等边三角形的一个几何模型及其应用

张宁

1 几何模型

如图1，点A是直线l外一定点，点B是直线l上一动点，以线段AB为边作等边三角形ABC，试确定点C的运动轨迹.

分析 当等边三角形ABC的第三个顶点C在直线AB的右侧时，如图1，过点A作AB′⊥l，垂足为B′.以点A为旋转中心，将线段AB′绕点A沿逆时针方向旋转60°，得到线段AC′.连接B′C′，易知

△AB′B≌△AC′C，

所以∠AC′C=∠AB′B=90°，

即CC′⊥AC′.

因为点A是定点，直线l是定直线，所以点B′是定点，点C′是由点B′绕点A沿逆时针方向旋转60°得到的，所以点C′也是定点，直线AC′是定直线，根据“平面内，过一点有且只有一条直线与已知直線垂直”，易知点C运动的轨迹是直线C′C.

当等边三角形ABC的第三个顶点C在直线AB的左侧时，如图2，过点A作AB′⊥l，垂足为B′.以点A为旋转中心，图2将线段AB′绕点A沿顺时针方向旋转60°，得到线段AC′.连接B′C′，易知△AB′B≌△AC′C，所以

∠AC′C=∠AB′B=90°，

即CC′⊥AC′.

易知点C运动的轨迹是直线C′C.图3

2 应用举例

例1

如图3，在矩形ABCD中，AB=5，BC=53，点P在线段BC上运动（含B，C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°得到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（  ）

（A）52. （B）52.

（C）533. （D） 3.

分析 求解本题的关键是确定点Q的运动轨迹.以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°得到AQ，连接PQ，则△APQ是等边三角形.以点A为旋转中心，将线段AB沿逆时针方向旋转60°，得到线段AE.连接EQ，则点Q在射线EQ上运动.因为点P在线段BC上运动，所以点Q的运动轨迹是一条线段.

如图4，当点P运动到点C时，点Q在直线CD上.由勾股定理，得

AC=AB2+BC2

=52+（53）2

=10.

因为AE=AB=5，

所以AE=CD=5，

从而易知点Q在线段AC的垂直平分线上，即点Q是线段AC的垂直平分线与直线CD的交点，当点P在线段BC上运动，点Q的运动轨迹是线段EQ.

解 如图3，以点A为旋转中心，将线段AB沿逆时针方向旋转60°，得到线段AE.连接BE，EQ，PQ.易知△ABP≌△AEQ，所以∠AEQ=∠ABP=90°，

即EQ⊥AE，易知点Q在射线EQ上运动.过点D作DQ′⊥EQ，垂足为Q′，则当点Q运动到Q′时，线段DQ′有最小值.设EQ′交AD于点G，易得

∠GDQ′=∠EAG=30°，

所以AG=AEcos∠EAG=5cos30°=1033，

所以DG=AD-AG=53-1033=533，

所以DQ′=DG·cos∠GDQ′=DG·cos30°

=533×32=52，

故选（A）.

注 本题是一道以矩形为基本图形，以动点问题为情境的几何最值问题.本题涉及两个动点，当点P在线段BC上运动时，点Q随之运动.欲求线段DQ的最小值，需确定点Q的运动轨迹，这是解决本题的关键.由图4易知点Q的运动轨迹是线段EQ.文中介绍的等边三角形的几何模型在解决问题的过程中起到了方向指引的作用.当然，本题也可采用特殊化策略，利用图4可更简洁求解.

例2 如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ，则CQ的最小值是（  ）

（A）32.    （B） 1.

（C）2.（D）32.

解 如图5，以点D为中心，将线段DC逆时针旋转60°得到DE，连接CE，则△CDE是等边三角形.连接EQ，易知

△DEQ≌△DCP，

所以∠DEQ=∠DCP=90°，

即EQ⊥DE，

所以点Q在射线EQ上运动.

如图6，当点P运动到点A时，点Q运动到了Q′点，所以点Q的运动轨迹是线段EQ′.

如图4，由垂直的性质，易知当CQ⊥EQ时，CQ取到最小值.因为△CDE是等边三角形，所以

∠CED=60°.

又∠DEQ=90°，

所以∠CEQ=30°.

因为BC=4，

点D是BC边的中点，

所以CE=CD=2.

由直角三角形的性质，易得

CQ=12CE=1.

故选（B）.

注 本题是一道以等腰直角三角形和等边三角形为基本图形，以动点问题为情境的几何最值问题.主要考查直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直的性质等知识，综合性较强，具有一定的难度.求解本题的关键是确定点Q的运动轨迹，利用文中介绍的几何模型容易确定，因此，只有熟练掌握常见几何模型的性质，解题时才能做到胸有成竹，正可谓“心中有模型，解法自然来”.