一道二次函数面积最值问题的多种解法

李改生

【摘要】 函數的综合题，历来是初中学业水平考试的重要内容之一，它常与代数、几何等知识紧密联系，对学生综合运用知识解题的能力要求较高，利用函数的图象和性质求三角形等的面积问题是其中的一个常考考点，要求学生要能灵活运用各种数学方法进行解答，是学习的一个重点，本文就有关二次函数最值问题进行一点肤浅的解法探讨.

【关键词】 二次函数;面积;最值;解法

在初中数学教学中，二次函数是初中数学的一个重点，同时也是一个难点，也是数学学业水平考试必考的一个知识点.在学业水平考试中占有一定的分量，且常以压轴题形式呈现，特别是二次函数和几何综合出现的题型，更为常见，其中，求三角形面积的最大值问题又是最基本的问题.本文就一道二次函数与面积最值问题，谈点常见的解法，供各位读者参考.

原题呈现 已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点，A（-1，0），且当x<2时，y随x的增大而增大，当x>2时，y随x的增大而减小.

（1）求抛物线的解析式;

（2）设（1）中抛物线交y轴与点C，在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△DAC的周长最小？若存在，求出点D的坐标;若不存在，请说明理由;

（3）在（1）中的抛物线上的第一象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，请求出P点的坐标及△PBC的面积最大值;若没有，请说明理由.

解 （1）由函数增减性及抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴是x=2，结合图象过A（-1，0），求出b，c的值，进而写出抛物线的解析式（y=-x2+4x+5）.

（2）由“将军饮马”问题，先求出直线BC的解析式（y=-x+5），进而求出D点的坐标为（1，4）.

本文着重探究第（3）问中面积的最大值的几种解法，对第（1）（2）问不再详细解答.下面看一下本题第（3）问的解法研究.

方法1 割补图形法.

求几何图形的面积，用割补图形法是常见的一种方法，此类方法主要是把所求图形的面积适当的割补，转化为有利于面积表达的常见几何图形，进而求解.

解法1 如图1，设点P（x，-x2+4x+5）（0

因为S△PBC=S四边形BOCP-S△BOC=S四边形BOCP-252，

若S四边形BOCP有最大值，则S△PBC就有最大值.

所以S四边形BOCP=SRt△BPE+S梯形EOCP

=12PE·BE+12OE（PE+OC）

=12（-x2+4x+5）（5-x）+12x（-x2+

4x+5+5）

=…….

解题策略 先用坐标法表示出各条所需线段的长，然后根据△BPC的面积等于四边形COBP的面积与△BOC的面积之差，得到四边形COBP的面积关于横坐标x的二次函数，进而求出P的坐标及△BPC最大值.

解法2 如图2，设点P（x，-x2+4x+5）（0

S△PBC=S△OBP+S△OCP-S△OBC

=12×5（-x2+4x+5）+

12×5x-12×5×5

=-52x-522+1258，

所以，当x=52时，S△BPC取最大值为1258.

解题策略 根据△BPC的面积等于四边形COBP的面积与△BOC的面积之差，而四边形COBP的面积又等于△OCP与△BOP的面积之和，于是得到四边形COBP的面积关于横坐标x的二次函数，进而求出P的坐标及△BPC最大值.本题还可以用矩形覆盖法进行求解.

方法2 “铅垂高，水平宽”面积法.

如图3，过△ABC的三个顶点，分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h），我们可以得出一种计算三角形面积的另一种方法，S△ABC=12ah，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

用铅垂法求面积是一种重要的方法，在教学和学习中应用较为广泛.

解法3 如图4，作PE⊥x轴于点E，交BC于点F，设P（x，-x2+4x+5）（0

S△PBC=S△FPB+S△PFC

=12PF·BE+12PF·OE

=12PF·OB=52PF

=-52x-522+1258，

所以当x=52时，△PBC取最大面积为1258，….

解题策略 用坐标法表示出PF的长度之后，用S△PBC=S△FPB+S△PFC列出函数关系式，最后转化为求PF的最大值.

方法3 切线法（作平行线法）.

作一条直线与抛物线相切，即只有一个公共点，当点P在此公共点位置时，三角形△PBC的面积最大.

若要使△PBC的面积最大，可BC以为底，根据三角形面积公式求解.因为BC是不变的，所以当BC边上的高最大时，△PBC的面积最大，即点P到BC的距离最大，于是过P作BC的平行线m，当m与抛物线有且仅有一个公共点时，BC上的高CN最大.

解法4 如图5，直线BC的解析式为y=-x+5，过P点作BC的平行线PE交y轴于点E，从而可以设直线PE的解析式为y=-x+m，与y=-x2+4x+5联立得方程x2-5x+m-5=0，由只有一个公共点，得到Δ=0，所以（-5）2-4（m-5）=0，得到m=254，此时，点E的坐标为0，454的，此时BC边上的高最大，作CN⊥PE于N，根据平行线间的距离处处相等知CN就是BC边上的高，要使△BPC的面积最大，只需CN最大.

CN=EC·sin∠CEP=EC·sin∠OCB

=454-5×22=2528，

所以，此时S△PBC=12BC·CN=12·52·2528

=1258.

解题策略 将直线BC向右平移到与抛物线只有一个公共点时，这个公共点就是P点的位置，找到P点到BC的距离，即为BC边上的高，利用平行线的一些性质，结合三角函数计算出BC边上的高CN的最大值，进而实现题目的求解.

方法4 三角函数法.本题可以用三角函数的知识进行求解.

解法5 如图6，作PE⊥x轴于点E，交BC于点F，作PM⊥BC于点M，设点P（x，-x2+4x+5）（0

S△PBC=12·BC·PM

=12×52×PF·sin∠PFM

=522[-x2+4x+5-（-x+5）]·sin∠BFE

=522（-x2+5x）·sin∠OCB

=-522（x2-5x）·OBBC

=-52x-522+1258

……

解题策略 以BC为底，找到BC边上的高PM，在Rt△PMF中，利用三角函数知识可得到PM=PFsin∠PFC，再根据∠PFC=∠EFB，结合PE∥OC，得到∠OCB=∠EFB，进而转化为PM=PF·sin∠OCB来进行求解.

方法5 对称法 图7

将△PBC进行旋转、平移或轴对称变化后，利用图形的性质进行求解.本文用轴对称法进行求解.

解法6 如图7，分别作P，C两点关于x轴的对称点Q，D，连接BD，DQ，BQ，则

△PBC≌△QBD，

又C（0，5），

P（x，-x2+4x+5）（0

所以D（0，-5），

Q（x，x2-4x-5），

CD=10，

PQ=2（-x2+4x+5），

所以S△PBC=12（S△PBQ+S梯形CDQP-S△BCD）

=1212PQ（5-x）+12（-2x2+8x+10+

10）x-12×10×5

=-52x2+252x

=-52x-522+1258

……

解题策略 用轴对称将△BPC沿x轴翻折得到△QBD，与△BCD组合构成五边形CDQBP，然后用五边形CDQBP的面积减去△BCD的面积的一半即是△BPC的面积.

总之，从以上的几种解法可以得出一个规律.过点P作辅助线，然后利用相关性质，找出各元素之间的关系.设动点P的坐标，然后找出各线段的代数式，再通过面积计算公式，得出二次函數顶点式，求出三角形面积的最大值.