高中数学数列试题的解题方法与技巧

赵向杰

【摘要】数列是高中数学课程的重要章节，本章学知识表现形式灵活，且难度较高，学生在这个章节的学习中普遍得分率不高.数列种类多样，在出题的过程中可以用多种题型对学生进行考察，因此在试卷的分值占比较较多.所以在高中数学教学中，教师应当引导学生掌握数列基础知识进而增加解题技巧和方法，能够有效提高学生数学成绩.本文通过对数列教学中的实践进行汇总，根据数列的解题技巧和方法进行浅析.

【关键词】高中数学;数列试题;解题方法与技巧

学生对数列的解题技巧和解题方法如果能够扎实掌握、灵活运用，对于学生以后大学学习有着莫大的帮助和重要的意义.近年来的高考试题以灵活运用为导向，针对数列知识的题型灵活多变，非常适合出题人应用，因此一些高考数学大题中数列知识成为了解题的关键与核心，学生们对数列的学习方法和学习技巧显得尤为重要.

教师应当根据高考试题变化策略，针对数列的解题方法和技巧进行总结，从基础知识点入手，引导学生找到各类数列知识题型的解题规律，从而使学生建立数学学习的自信心，为数学知识的进一步学习奠定基础.

1 高中数学数列知识的重要性

高中数学这个科目，不论对于选择文科还是理科的学生而言都是非常重要的，高中数学是三大主科之一，不仅分值占比高，数学成绩的优劣更是关系到物理与化学的成绩，因为这两门学科中的计算都是数学科目中的必备内容.高中数学不但负责着学生的逻辑思维训练，更是与多门学科有着密切的联系.高中数学数列问题怎样学，主要看学生对数列的基础知识理解程度.学生要具备自己的思维方式，不能仅仅听教师课上所讲的知识内容，在课下更应当及时温习、刷题，加深知识印象和灵活运用的能力.

依据数列的概念：按照一定顺序排列的一列数称之为数列.学生在教师的带领下可以构建自己的知识架构，首先把握数列知识版块的知识结构，构建自己的数列知识网络，然后从考试题型上掌握数列解题的基本技巧与方法.

2 高中数学数列问题的解题方法与技巧

2.1 利用基本概念解题

各省高考试题中均有关于数列基本概念的题型，这些题型对数列知识的考察大都仅仅涉及到基本概念和原理.对于号称“多考一分干掉千人”的残酷高考来说，教师必须要教导学生熟练掌握数列基本概念和基础性知识.对于这些利用基本概念解题的题型保证让学生一分不落地拿到手.

在高中数列教学过程中，一些数列题目的特点就是模式化，学生仅仅需要依靠公式套入数字即可得到正确答案.在遇到这样的题型时，学生一定要细心谨慎保证百分百正确率.不能因为看到简单的数列问题就轻敌，漏掉重要条件最后导致功亏一篑，痛失分数追悔莫及.

以数列基本概念题型为例：在所有项均为正数的等比数列{b}中，首项b₁=5，b₁+b₂+b₃=18，那么b₃+b₄+b₅等于多少？首先引导学生进行读题，把握题目中的关键因素，教师可以从以下三个主要方面引领学生分析试题：第一，这道题考察的主要内容是什么？出题人的目的何在？经过学生思考发现，本题主要考察等比数列通项公式的知识内容;第二，这道题目要求学生利用题中已知条件，根据等比数列通项公式与求和公式，进行进一步的计算从而求得答案;第三，本道题目的重点环节在于要求出公比q的数值，也就是从题中已知条件b₁+b₂+b₃=18进行解析，列出2（1-q²）/（1-q）=18，学生通过计算得出q的答案.

经过教师这样分步骤的系统讲解，学生在做类似题目的时候条理和思路分外明晰，经过多道类似习题的演练学生能够熟练利用数列基本概念进行解题.类似这样的数列习题，就没有什么特别的技巧与办法，只要学生对等比数列的求和公式与通项公式熟练掌握即可，然后直接进行运算得出答案.

2.2 利用数列性质解题

近年来高考试卷出题，着重考察学生的逻辑思维能力和综合运用数学思维方式解题的能力.在高考数学试题中以学科素养为导向，注重对学生的数学能力考察，对数学基础知识的覆盖更加广泛全面，增强了试题的综合性与实用性.在试题中以贴近实际生活的数学情境为引，落实对数学知识的考察.许多高中数列的题型虽然类别丰富、令人眼花缭乱，但是出题者的大体思路是一致的.因此在教学过程中，教师应当提醒学生仔细分辨这类看似新鲜实则是“旧瓶装新酒”的习题，引导学生尽快找到正确的解题思路和解题方法.

例如 在利用数列性质解题的题型中有：已知等差数列{y_n}中包含y₁+y₇=12，求解y₂+y₃+y₅+y₆之和为多少？这类数列题型针对等差数列中的一个基本知识点，那就是m+n=p+q.在做练习题的过程中学生对于该知识点的印象是否深刻，或者是学生是否真正掌握了等差数列的所有相关知识，就显得尤为重要.在教师的引导与回忆过程中，學生通过思考、查阅课本、翻找笔记等多种方式，对本题涉及的数列知识点进行二次回顾，应用这个数列的重要性质进行解题.y₁+y₇=y₂+y₆=y₃+y₅=12，经过推导该题的最终结果是y₂+y₃+y₅+y₆=（y₂+y₆）+（y₃+y₅）=12+12=24.

