构造和与差，速求阴影部分面积

杨振刚

【摘要】 求阴影部分面积是中考中热点内容之一，是中考的常见题型，但题目中涉及的图形往往并不规则，要求它们的面积，并没有现成的公式可用，这时，往往要借助转化，化不规则为规则，从而达到解决问题的目的.

【关键词】 阴影部分面积;化不规则;转化;构造

若所求阴影部分是不规则图形，需要添加辅助线构造扇形、三角形或特殊四边形，转化成规则图形求其面积的和或差.

1.若阴影部分图形有一部分是弧线，找出弧线所对应的圆心，将其补全为扇形，再利用图形间的关系进行求解.

2.若阴影部分是由图形旋转构成，旋转中心即为圆心，连接端点与旋转中心构造扇形.

如图1.

例1 如图2，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半徑为43，∠CDF=15°，则阴影部分的面积为（  ）

（A）16π-123.  （B）16π-243.

（C）20π-123.（D）20π-243.

分析 连接AD，连接OE，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质得到

∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，求得∠AOE=120°，过O作OH⊥AE于H，解直角三角形得到OH=23，AH=6，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论.

解 连接AD，连接OE，因为AB是直径，

所以∠ADB=90°，

所以AD⊥BC，

所以∠ADB=∠ADC=90°，

因为DF⊥AC，

所以∠DFC=∠DFA=90°，

所以∠DAC=∠CDF=15°，

因为AB=AC，

D是BC中点，

所以∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，

因为OA=OE，

所以∠AOE=120°.

过O作OH⊥AE于点H，

因为AO=43，

所以OH=12AO=23，

所以AH=3OH=6，

所以AE=2AH=12，

所以S阴影=S扇形AOE-S△AOE

=120π×（43）2360-12×12×23

=16π-123.

故选（A）.

注 本题主要考查了扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，数形结合是解答此题的关键.

例2 如图3，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为.

分析 连接PB，PC，作PF⊥BC于点F，根据等边三角形的性质得到∠PBC=60°，解直角三角形求出BF，PF，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案.

解 连接PB，PC，作PF⊥BC于点F，

因为PB=PC=BC，

所以△PBC为等边三角形，

所以∠PBC=60°，

∠PBA=30°，

所以BF=12PB=1，

PF=3，

则图中阴影部分的面积=[扇形ABP的面积-（扇形BPC的面积-△BPC的面积）]×2

=30·π×22360-60·π×22360-12×2×3×2

=23-2π3.

注 本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式是解题的关键.

例3 如图4，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合），连接AC，BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D.将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F.

（1）求证：CE是⊙O的切线;

（2）若∠BAC=15°，OA=2，求阴影部分面积.

分析 （1）连接OC，求得∠ACO=∠EAC，根据内错角相等两直线平行得到OC∥AE，进而求得∠ECO=90°，即可证明CE是⊙O的切线;

（2）利用S阴影=S梯形OCEF-S扇形OCF可求得阴影部分的面积.

解 （1）如图5，连接OC，

因为CD⊥AB，图5

所以∠ADC=90°，

因为△ACD沿AC翻折得到△ACE，

所以∠EAC=∠BAC，

∠E=∠ADC=90°，

因为OA=OC，

所以∠ACO=∠BAC，

所以∠ACO=∠EAC，

所以OC∥AE，

所以∠AEC+∠ECO=180°，

所以∠ECO=90°，

即OC⊥CE，

所以CE是⊙O的切线;

（2）如图6，连接OF，过点O作OG⊥AE于点G，

因为∠BAC=15°，

所以∠BAE=2∠OAC=30°，

因为OA=2，

所以OG=12OA=1，

AG=3，

因为OA=OF，

所以AF=2AG=23，

因为∠BOC=2∠BAC=30°，

CD⊥AB，

所以CD=12OC=1，OD=3，

所以AE=AD=AO+OD=2+3，

所以EF=AE-AF=2-3，

CE=CD=1，

所以S阴影=S梯形OCEF-S扇形OCF

=（2+2-3）×12-30·π×22360

=2-32-π3.

注 本题主要考查翻折的性质、切线的判定与性质和垂径定理以及图形面积之间的转化，求不规则图形的面积一般将其转化为若干个基本规则图形的组合，分析整体与部分的和差关系.