中学数学中应用构造法的解题策略

张宏敏

【摘要】构造法是指通过问题的特殊性构造出一个新的关系结构来解决原有问题的方法.本文主要从等价转换、特殊结构、反向思考、充分、必要条件、特殊到一般、局部到整体六个思考角度对如何利用构造法分析和思考问题进行论述，以便帮助学生更好的应用构造法解题.

【关键词】构造法;中学数学;解题策略

构造法解题是指当按固有思维难以快速有效解决问题时，尝试结合已知条件、性质等，选择一定的数学对象去构造新的数学载体，从而解决问题的分析方法.构造法作为数学一种常用的数学方法，主要体现了创造性思维在数学中的应用.因为被构造的对象比较多样化，通常为数、式、函数、方程、数列、复数、几何变换、数学模型等内容.因此，在应用构造法解题过程中，并没有固定的解题模式.但因构造法具有一定的广泛性与普遍性，所以可以根据具体实际问题的不同特点和需要制定不同的解决策略[].本文主要从等价转换、特殊结构、反向思考、充分、必要条件、特殊到一般、局部到整体六个思考角度对构造法解题策略进行说明.

1 等价转换

构造等价转换是指在应用常规解法难以解决问题时，通过题目中的已知信息，分析函数、解析几何、向量等知识的相关性，将原问题巧妙地等价转化为容易处理的新问题，即由一种处理方式转换为另一种处理方式，从而使问题得以解决.

例已知a、b为正数，a+b=12，那么a2+4+b2+9的最小值是多少？

分析 此题若直接采用代入法解决问题，则需计算不等式最值，计算量较大.因为a2+4+b2+9中根号里均为两个数字的平方和，所以，可以使用构造法将a2+4+b2+9中的平方和转化求线段长度，并利用勾股定理来解决此题.

解 如下图，作线段AB，使AB=a+b，构造RtΔAED和RtΔBEC，以AB、AD为邻边构造矩形ABFD.

设AD=2，BC=3，AE=a，BE=b，则DE=a2+4，CE=b2+9，所以a2+4+b2+9的最小值就是CD的长，当点C、E、D三点共线时，即ΔDCF为直角三角形时，CD长度最短，CD=CF2+DF2=13，所以a2+4+b2+9的最小值为13.

2 特殊结构

构造特殊结构是指通过观察、归纳、类比将题目中的已知信息转化为常见的特殊结构，从而可以利用这些特殊结构的性质尝试寻找到问题之间的连接点，将问题转化为可以解决的问题.如根据所要解决问题形式和结构特征，构造出合适的函数，再从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、有界性等方面加以分析，求解问题.

例 已知为b为正实数，证明b+4b+1b+4b≥174.

分析 本题若要直接证明没有明确思路，但通过观察可以看出题目形式类似于对勾函数，由此可设b+4b=x，即可构造特征函数f（x）=x+1x，从而进行证明.

证明 可设b+4b=x，由于b为正实数，可得x=b+4b≥2b·4b=4，由函数f（x）=x+1x，即可证明b+4b+1b+4b≥174.

3 反向思考

反向构造是指在解题过程中，当从正向按部就班考虑难以索解或没有明确的方向时，此时要考虑从反向思考，推导出满足结论的条件，构造这个条件去求解问题[2].这种处理方式也是我们经常用到的“正难则反、反正结合”的思考方式.反向思考即构造满足题目条件，但不满足题目结论的例子，以此来证明所构造条件的错误.在构造反例时要注意反例的正确、简单、全面[3].

例 设函数f（x）=x2+x-a+1，x∈R，讨论f（x）的奇偶性.

分析 此题要判断f（x）的奇偶性，只要找到x0在定义域内使f（-x0）≠f（x0）且f（-x0）≠-f（x0），在此题中，当x0=a时，与题目矛盾.

解 当a=0时，f（x）=x2+x-a+1是偶函数.当a≠0，f（a）=a2+1，f（-a）=a2+2a+1，-f（a）=-a2-1.此时f（-a）≠f（a），否则a=0，f（-a）≠-f（a），否则a2+a+1=0，所以fx既不是奇函数也不是偶函数.

4 充分、必要条件

从充分、必要条件进行构造通常通过研究已知条件的性质，试图从这些性质的某种组合出发，挖掘条件背后的隐含意思，去寻找一个可行的构造.这种构造能够帮助我们理解问题，并通过相关的数学知识将问题转化为已有的认识，进行求解.

4.1 考虑充分条件

考虑充分条件是在当孤立的题设条件无法找到解题思路时，构造一个使题设条件成立的充分条件，用此条件替代原条件放入题中[]，从而将问题的思路放宽放，找到解决问题的思路并求解.

