关于一道几何综合题的深度探究

于敏香

【摘要】几何综合探究有助于全面提升学生的能力，教学中有必要选取具有代表性的问题开展解题引导，问题的选取建议围绕基本知识定理进行考点串联，实现几何要素点、线、面的综合.本文以一道考题为例进行深入探究.

【关键词】几何综合;面积比值;一题多解

1 问题呈现

问题 在ABCD中，已知∠BAD=α，∠ADC的角平分线为DE，与对角线AC的交点为点G，与射线AB的交点为点E，现将线段EB绕着点E顺时针旋转α2，可得线段EP.

（1）如图1所示，当α=120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系;

图1 图2

（2）如图2所示，当α=90°时，过点B作BF⊥EP于点F，试分析线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由;

（3）当α=120°时，连接AP，如果BE=12AB，请直接写出△APE和△CDG面积的比值.

2 问题解析

本题目为几何综合题，以旋转为背景，融合了平行四边形、三角形等基本图形.问题共分三问，探究线段之间的数量关系，求解三角形的面积比值.所涉三问采用关联设问的形式，设∠BAD=α，设定α为不同值，分别构造不同图形来探究，下面逐问分析.

2.1 把握旋转特性，代换推线段关系

第（1）问设定α=120°，并连接AP，探究AP与AC的数量关系，直观感知可知两者相等.可推知∠B=60°，可连接PC，探索图中的等腰或等边三角形，逐步证明，过程如下.

由于ABCD为平行四边形，则AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，∠BAD=120°，可推知∠B=∠ADC=60°，则∠BEP=60°.由旋转知识可知EP=EB，连接PB，PC，AQ，EQ，如图3所示.则△BPC为等边三角形，所以BP=EP，通过等角代换可得∠AEP=∠CBP.

又知DE为∠ADC的角平分线，则∠ADE=∠CDE=30°，所以∠AED=∠CDE=30°=∠ADE，可得AD=AE=BC，进而可证△APE≌△CPB（SAS），由全等性质可得AP=CP，∠CPB=∠APE.等角代换可得∠APC=∠BPE=60°，则△APC为等边三角形，故AP=AC.

2.2 关注特殊图形，巧破三边关系

第（2）问设定α=90°，则四边形ABCD为矩形，通过连线构建了图2，探究AF，AB，AD三条线段之间的数量关系.其中△FEB为等腰直角三角形，后续探索可以关注其中的特殊图形，由对应定理推导三边关系，具体如下.

连接CF，如图4所示，α=90°，则四边形ABCD为矩形.已知DE为∠ADC的角平分线，分析可得AD=AE=BC.

已知BF⊥EP，则∠BFE=90°，结合旋转知识可知△FEB为等腰直角三角形.由等角代换可得∠CBF=∠AEF，可证△BCF≌△EAF（SAS），由全等性质可得CF=AF，∠CFB=∠AFE.进一步可求得∠ACF=∠CAF=45°，所以△ACF为等腰直角三角形，则AC=2AF.在Rt△ABC中使用勾股定理，可得AC2=AB2+BC2，综合可得AB2+BC2=2AF2.

2.3 分類构建模型，分析面积比值

第（3）问是在（1）问基础上的进一步构建，设定BE=12AB，此时点E的位置有两种情形：一是点E在线段AB上，此时点E为AB的中点;二是点E在线段AB的延长线上.后续探究需要关注点E的位置，采用分别讨论的策略加以突破，下面具体探究.

结合（1）问可知BC=AD=AE=AB-BE，结合条件可得AB=CD=2BE.

情形1 当点E在线段AB上时，如图5所示，结合旋转条件可得PE=BE=AE=AD，且∠AEP=∠BAD=120°，有PE∥AD，所以四边形ABCD为平行四边形.设ABCD的面积为S，则S△ACD=12S，S△APE=S△ADE=14S.

因为AB∥CD，可证△AEG∽△CDG，由相似性质可得AGCG=AECD=12，可推知CGAC=23，所以S△CDG=S△ACD=13S，进而可得S△APES△CDG=14S13S=34.

情形2 当点E在线段AB的延长线上时，作辅助线：延长EP交DC的延长线于点F，连接AF，如图6所示.

因为BE=12AB，则BE=13AE.在ABCD中，已知∠BAD=α=120°，则∠ABC=60°，BC∥AD，AB∥CD，所以∠AED=∠CDE，结合角平分线特性可推知AD=AE.由旋转知识可得PE=BE，∠PEB=α2=60°，∠ABC=∠PEB，可推知EF∥BC，即EF∥BC∥AD，所以四边形BEFC和四边形AEFD均为平行四边形，可得AD=EF，AE=EF，则有PE=13EF.

设四边形AEFD的面积为S，则S△AEF=S△AED=12S，则S△APE=13S△AEF=16S.由情形一可知△AEG∽△CDG，所以AGCG=EGDG=AECD.又因AECD=3BG2BE=32，所以AGCG=EGDG=32，从而可推知S△AEG=35S△AED=310S，则有S△CDG=49S△AEG=215S，进而可得S△APES△CDG=16S215S=54.

综上可知，△APE和△CDG面积的比值为34或54.

参考文献：

[1]仲菲，刘希武.体验突破过程 生成解题模板——以解析几何综合题为例[J].数学教学通讯，2021（27）：86～88.

[2]李通.关于一道几何综合题的解析突破与思考[J].中学数学，2021（16）：60～61.

[3]贾静.挖掘一道几何题的“内核”[J].中学数学教学参考，2021（05）：3+5.