AD=BD=5，√2.

概念 角平分线、等腰、勾股定理求线段长

联想1 √ACD=45°是一个特殊角，可以利用特殊角，求长度.

联想2 CD是角平分线，可以利用角平分线的性质定理.

联想3 等腰直角三角形ADB，DA=DB.

3.3 设计方案

通过上述的联想，设计方案，方案的设计依据是？预测可以执行吗？如果都能执行，你会选择哪一个？

方案1 以∠ACD=45°特殊角為切人点，作垂直，利用勾股定理求长度.

方案2 以CD是角平分线为切入点，利用角平分线的性质定理，构造辅助线.

方案3 以DA=DB共点等长为切入点，构造旋转.

3.4 执行方案

方案是否具有可操作性？实际操作时，是否碰壁？需要调整解题方向吗？

3.5 回顾与反思

以上三种解法都各有优点，直接解法简单明了;利用角平分线定理求长度，设未知数会使解题过程更加清晰;利用共点等长构造旋转，需利用内接四边形对角互补证明三点共线.对于不同的问题，结合已知条件，可以选择不同的方案解决问题，

此题本质是对直角的四边形加一组等边求长度的问题，因此在解题教学的最后，可将题中的圆隐去，并改变其中部分条件，得到如下变式题，加深学生对此类问题的理解.

4 数学解题教学中培养学生利用元认知解题的策略

元认知理论认为，人是积极主动的机体，其主体意识监控现在、计划未来，有效地控制自己的思维和学习过程.教师如果能在解题教学中利用元认知理论引导学生解题并进行自我反思，那么学生不仅能掌握解决问题的突破口与方法，更快地解决问题，还能提高学习内驱力，以下提供几个教学策略.

4.1 有意识地运用元认知理论进行解题教学

教师在解题教学中，运用元认知理论的5个阶段，不断追问，逐步引导学生解决问题，当学生独立解题时，也能潜移默化地使用元认知理论，通过启发式问题引导自己，提高解题的速度与正确率.

4.2教会学生学会反思

解题教学中的最后一环是学会反思，通过解决问题的过程，帮助学生严谨地回顾自己的思维过程，思维是否清晰、连贯、深刻，有没有抓住问题的本质与规律.也可以在教学中，尝试学生的错误想法，弄清弄懂错因，帮助学生理解易错点，引起反思.

4.3 注重变式与迁移

教师设计多方位、多角度的解题突破口，旨在殊途同归的思维程序.在解题教学中，教师要精心创设一个符合学生认知规律，能激发学生求知欲的由浅人深的问题情境，启发探索，诱导反思，养成多角度分析数学问题的习惯，并在解题后，可以设计变式题，修改题中的条件，再次引发学生思考，提高学生的知识迁移能力，完善认知结构.

参考文献：

[1]（美）波利亚.数学的发现[M].北京：科学出版社，2001

[2]喻平.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2010