从以上题型中教师和学生可以轻松找出此类题型所要考察的知识内容，就是利用数列性质解题，看起来复杂多变、数字繁杂的题目，只要仔细读题并分析，抓住题中的关键信息，就能进行解答.因此在数列问题的讲解过程中，教师应当抓住数列的特性，为学生指明解题应当把握的正确方向，引导学生发现一长串数字和字母背后隐藏的数列问题的关键着手点，并正确运用这个点进行着力，以此为突破口解决数列问题.

2.3 利用通项公式解题

在数列的各种类型试题当中，通项公式占有着极大的篇幅，一些习题甚至会要求学生直接进行通项公式的求取，而部分习题则会通过隐藏相关条件要求进行误导学生，从而增加难度，然后再要求学生利用通项公式进行求解.所以在高中数学的教学过程中，教师应当注重通项公式的讲解，为学生整理通项公式的各类求解方法，在掌握这些方法以后学生才能从容面对不同类型的高难度多类型的数列题型，增加学生数学学习的信心，提高做题的效率与质量，增加做题的正确率.

本文作者整理的通项公式求取方法主要有以下几种供大家参考：第一，利用等差数列和等比数列的性质找出对应的通项公式，然后进行求取;第二，从题中多种关系条件中进行梳理分析，利用相关条件进行通项公式的求值;第三，运用叠乘或叠加的方法进行通项公式的求取.

下面进行通项公式普通求解方式的分析：

首先，根据已知条件进行等比数列的构造，所有出现关于后项与前项的依次递进推式均可以构造出等比数列，利用等比数列进行通项公式的求取;

其次，根据已知条件进行等比数列的构造;

再次，按照题中后项与前项的对应规律，向前一项进行推写对应式子.

如果题中已知递推公式时，求通项公式的一般方法：第一，如果题中给出a₁=a.a_n+1=qa_n+b，求a_n，可以利用待定系数法进行求解，解题关键环节在于确定待定系数λ，使得a_n+1+λ=q（a_n+λ），从而得出λ的解.最后已知a₁=a，a_n=a_n-1+f（n）（n≥2）时，求a_n的值.这道数列习题当中我们可以利用累加法进行求解，根据数列特点与通项公式可知：a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+...+（a_n-a_n-1）的解题思路.

以上是作者在日常教学中整理汇总出来的数列利用通项公式解题的几个思路，在实际应用中非常实用且便捷.

2.4 利用方程思想解题

数列在数学概念的解释上简述为离散数集（正整数集或者其有限子集）上的函数，数列的几种表示方法与函数的表示方法有对应关系，数列的性质与函数的性质也有很多相近与相似的地方.因此在高中数学数列的问题解析中往往可以利用方程的思想来开辟数列相关的新的解题思路.

数学中函数与方程思想都是非常重要的数学思维方法，其中的构造函数法更是具有非常重要的代表性，当学生在进行一些数列问题的解析时，可以借助研究相对应的函数与方程的有关性质来进行相关推导.

高中数学中，数列是数学科目的重要内容和难点，又是将来在大学中学习高等数学的敲门砖，在数学科目中数列经常会与函数、不等式、方程等其他数学版块的知识发生交汇贯通的关系，故而学生在学习和做数列练习题的时候，不但要注意观察数列的特殊性，还应当利用方程的思想、函数的观点、函数的方法来开拓新的解题思路，进行新方向的探究，透过数列练习题的表象找到对数列本质意义的理解，从而达到灵活准确应用的高标准数列教学目标.

利用方程思想解题的题型有：

题目中已知有两个等差数列{a_n}，{b_n}，这两个等差数列的前n项之和分别是S_n与T_n，并且n对于一切自然数都有等式SnTn=5n+32n+7，则求解a₉b₉的值为多少？

解析 因为{a_n}，{b_n}都是等差数列，根据等差数列前n项和的公式，可以知道S_n=an²+bn的结构形式，然后根据题中设定条件，将S_n=（5n+3）kn，T_n=（2n+7）kn，由以上分析可以较容易的得出a₉b₉=8841.

重点关注 如果{a_n}是一个等差数列，那么这道题的通项公式将是一个关于n的一次函数，整个式子的前n项和公式就是一个没有常数项的二次函数，由此就可以利用待定函数法进行本题的解答.

3 总结

通过以上多种类型数学数列习题的分析讲解以及类型汇总中，数列习题的类型并未全部总结到位，因为数学的特点就是灵活多变，存在无数待定的特性.在高中数学数列的练习题中，还有一类题型，它们就是在试题给出的条件数列中没有可以发现的规律，不符合等差数列也不符合等比数列的规律.

学生学习的数列基础知识和数列性质对没有办法与之对应，只能通过数列分解得出相应的等差、等比数列.这类习题有着很大的迷惑性.所以在日常学习和教学工作中，学生与教师还应当勤加练习，才能更多地掌握习题技巧，进而提升数学成绩.

4 结语

从本文以上内容可知，数列作为高中数学的必考知识，在整个高中数学知识系统中占据了重要的地位，在数学高考中占据了相当的分数值.高中数学教师应当充分认识到数列知识对学生的重要性 ，并且在实际解题过程中尽可能多地进行知识点的汇总与各类相似题型的归纳，通过引导学生观察、探索确定解题思路和使用相关解题方法.

虽然数列在解题中具有一系列解题技巧和方法，但是其基础仍然是对课本基础知识的牢固掌握和靈活运用，数学各类练习题的模式总是万变不离其宗，需要学生通过对数学知识的积累、掌握和拓展来进行解答.教师应当教育学生勤学苦练，培养学生自主学习能力，从而从根本上提高学生做题的效率.

参考文献：

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