例 设f（x）、h（x）是定义在R上的函数，且h（x）=f（x）f（x+1），判断h（x）是否可能为偶函数，且不为常值函数？

分析 可以构造一个使h（x）为偶函数的一个充分条件，判断f（x）是否存在满足这个条件的情况.

解 若f（x）满足f（-x）=f（x），f（-x+1）=f（x+1）（x∈R）

则有h-x=f-xf-x+1=fxfx+1=hx.

已知fx=cosπx滿足f（-x）=f（x），f（-x+1）=f（x+1）（x∈R）

此时hx符合题目要求.故h（x）可能为偶函数，且不为常值函数.

4.2 考虑必要条件

考虑必要条件是指在从条件着手思考，考虑满足问题中条件必要条件，构造这种条件，即假定所需对象已被构造出，用此条件来解决问题.

例 若f（x）=4x-2x+1，（x≥0），求f-1（0）.

分析对于此类为题，通常先判断原函数是否有反函数，如果有，计算出反函数在求解，但解题过比较复杂.对于此题可以先不求出反函数，而是利用原函数同反函数之间的关系求解，求f-10，也就等同于求fx=0时x的值.

解当fx=0时，4x-2x+1=0，解得x=1，所以f-10=1

5 局部到整体

从局部到整体进行构造是指按某种程序逐步确定所需对象，将问题分解为多个层次，细化问题，先分成多个局部作构造，再进行合成，从而解决整个问题，此种思考方式主要应用于函数问题中.在处理此类问题的过程中要注意分解形式要符合题目要求.对于复杂的函数问题，可以先将部分问题看作一个整体，以此来简单一部分题设的之间的关系.也可以通过对一些不存在或者无法考虑的关系式进行构造，使之所要表的关系在数学题目中进行了诠释，化简整个过程.

例求证：x+y1+x+y≤x+y1+x+y.

分析 观察题目可知，这是一个多层函数，且2个分式的结构相似，由

此我们逐层对此题进行分析，先构造函数fx=x1+x，再在此基础上利用函数单调性来证明该不等式，从而解决问题.

解 构造函数fx=x1+x，x≥0，则f′x=1+x-x1+x2=11+x2，

所以fx在x≥0上单调递增，令x1=x+y，x2=x+y，

又因为0≤x1=x+y≤x+y=x2，所以fx1≤fx2，

即x+y1+x+y≤x+y1+x+y.

6 特殊到一般

特殊与一般是两种相辅相成的方法，从特殊到一般是指将特殊条件归为共同的、通常的问题，从而进行一般化的分析与处理[].将特殊构造一般化是指在处理具体化的问题时将条件进行一般化处理，寻找条件中共同的源头，构造出所体现的共同结构，从而运用这种结构的性质来解决问题.

例 比较10041005与10051004的大小

分析 本题如果直接计算，运算量大，且发现两个两个数均为幂函数形式，因此先构造nn+1与n+1n，比较nn+1与n+1n的大小，等价于比较n1n与n+11n+1的大小，构造y=n1n即可求解.

解 令y=n1n，则lny=1nlnn两边求导，得到y=1-lnnn2得：y′=n1nn21-lnn.

当00即y=n1n为增函数;当n>e时，y′<0即y=n1n为减函数，

所以100411004大于100511005，故10041005大于10051004.

7 结束语

构造法通常是通过观察和分析来发现问题中不同部分之间的联系，并对其进行构造来解决问题，因此在进行构造的过程中要遵循以下原则：直观性原则、相似性原则、等价性原则，简洁性原则.直观性原则是指所构造的对象能够将条件和结论之间的关系清晰而具体的表现出来，使整个题目的解题思路变的明确.相似性原则是指发挥联想作用，通过分析题目中信息与所学习过的何种知识之间的联系，寻找他们之间的相关性和相似性，通过这种性质进行构造.等价性原则是指在进行构造时，所构造对象的满足条件，限制范围等是一样的，或者说两种表示方式反映的是同一事实.简洁性原则是在应用构造法时能够简化问题，将复杂的题目简化，如果进行构造反而使问题变得复杂，则失去了构造的意義.

本文通过分析从等价转换、特殊结构、反向思考、充分、必要条件、特殊到一般、局部到整体六个思考角度对构造法进行分析，可知构造法是解答数学问题的一种重要方法.在利用构造法解题也要遵循以下步骤：题目是否可以使用构造法求解，明确解构造法根本目的;其次需要我们首先掌握数学问题的特征，以此为依据明确解题方案，最终迅速、准确的完成解题.运用构造法解题，不仅能提升解题的效率，还有助于培养学们的创造性思维能力和发散性思维能力.